1、目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程,目标导航,预习导引,判一判(正确的打“”,错误的打“”).(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2. ()(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆. ()提示:(1)(2),一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一、椭圆的定义1.定义中的条件2a|F1F2|0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:(1)当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;(2)当2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF
2、2|=2a.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,【例1】 (1)椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.4D.10思路分析:求出a|PF1|+|PF2|=2a|F1F2|求出P到另一个焦点的距离答案:A解析:点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-5=5.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,(2)已知F1,F2是椭圆 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在AF1B中,若有两边之和是10,求第三边的长度.思路分析:结合图形,利用定义求第三边.解:由已知a2=16,a=4.从而由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a
3、=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,AF1B的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=16.又知三角形有两边之和为10,第三边的长度为6.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,二、椭圆的标准方程 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.(2)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.(3)确定一个椭圆的标准方程需要两个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件:焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.,一,二,
4、三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,思路分析:(1)由已知可得a,c的值,由b2=a2-c2可求出b,再根据焦点位置写出椭圆的方程.(2)利用两点间的距离公式求出2a,再写方程;也可用待定系数法.(3)利用待定系数法,但需讨论焦点的位置.也可利用椭圆的一般方程Ax2+By2=1(A0,B0,AB)直接求a,b得方程.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一
5、,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,三、焦点三角形的面积椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形的面积,若已知F1PF2,可利用S= absin C把|PF1|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求出|PF1|与|PF2|,这样可以减少运算量.,一,二
6、,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,思路分析:由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|,|PF2|的方程,求出|PF1|,|PF2|后,再求PF1F2的面积.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,四、与椭圆有关的轨迹问题解决与椭圆有关的轨迹问题,一般有两种方法:(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照
7、某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,四,用相关点法求轨迹方程的步骤:设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(x,y);找出P,Q之间坐标的关系,并表示为 将x,y代入f(x,y)=0, 即得所求轨迹方程.,一,二,三,四,知识精要,典题例解,迁移应用,【例4】 已知B,C是两个定点,|BC|=6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.思路点拨:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择适当的
8、坐标系,常常需要画出草图.由ABC的周长等于16,|BC|=6可知,点A到B,C两点的距离的和是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图.,一,二,三,四,知识精要,典题例解,迁移应用,解:如图,建立平面直角坐标系,可得B点坐标(-3,0),C点坐标(3,0),由于|AB|+|AC|=16-6=10,且106,据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为由于点A在(-5,0),(5,0)时,A,B,C三点共线,不能构成三角形,因此,顶点A的轨迹方程是 (x5).,一,二,三,四,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,四,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,四,知识精要,典题例解,迁移应用,案例探究,误区警示,思悟升华,案例探究,误区警示,思悟升华,案例探究,误区警示,思悟升华,牢记标准方程的特点必须明确形如方程 表示椭圆、圆的条件,如本例中,方程表示椭圆.首先应满足AB,其次应有A0,B0,事实上,当A=B时,方程表示的曲线为圆而非椭圆.,
