1、期末复习二 一元二次方程复习目标要求 知识与方法了解 一元二次方程的概念，一元二次方程根与系数的关系理解 方程解的定义会选合适的方法解一元二次方程运用 用一元二次方程解决实际问题配方法求最值必备知识与防范点一、必备知识：1关于 x 的一元二次方程（m4）x2+x+m2 16=0 有一根为 0，则 m .2 （雅安中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx-8=0 的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为（ ）A 4，-2 B -4，-2C 4，2 D -4，23 定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程 已知 ax
2、2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A a=c B a=bC b=c D a=b=c4 某校去年投资 2 万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为 8 万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为 x，则可列方程 .5 某超市销售一种商品，每件商品的成本是 20 元 当这种商品的单价定为 40 元时，每天售出200 件 在此基础上，假设这种商品的单价每降低 2 元，每天就会多售出 15 件（1 ）设商品的单价为 x 元时销售该商品的利润为 4500 元，可列方程： ；（2 ）设商品降价 2y 元时销售该商品的利润为 4500 元，可列方程
3、： .二、防范点：1 一元二次方程二次项系数不为 0；2 运用韦达定理时注意 0，a0；3 求二次三项式最值可运用配方法，也可用 .例题精析考点一 一元二次方程的解例 1 （1 ）设 a 是关于 x 的方程：x2-9x+10 的一个实数根，求 a2-7a+ 182a的值；（2 ）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+20 与 x22x+m0 有一个公共根，求这个公共根及 m的值.反思：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程，再进行适当的变形.考点二 求一元二次方程的解例 2 用适当的方法解下列方程（1 ） （2x-1）2-9=0；（2 ） x2
4、-2 3x=1；（3 ） x（ x-6） =-2（x-6） ；（4 ） （2y-1）2+2（2y-1）-3=0.反思：第（1）小题直接开方法，第（ 2）小题配方法，第（ 3）小题因式分解法，第（4）小题把2y-1 看成整体，用十字相乘因式分解法.考点三 一元二次方程判别式例 3 （1）如果关于 x 的一元二次方程 kx2- 12kx+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 .（2 ）已知关于 x 的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0 有实根，则 m 的取值范围是（ ）A m2 B m6 且 m2C m6 D m6（3 ）如果 x2-2（m+1 ）x+16 是一个完全平方式，则
5、 m= .来源:学优高考网 gkstk（4 ）求代数式 2x2-3x+4 的最小值 .反思：第（1）小题须满足 3 个条件：k 0 ，0，2k+10；第（2 ）小题注意是方程，可允许m-2=0；第（3）小题二次三项式是完全平方式，则 0；第（4 ）小题可用配方法，也可用 法：设 2x2-3x+4y，移项得 2x2-3x+4y0 ，将 y 看做常数，方程必有实根，98 （4y）0 ，解得 y 82，即 2x2-3x+4 的最小值为 23.考点四 一元二次方程的应用（增长率，市场经济，直角勾股等）例 4 如图 1，有一块塑料长方形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三
6、角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P（1 ）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2 ）如图 2，再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由反思：当遇到直角常想到勾股定理，方程应用中的存在问题可用 解决.考点五 可化为一元二次方程的解法探究例 5 请阅读下列解方程 x4-2x2
7、-3=0 的过程.解：设 x2=y，则原方程可变形为 y2-2y-3=0由（y-1）2=4 ，得 y1=3，y2=-1当 y=3，x2=3，x1= 3，x2=- ，当 y=-1， x2=-1，无解.所以，原方程的解为 x1= ，x2=-这种解方程的方法叫做换元法.用上述方法解下面两个方程：（1 ） x4-x2-6=0；（2 ） （x2+2x）2-2（x2+2x ）-3=0. 来源:gkstk.Com反思：换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的解.校内练习来源:gkstk.Com1 （扬州中考）已知 M= 92a-1，N=a 2- 7a（a 为任
8、意实数） ，则 M、N 的大小关系为（ ）A MN B M=NC MN D 不能确定2 若关于 y 的方程 ky24y3=3y+4 有实根，则 k 的取值范围是（ ）A. k 47 B. k 47且 k0C. k D. k 且 k03 如果 m，n 是菱形的对角线，且是方程 x2-2013x+2014=0 的两个根，则菱形的面积为 .4 （遂宁中考）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题计算：（1- 21- 3- 4）（ 21+ 3+ 4+ 5）-（1- 21- 3- 4- 5）（ 21+ 3+ 4）.令 + + t，则原式（1-t） （t+ ）- （1-t- ）t=t+ -t2- t- t
9、+t2= 5（1 ）计算：（1- - - 01）（ + + + 016）（1- - - 01- 26）（ 2+ 3+ 4+ 25） ；（2 ）解方程（x25x 1 ） （x25x 7）75. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1 ）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润.（2 ）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少？参考答案期末复习二 一元二次方程【必
10、备知识与防范点】1. -423. DA4. 2（1+x）+2（1+x ）2=85. （1） （x-20） （200+ 240x15）4500（2） （202y） （200+15y）=4500【例题精析】例 1 （1）a 是关于 x 的方程：x2-9x+10 的一个实数根，a2-9a+10，a2 9a 1，a2+1 9a，a+ =9，原式（9a 1）-7a+ 82a2a 1 a22（a+ ）117.（2）设公共根为 a，有 a2ma+20，a22a+m0，由得：（m-2）a+2-m=0，即（m-2） （a-1）=0，当 m=2 时，两方程相同，且方程无解，不符要求，a=1，代入得：m=-3. 公
11、共根为 1，m 的值为3.例 2 （1）x1=2，x2=-1；（2）x1= 3+2，x2= -2；（3）x1=-2，x2=6；（4）y1=1，y2=-1.例 3 （1） k 且 k0；（2）D ；（3）3 或5；（4）最小值 823.例 4 （1）能；设 APx，据 BP2+PC2=BC2 有 16x2+（10-x ）2+16=100 ，解得：x1=2，x2=8，当 AP2cm 或 8cm 时，三角板两直角边分别通过点 B 与点 C.（2）能；设 APx，据 BP2+PE2=BE2 有 16x2+（8-x）2+16=64，解得：x1=x2=4 ，当AP4cm 时，CE=2cm.来源:学优高考网
12、例 5 （1）x= 3；（2）x1=-3，x2=1，x3=x4=-1.【校内练习】12. AC来源:gkstk.Com3. 10074. （1） 206；（2）x10，x2-5【点拨】此题考查整体的思想、字母代数的思想，用换元法解（1）设 2+ 3+ 41+ 205t ，则原式（1-t）（t+ 6）-（1-t- 2016）t=t+ 2016-t2- t-t+t2+ 2016t （2）设 x25x1t，原方程可化为： t（t6）7，t26t70， （t7） （t1）0，得 t17，t2 1，当 t7 时，x 25x1-7，方程无解；当 t1 时，x 25x11，解得 x10，x25所以原方程的解
13、为：x10，x255. （1）当销售单价定为每千克 55 元时，月销售量为： 500-（55-50）10=450（千克） ，所以月销售利润为：（55-40）450=6750 元;（2）由于水产品不超过 1000040=250kg，定价为 x 元，则（x-40）500-10 （x-50）=8000，解得：x1=80，x2=60. 当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg250kg，符合题意，当 x2=60 时，进货500-10（60-50）=400kg250kg，舍去. 答：商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为80 元.
