1、 / 5612012 年全国各地中考数学真题分类汇编第 13 章 二次函数一.选择题1 (2012 菏泽)已知二次函数 2yaxbc的图像如图所示,那么一次函数 ybxc和反比例函数 ayx在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )A B C D考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象。解答:解:二次函数图象开口向下,a0,对称轴 x= 0,b0,二次函数图象经过坐标原点,c=0,一次函数 y=bx+c 过第二四象限且经过原点,反比例函数 ayx位于第二四象限,纵观各选项,只有 C 选项符合2 (2012烟台)已知二次函数 y=2(x3) 2+1下列说法:其图象的开口向下;其图象的
2、对称轴为直线 x=3;其图象顶点坐标为(3,1 ) ; 当 x3 时,y 随 x 的增大而减小则其中说法正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点: 二次函数的性质。专题: 常规题型。分析: 结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可解答: 解:20, 图象的开口向上,故本小题错误;图象的对称轴为直线 x=3,故本小题错误;其图象顶点坐标为(3,1) ,故本小题错误;当 x3 时,y 随 x 的增大而减小,正确;综上所述,说法正确的有共 1 个故选 A点评: 本题考查了二次函数的性质,主要考查了函数图象的开口方向,对称轴解析式,顶点坐标,以及函数的增减性,都是基本
3、性质,熟练掌握性质是解题的关键3 (2012广州)将二次函数 y=x2 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( )Ay=x 21 By=x 2+1 Cy=(x1) 2 Dy=(x+1) 2考点: 二次函数图象与几何变换。专题: 探究型。分析: 直接根据上加下减的原则进行解答即可解答: 解:由“上加下减” 的原则可知,将二次函数 y=x2 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y=x 21故选 A点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键4 (2012 泰安)将抛物线 向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,那么
4、得到的2yx抛物线的解析式为( )A B C D23()yx2()23()yx2考点:二次函数图象与几何变换。解答:解:由“上加下减” 的原则可知,将抛物线 向上平移 3 个单位所得抛物线的解2yx析式为: ;23yx/ 563由“左加右减” 的原则可知,将抛物线 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为:23yx23()yx故选 A5 (2012 泰安)二次函数 的图象如图,若一元二次方程 有2yaxb20axbm实数根,则 的最大值为( )mA B3 C D96考点:抛物线与 x 轴的交点。解答:解:抛物线的开口向上,顶点纵坐标为3,a0. ,即 ,24b21a一元二次方程 有实数根,20
5、xm= ,即 ,即 ,解得 ,20ba14a1240m3m 的最大值为 3故选 B6 (2012 泰安)二次函数 的图象如图,则一次函数 的图象经2()yaxmnymxn过( )A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限考点:二次函数的图象;一次函数的性质。解答:解:抛物线的顶点在第四象限,m0 ,n0,m0,一次函数 的图象经过二、三、四象限,yx故选 C7 (2012 泰安)设 A ,B ,C 是抛物线 上的三1(2)y, 2(), 3()y, 2(1)yxa点,则 , , 的大小关系为( )1y23A B C D312y321y312y考点:二次函数图
6、象上点的坐标特征。解答:解:函数的解析式是 ,如右图,2()xa对称轴是 ,1x点 A 关于对称轴的点 A是(0,y 1) ,那么点 A、B、C 都在对称轴的右边,而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小,于是 213y故选 A8 (2012乐山)二次函数 y=ax2+bx+1(a 0)的图象的顶点在第一象限,且过点(1 ,0 ) 设 t=a+b+1,则 t 值的变化范围是( )A0t1 B0t2 C1t 2 D1t1考点: 二次函数图象与系数的关系。分析: 由二次函数的解析式可知,当 x=1 时,所对应的函数值 y=t=a+b+1把点(1,0)/ 565代入 y=ax2+bx+1,a b+1=
7、0,然后根据顶点在第一象限,可以画出草图并判断出 a与 b 的符号,进而求出 t=a+b+1 的变化范围解答: 解: 二次函数 y=ax2+bx+1 的顶点在第一象限,且经过点(1, 0) ,易得:a b+1=0,a0,b0,由 a=b10 得到 b1,结合上面 b0,所以 0b1,由 b=a+10 得到 a1,结合上面 a0,所以1a0,由 得:1a+b1,且 c=1,得到 0a+b+12,0 t2故选:B9 (2012衢州)已知二次函数 y= x27x+ ,若自变量 x 分别取 x1,x 2,x 3,且0x 1x 2x 3,则对应的函数值 y1,y 2,y 3 的大小关系正确的是( )Ay
