1、第 28 章图形的相似与位似一、选择题1. （2011 浙江金华，9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A.600m B.500m C.400m D.300m一一 一 一一 一一一 一 一一 一 一一 一一一一400m400m300m【答案】B2.（2011 安徽，9，4 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=ADC=90，AB=AD=2 ，CD= ，点 P 在四边形 ABCD 的边上若 P 到 BD 的距离为 ，则点 P2 232的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【
2、答案】B 3. （2011 广东东莞，31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是（ ）12【答案】 4. （2011 浙江省，6，3 分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 SBCE ：S BDE 等于（ ）A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21学优中考网 【答案】B5. （2011 浙江台州， 5,4 分）若两个相似三角形的面积之比为 1:4，则它们的周长之比为（ ）A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16【答案】A6. （2011 浙江省嘉兴， 7，4 分）如图，边
3、长为 4 的等边ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）323336（第 7 题）BCDE【答案】B7. （2011 浙江丽水，9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A.600m B.500m C.400m D.300m一一 一 一一 一一一 一 一一 一 一一 一一一一400m400m300m【答案】B8. （2011 台湾台北，26） 图(十)为一 ，其中 D、E 两点分别在 、 上，且ABCABC31， 29， 3
4、0， 32。若 ，则图中 、 、ADBE50 12、 的大小关系，下列何者正确？34A B C D 13241423【答案】D9. （2011 甘肃兰州，13，4 分）现给出下列四个命题：无公共点的两圆必外离；位似三角形是相似三角形；菱形的面积等于两条对角线的积；对角线相等的四边形是矩形。其中真命题的个数是A1 B2 C3 D4【答案】A10（2011 山东聊城，11，3 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点
5、B的坐标是（ ）14A（3，2） B（2，3） C（2，3）或（2，3） D（3，2）或（3，2）【答案】D11. （2011 广东汕头，31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是（ ）12【答案】 12. （2011 四川广安，7，3 分）下列命题中，正确的是（ ） A过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B对角线相等的四边形是矩形学优中考网 C两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D位似图形一定是相似图形【答案】D 13. （ 2011 重庆江津， 8，4 分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中 AB、CD 交于 O 点,对
6、于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似【答案】A14. (2011 重庆綦江，4，4 分)若相似ABC 与DEF 的相似比为 1 ：3，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1 ：3 B1 ：9 C3 ：1 D 1 ：【答案】：B 15. （2011 山东泰安，15 ，3 分）如图，点 F 是ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD的延长线于点 E，则下列结论错误的是A. = B. = C. = D. =EDEADFAB DEBCEFFB BCDEBFBE BFBEBCAE【答案】C 16. （2011
7、山东潍坊， 3，3 分）如图，ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC ；ADE 的面积与 ABC 的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）A . 0 个 B.1 个 C . 2 个 D.3 个35757570(1)ABCDO4 368(2)第 8 题图【答案】D17. （2011 湖南怀化，6，3 分）如图 3 所示：ABC 中，DEBC ，AD=5，BD=10，AE=3，则 CE 的值为A.9 B.6 C.3 D.4【答案】B18. （2011 江苏无锡， 7，3 分）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，且将这个四边形分成
8、、 、四个三角形若 OAOC = OBOD，则下列结论中一定正确的是 ( )A和 相似 B和 相似C和 相似 D和 相似ABCDO ooo（第 7 题）【答案】B19. （2011 广东肇庆，5，3 分）如图，已知直线 abc，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、 C、 E、 B、 D、 F，AC 4，CE 6，BD 3，则 BF abcA BC DE Fm nA 7 B 7.5 C 8 D 8.5【答案】B学优中考网 20（2011 湖南永州，12，3 分）下列说法正确的是（ ）A等腰梯形的对角线互相平分 B一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C线段的垂直平分线上的点到
9、线段两个端点的距离相等D两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似【答案】C21. （2011 山东东营，11，3 分）如图，ABC 中，A， B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 B 的对应点 B的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）A 2aB 1()aC 1()D 32BA第 11 题-1 x1O-11yBAC【答案】D22. （2011 重庆市潼南,5,4 分）若ABCDEF ，它们的面积比为 4：1，则ABC 与DEF 的相似比为A2：1 B1 ：
10、2 C 4：1 D1：4【答案】A23. （2011 广东中山，3,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是（ ）2【答案】 24. （2011 湖北荆州，7，3 分）如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于E，CPDAB ， BC 交 PD 于 F，AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 GEADBCPF第 7 题图【答案】C25.26. 二、填空题1. （2011 广东广州市，14，3 分）如图 3，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABCDE，已知 OA=10cm，OA=20cm，则五边形 AB
11、CDE 的周长与五边形ABCDE的周长的比值是 图 3OABCDEABCDE【答案】122. （2011 四川重庆，12，4 分）如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交边 AB、AC 于D、E 两点，若 AD：AB1：3，则 ADE 与 ABC 的面积比为 【答案】1：93. （2011 江苏苏州，17,3 分）如图，已知ABC 的面积是 的等边三角形，ABC3ADE，AB=2AD，BAD=45，AC 与 DE 相交于点 F，则AEF 的面积等于_（结果保留根号）.学优中考网 【答案】 434. 5. 6. 三、解答题1. （2011 江西，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程
12、如下：设BAC= （0 90）.现把小棒依次摆放在两射线 AB，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2 为第 1 根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设 AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；若记小棒 A2n-1A2n 的长度为 an（n 为正整数，如 A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时 a2，a 3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根