8、 1y 2y 3 By 1y 2y 3 Cy 2y 3y 1 Dy 2y 3y 1考点: 二次函数图象上点的坐标特征。分析: 根据 x1、x 2、x 3 与对称轴的大小关系,判断 y1、y 2、y 3 的大小关系解答: 解: 二次函数 y= x27x+ ,此函数的对称轴为:x= = =7,0 x1 x2x 3,三点都在对称轴右侧,a0,对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小,y1 y2y 3故选:A点评: 此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性,利用二次函数的增减性解题时,利用对称轴得出是解题关键10 (2012 义乌市)如图,已知抛物线 y1=2x2+2,直线 y2=2x+2,当 x 任
9、取一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y 2若 y1y2,取 y1、y 2 中的较小值记为 M;若 y1=y2,记M=y1=y2例如:当 x=1 时, y1=0,y 2=4,y 1y 2,此时 M=0下列判断:当 x0 时,y 1y 2; 当 x0 时,x 值越大,M 值越小;使得 M 大于 2 的 x 值不存在; 使得 M=1 的 x 值是 或 其中正确的是( )A B C D考点:二次函数综合题。解答:解: 当 x0 时,利用函数图象可以得出 y2y 1;此选项错误;抛物线 y1=2x2+2,直线 y2=2x+2,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y 2若y1y2,取 y
10、1、 y2 中的较小值记为 M;当 x0 时,根据函数图象可以得出 x 值越大,M 值越大;此选项错误;抛物线 y1=2x2+2,直线 y2=2x+2,与 y 轴交点坐标为:( 0,2) ,当 x=0 时,M=2,抛物线 y1=2x2+2,最大值为 2,故 M 大于 2 的 x 值不存在;使得 M 大于 2 的 x 值不存在,此选项正确;使得 M=1 时,可能是 y1=2x2+2=1,解得:x 1= ,x 2= ,当 y2=2x+2=1,解得:x= ,由图象可得出:当 x= 0,此时对应 y2=M,抛物线 y1=2x2+2 与 x 轴交点坐标为:(1,0) , (1,0) ,当 1 x0,此时
11、对应 y1=M,故 M=1 时,x 1= ,x= ,故使得 M=1 的 x 值是 或 此选项正确;故正确的有:故选:D/ 56711 (2012杭州)已知抛物线 y=k(x+1) (x )与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,则能使ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是( )A2 B3 C4 D5考点: 抛物线与 x 轴的交点。分析: 根据抛物线的解析式可得 C( 0,3) ,再表示出抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,再根据 ABC 是等腰三角形分三种情况讨论,求得 k 的值,即可求出答案解答: 解:根据题意,得 C(0, 3) 令 y=0,则 k(x+1 ) (x )=0,x=1
12、或 x= ,设 A 点的坐标为(1,0) ,则 B( ,0) ,当 AC=BC 时,OA=OB=1,B 点的坐标为(1,0) ,=1,k=3;当 AC=AB 时,点 B 在点 A 的右面时,AC= = ,则 AB=AC= ,B 点的坐标为( 1,0) ,= 1,k= ;当 AC=AB 时,点 B 在点 A 的左面时,B 点的坐标为( ,0) ,= ,k= ;所以能使ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是 3 条;故选 B点评: 此题考查了抛物线与 x 轴的交点,此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点,结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于 k 的方程进行求解是解题的关键12(2012
13、扬州 )将抛物线 yx 21 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( )A y(x2) 22 B y(x2) 22 C y(x2) 22 D y(x2) 22考点: 二次函数图象与几何变换。分析: 直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可解答: 解:将抛物线 yx 21 先向左平移 2 个单位所得抛物线的函数关系式是:y(x2) 21;将抛物线 y(x 2) 21 先向下平移 3 个单位所得抛物线的函数关系式是:y(x2) 213,即 y(x2) 22故选 B点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键13
14、 (2012资阳)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c0 的解集是( )A 1 x 5 B x5 C x1 且 x5 D x1 或 x5考点: 二次函数与不等式(组) 。分析: 利用二次函数的对称性,可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2+bx+c0 的解集解答: 解:由图象得:对称轴是 x=2,其中一个点的坐标为(5,0) ,图象与 x 轴的另一个交点坐标为(1,0) 利用图象可知:ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集,x 1 或 x5故选:D点评: 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况,很好地利用数形