13、小棒，且A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 = ， = ， = 123；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围.【答案】【答案】解：（1）能（2）22.5方法一：AA 1=A1A2=A2A3=1， A1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .22又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A 3A4A 5A6，A=A A2A1=AA 4A3=AA 6A5，AA 3=A3A4，AA 5=A5A6，a 2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A 3A5= a2,a 3=A5A6=AA5=a2+
14、 a2=( +1)2.方法二：AA 1=A1A2=A2A3=1， A1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .2又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A 3A4A 5A6，A=A A2A1=AA 4A3=AA 6A5，a 2=A3A4=AA3=1+ ,又A 2A3A4=A 4A5A6=90，A 2A4A3=A 4A6A5，A 2A3A4A4A5A6， ，a 3= =( +1)2.2112an=( +1)n-1.(3) 4321(4)由题意得 ，15 18.90562. （2011 江苏宿迁,28,12 分）如图，在 RtABC 中，B 90，AB1，BC ，以点21C
15、为圆心，CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心， AD 为半径的弧交 AB 于点E（1）求 AE 的长度；（2）分别以点 A、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB 两侧），连接 AF、EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想EAG 的大小，并说明理由学优中考网 GFEDCBA（第 28 题）【答案】解：（1）在 RtABC 中，由 AB1，BC 得 AC 22)1(5BCCD，AEADAEACAD 25（2）EAG36，理由如下：FAFE AB1，AE 1 FAE25FAE 是黄金三角形F36，AEF72AEAG ，FAFE
16、FAE FEAAGEAEGFEAEAGF363. （2011 广东汕头，21，9 分）如图（1），ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=EF =9，BACDEF90 ，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？【解】（1
17、）HGA 及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy所以， 8yx（3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12AGAC，AGGH又 AHAG，AHGH此时，AGH 不可能是等腰三角形；当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此时，GC= ，即 x=92当 CG 时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形924. （2011 湖南怀化，21，10 分）如图 8，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片
18、，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M.(1) 求证： ;AMHDBC(2) 求这个矩形 EFGH 的周长.【答案】(1) 解：四边形 EFGH 为矩形EFGHAHG=ABC又HAG=BAC学优中考网 AHGABC ;AMHGDBC（2）由（1）得 设 HE=x，则 HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x;ABC可得 ，解得，x=12 ， 2x=24 4023x所以矩形 EFGH 的周长为 2（
19、12+24）=72cm.5. （2011 上海， 25，14 分）在 RtABC 中，ACB=90，BC=30 ，AB =50点 P 是 AB边上任意一点，直线 PEAB，与边 AC 或 BC 相交于 E点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段BP 上，EM=EN ，sinEMP= 123（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x，BN =y，求 y关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME 的顶点 A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 A
20、P 的长图 1 图 2 备用图【答案】（1）ACB=90，AC= = =40ABC2503S= = ,2ABCPCP= = =244035在 RtCPM 中， sinEMP= ，12 123CPMCM= = =264（2）由APE ACB，得 ，即 ，PE= PEABC304x3x在 RtMPE 中，sinEMP= ， 1212MEM= = = 132PE4x36PM=PN= = = 2M22134x516AP+PN+NB=50， x+ +y =50516y = (0 x 32)2106（3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过
21、角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下： 当点 E 在线段 AC 上时，AMEENB， EM=EN， 设 AP=x，由（2）知AMENB2EMANBEM= ，AM = = ，NB = 136xP516xx1506x21(0)解得 x1=22，x 2=0（舍去）即 AP=22 当点 E 在线段 BC 上时，根据外角定理，ACEEPM， CE= = 设 AP=x，易125ACEPMAC503得 BE= ，CE=30 30 = 解得 x=42即 AP=425(0)3x5(0)3x(0)3xAP 的长为 22 或 426. （2011 四川绵阳 25，14）已知ABC 是等腰直
22、角三角形，A=90，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直于BD 或 BD 的延长线，垂足为 E,如图 1.(1)若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求 的值；BDCE(2)若 BD 是ABC 的角平分线，如图 3，求 的值；BDCE学优中考网 (3)结合（1) 、（ 2)，请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由 .BDCE 43 DB CAEB DCAEDB CAE【答案】(1)设 AD=x,则 AB=2x,根据勾股定理，可得 BD= x,ABD CDE, 5,可得 CE= x,
23、所以 =DACEBDCE52（2）设 AD=x,根据角平分线定理，可知 DC= x，AB= x+x,由2 2勾股定理可知 BD= ABDCDE， ,EC= ,1AEC2x=2,BDCE(3)由前面两步的结论可以看出， ,所以这样的点是存在的，D 在 AC 边的五等分点1BCE和点 A 之间7. （2011 湖北武汉市，24，10 分）（本题满分 10 分）（1）如图 1，在ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，AQ 交 DE于点 P求证： CPB（2） 如图，在ABC 中，BAC =90，正方形 DEFG 的四个顶点在ABC 的边上，连接AG，AF 分别交 D
24、E 于 M，N 两点如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长；如图 3，求证 MN2=DMEN【答案】（1）证明：在ABQ 中，由于 DPBQ，ADPABQ， DP/BQAP/AQ同理在ACQ 中，EP/CQAP/AQDP/BQEP/CQ（2） 9（3）证明：B C=90，CEF C=90B=CEF，又BGD =EFC，BGDEFCDG/CFBG/EF，DGEFCFBG又 DG GF EF，GF 2CFBG由（1）得 DM/BG MN/GF EN/CF（MN/GF）2( DM/BG)(EN/CF)MN2 DMEN8. （2011 河北，20，8 分）如图 10，在 68 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O和ABC 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以 O 为位似中心，在网格图中作ABC和ABC 位似，且位似比为 12；（2）连接（1）中的 AA,求四边形 AACC 的周长.（结果保留根号）AB C【答案】（1）如下图.CBAAB C（2）四边形 AACC 的周长=4+6 2学优中考网 9. 1011.12. 学优;中考，网