15、结合,题目非常典型14 (2012德阳)在同一平面直角坐标系内,将函数 y=2x2+4x+1 的图象沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,得到图象的顶点坐标是( )/ 569A (1 ,1 ) B (1,2 ) C (2,2 ) D (1,1 )考点: 二次函数图象与几何变换。分析: 易得原抛物线的顶点坐标,根据横坐标与纵坐标“左加右减 ”可得到平移后的顶点坐标解答: 解: y=2x2+4x+1=2(x 2+2x) +1=2(x+1) 21+1=2(x+1) 21,原抛物线的顶点坐标为( 1,1) ,将二次函数 y=2(x+1 ) 21,的图象沿 x 轴
16、方向向右平移 2 个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,y=2(x+1 2) 211=2(x1) 22,故得到图象的顶点坐标是(1,2) 故选:B点评: 此题考查了二次函数的平移问题;用到的知识点为:二次函数的平移,看顶点的平移即可;上下平移只改变顶点的纵坐标,上加下减15 (2012德阳)设二次函数 y=x2+bx+c,当 x1 时,总有 y0,当 1x3 时,总有 y0,那么 c 的取值范围是( )A c=3 B c3 C 1c3 D c3考点: 二次函数的性质。分析: 因为当 x1 时,总有 y0,当 1x3 时,总有 y0,所以函数图象过( 1,0)点,即 1+b+c=0,
17、有题意可知当 x=3 时,y=9+3b+c 0,所以 联立即可求出c 的取值范围解答: 解: 当 x1 时,总有 y0,当 1x3 时,总有 y0,函数图象过(1,0)点,即 1+b+c=0,当 1x3 时,总有 y0,当 x=3 时,y=9+3b+c0,联立解得:c 3,故选 B点评: 本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是有给出的条件得到抛物线过(1,0) ,再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系16(2012 兰州)抛物线 y2x 21 的对称轴是( )A直线B直线C y 轴 D 直线 x2考点: 二次函数的性质。分析: 已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标及对称轴解答
18、: 解: 抛物线 y2x 21 的顶点坐标为 (0,1),对称轴是直线 x0(y 轴),故选 C点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法17 (2012 张家界)当 a0 时,函数 y=ax+1 与函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D考点:反比例函数的图象;一次函数的图象。解答:解:当 a0 时,y=ax+1 过一二三象限,y= 过一三象限;当 a0 时,y=ax+1 过一二四象限,y= 过二四象限;故选 C18 (2012 宜宾)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线有
19、下列命题:直线 y=0 是抛物线 y= x2 的切线直线 x=2 与抛物线 y= x2 相切于点( 2,1)直线 y=x+b 与抛物线 y= x2 相切,则相切于点(2,1 )若直线 y=kx2 与抛物线 y= x2 相切,则实数 k=其中正确命题的是( )A B C D 考点:二次函数的性质;根的判别式。解答:解:直线 y=0 是 x 轴,抛物线 y= x2 的顶点在 x 轴上, 直线 y=0 是抛物线 y=x2 的切线,故本小题正确;/ 5611抛物线 y= x2 的顶点在 x 轴上,开口向上,直线 x=2 与 y 轴平行, 直线 x=2 与抛物线 y= x2 相交,故本小题错误;直线 y
20、=x+b 与抛物线 y= x2 相切, x24xb=0,=16+4b=0 ,解得 b=4,把 b=4 代入 x24xb=0 得 x=2,把 x=2 代入抛物线解析式可知 y=1,直线 y=x+b 与抛物线 y= x2 相切,则相切于点(2,1) ,故本小题正确;直线 y=kx2 与抛物线 y= x2 相切, x2=kx2,即 x2kx+2=0,=k 22=0,解得 k=,故本小题错误故选 B19 (2012 潜江)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个交点分别为(1 ,0 ) , (3, 0) 对于下列命题:b2a=0; abc0;a2b+4c0;8a+c0其中
21、正确的有( )A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个考点: 二次函数图象与系数的关系。分析: 首先根据二次函数图象开口方向可得 a0,根据图象与 y 轴交点可得 c0,再根据二次函数的对称轴 x= ,结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1,结合对称轴公式可判断出的正误;根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b0,根据a、b、c 的正负即可判断出的正误;利用 b2a=0 时,求出 a2b+4c0,再利用当x=4 时,y0,则 16a+4b+c0,由知,b= 2a,得出 8a+c0解答: 解:根据图象可得:a0,c0,对称轴:x= 0,它与 x 轴的两个交点分别为( 1,0) ,
22、(3,0) ,对称轴是 x=1, =1,b+2a=0,故错误;a0,b 0,abc0,故正确;a2b+4c0;b+2a=0,a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c,ab+c=0,4a4b+4c=0,4b+4c=4a,a0,a2b+4c=4b+4c=4a0,故此选项正确;根据图示知,当 x=4 时,y0,16a+4b+c0,由知,b=2a,8a+c0;故正确;故正确为:三个故选:A点评: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握二次项系数 a 决定抛物线的开口方向,当 a0 时,抛物线向上开口;当 a0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位
23、置:当 a 与 b 同号时(即ab0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab0) ,对称轴在 y 轴右 (简称:左同右异)常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点,抛物线与 y 轴交于(0,c) 二.填空题1 (2012 绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系为 ,由此可知铅球推出的距离是 21(4)3yxm。/ 5613考点:二次函数的应用。解答:解:令函数式 中, ,21(4)3yx0y,21(4)30x解得 , (舍去) ,12即铅球推出的距离是 10m。故答案为:10。2(2012 扬州 )如图,线段 AB 的
24、长为 2,C 为 AB 上一个动点,分别以 AC、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE,那么 DE 长的最小值是 1 考点: 二次函数的最值;等腰直角三角形。专题: 计算题。分析: 设 ACx,则 BC2x ,然后分别表示出 DC、EC ,继而在 RTDCE 中,利用勾股定理求出 DE 的表达式,利用函数的知识进行解答即可解答: 解:如图,连接 DE设 ACx,则 BC2x ,ACD 和BCE 分别是等腰直角三角形,DCA45,ECB45,DC ,CE (2x),DCE90,故 DE2DC 2CE 2 x2 (2x) 2x 22x2(x1) 21,当 x1 时,DE
25、2 取得最小值,DE 也取得最小值,最小值为 1故答案为:1点评: 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是表示出 DC、CE,得出 DE 的表达式,还要求我们掌握配方法求二次函数最值3 (2012 无锡)若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A(2,1) ,且经过点 B(1,0) ,则抛物线的函数关系式为 y= x2+4x3 考点:待定系数法求二次函数解析式。专题:计算题。分析:设抛物线的解析式为 y=a(x2) 2+1,将点 B(1,0)代入解析式即可求出 a 的值,从而得到二次函数解析式解答:解:设抛物线的解析式为 y=a(x2) 2+1,将 B(1,0)代入 y=a
26、(x2) 2+1 得,a=1,函数解析式为 y=(x2) 2+1,展开得 y=x2+4x3故答案为 y=x2+4x3点评:本题考查了待定系数法求函数解析式,知道二次函数的顶点式是解题的关键,要注意,最后结果要化为一般式4 (2012 广安)如图,把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m,抛物线 m 经过点A(6,0)和原点 O(0,0) ,它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q,则图中阴影部分的面积为 考点: 二次函数图象与几何变换。分析: 根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点 P 的坐标,过点 P 作 PMy 轴于点 M,根据抛物线的对称性可
27、知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积,然后求解即可解答: 解:过点 P 作 PMy 轴于点 M,抛物线平移后经过原点 O 和点 A(6,0) ,平移后的抛物线对称轴为 x=3,/ 5615得出二次函数解析式为:y= (x+3 ) 2+h,将(6,0)代入得出:0= ( 6+3) 2+h,解得:h= ,点 P 的坐标是(3, ) ,根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积,S=3 | |= 故答案为: 点评: 本题考查了二次函数的问题,根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式,并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键5 (2012 苏州)已知点 A( x1
28、,y 1) 、B(x 2,y 2)在二次函数 y=(x1) 2+1 的图象上,若x1x 21,则 y1 y 2(填“”、 “”或“=”) 考点: 二次函数图象上点的坐标特征。分析: 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴,再判断出两点的位置及函数的增减性,进而可得出结论解答: 解:由二次函数 y=(x 1) 2+1 可,其对称轴为 x=1,x1 x21,两点均在对称轴的右侧,此函数图象开口向上,在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大,x1 x21,y1 y2故答案为:点评: 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出 A、B 两点的位置是解答此题的关键6(2012 深圳)二次
29、函数 的最小值是 来源:学优中考网62xy【答案】5。【考点】二次函数的性质。【分析】 ,当 时,函数有最小值 5。226=1+5yxx=1x三.解答题【1.2012 临沂】http:/ A 在 x 轴上, OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置(1)求点 B 的坐标;(2)求经过点 AO、B 的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由考点:二次函数综合题;分类讨论。解答:解:(1)如图,过 B 点作 BCx 轴,垂足为 C,则 BCO=90,AOB=
30、120,BOC=60,又 OA=OB=4,OC= OB= 4=2,BC=OB sin60=4 =2 ,点 B 的坐标为(2,2 ) ;(2)抛物线过原点 O 和点 AB,可设抛物线解析式为 y=ax2+bx,将 A(4,0) ,B( 22 )代入,得,解得 ,/ 5617此抛物线的解析式为 y= x2+ x(3)存在,如图,抛物线的对称轴是 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为(2,y) ,若 OB=OP, (21 世纪教育网版权所有)则 22+|y|2=42,解得 y=2 ,当 y=2 时,在 RtPOD 中,PDO=90,sinPOD= = ,POD=60,PO
31、B=POD+AOB=60+120=180,即 P、O、B 三点在同一直线上,y=2 不符合题意,舍去,点 P 的坐标为(2,2 )若 OB=PB,则 42+|y+2 |2=42,解得 y=2 ,故点 P 的坐标为(2, 2 ) ,若 OP=BP,则 22+|y|2=42+|y+2 |2,解得 y=2 ,故点 P 的坐标为(2, 2 ) ,综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为(2,2 ) ,【2.2012 菏泽】21如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) ,将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90,得到AB O(1)一抛物线经过点
32、 A、B、B,求该抛物线的解析式;(2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点 P,使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3)在(2)的条件下,试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形?并写出四边形PBAB 的两条性质考点:二次函数综合题。解答:解:(1)ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的,又 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) ,A(1,0) ,B (0,2) 设抛物线的解析式为: 2(0)yaxbc,抛物线经过点 A、B、B,024abc,解之得12c,满足条件的抛物线的解析式为 y
33、x.(2)P 为第一象限内抛物线上的一动点,设 P(x,y) ,则 x0,y0,P 点坐标满足 2yx连接 PB,PO,PB, BOA OB P SSP四 边 形112+2xy()3xx. 假设四边形 的面积是 面积的 4倍,则234,即 10,解之得 1,此时 21y,即 (1,2)P.存在点 P(1,2) ,使四边形 PBA B 的面积是A B O 面积的 4 倍(3)四边形 PBAB 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形对角线相等;等腰梯形上底与下底平行;等腰梯形两腰相等或用符号表示:BAB=PBA 或ABP=BPB;PA=B B;
34、BPAB;B A=PB/ 5619【3. 2012 义乌市】24如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线 y= 交于点 A(3,6) (1)求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度;(2)点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点 P 作直线 PM,交 x 轴于点 M(点 M、O 不重合) ,交直线 OA 于点 Q,再过点 Q 作直线 PM 的垂线,交 y 轴于点 N试探究:线段QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;(3)如图 2,若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上(与点 O、A 不重合),点 D(m,0)是 x 轴正半轴
35、上的动点,且满足BAE= BED=AOD继续探究:m 在什么范围时,符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个?考点:二次函数综合题。解答:解:(1)把点 A(3, 6)代入 y=kx 得;6=3k,k=2,y=2x (2012 义乌市)OA= (3 分)(2) 是一个定值,理由如下:如答图 1,过点 Q 作 QGy 轴于点 G,QH x 轴于点 H当 QH 与 QM 重合时,显然 QG 与 QN 重合,此时 ;当 QH 与 QM 不重合时,QNQM,QGQH不妨设点 H,G 分别在 x、y 轴的正半轴上,MQH=GQN,又QHM=QGN=90QHMQGN(5 分) , ,当点 P、Q 在
36、抛物线和直线上不同位置时,同理可得 (7 分)(3)如答图 2,延长 AB 交 x 轴于点 F,过点 F 作 FCOA 于点 C,过点 A 作 ARx 轴于点 RAOD=BAE,AF=OF,OC=AC= OA=ARO=FCO=90,AOR=FOC,AORFOC, ,OF= ,点 F( ,0) ,设点 B(x, ) ,过点 B 作 BKAR 于点 K,则 AKBARF, ,即 ,解得 x1=6,x 2=3(舍去) ,点 B(6,2) ,BK=63=3,AK=62=4,AB=5 (8 分) ;(求 AB 也可采用下面的方法)设直线 AF 为 y=kx+b(k0)把点 A(3,6) ,点 F( ,0
37、)代入得/ 5621k= ,b=10, , , (舍去) , ,B(6,2) ,AB=5(8 分)(其它方法求出 AB 的长酌情给分)在ABE 与OED 中BAE=BED,ABE+AEB=DEO+AEB,ABE=DEO,BAE=EOD,ABEOED(9 分)设 OE=x,则 AE= x ( ) ,由ABEOED 得 , ( ) (10 分)顶点为( , )如答图 3,当 时,OE=x= ,此时 E 点有 1 个;当 时,任取一个 m 的值都对应着两个 x 值,此时 E 点有 2 个当 时,E 点只有 1 个(11 分)当 时,E 点有 2 个(12 分) 【4.2012杭州 】22在平面直角坐
38、标系内,反比例函数和二次函数 y=k(x 2+x1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(1,k) (1)当 k=2 时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k 的值考点: 二次函数综合题。分析: (1)当 k=2 时,即可求得点 A 的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y= ,利用待定系数法即可求得答案;(2)由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,可得 k0,又由二次函数 y=k(x 2+x1)的对称轴
39、为 x= ,可得 x 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增/ 5623大;(3)由ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,A 点与 B 点关于原点对称,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得 OQ=OA=OB,又由 Q( , k) ,A(1,k) ,即可得 = ,继而求得答案解答: 解:(1)当 k=2 时,A(1,2) ,A 在反比例函数图象上,设反比例函数的解析式为:y= ,代入 A(1,2)得: 2= ,解得:m=2,反比例函数的解析式为:y= ;(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,k 0,二次函数 y=k(x 2+x1)=k (x+ ) 2 k,
40、的对称轴为:直线 x= ,要使二次函数 y=k(x 2+x1)满足上述条件,在 k0 的情况下, x 必须在对称轴的左边,即 x 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增大,综上所述,k0 且 x ;(3)由(2)可得:Q( , k) ,ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形, A 点与 B 点关于原点对称, (如图是其中的一种情况)原点 O 平分 AB,OQ=OA=OB,作 ADOC,QCOC,OQ= = ,OA= = , = ,解得:k= 点评: 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强,难度较大,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应
41、用【5.2012烟台 】26如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1,0) ,C (3,0) ,D(3,4) 以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动点 P,Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E(1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点 E 作 EFAD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,ACG 的面积最大?最大值为多少?(3)在动点 P,Q 运动的过程中,当
42、 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点H,使以 C,Q,E,H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值考点: 二次函数综合题。分析: (1)根据矩形的性质可以写出点 A 得到坐标;由顶点 A 的坐标可设该抛物线的顶点式方程为 y=a(x1) 2+4,然后将点 C 的坐标代入,即可求得系数 a 的值(利用待定系数法求抛物线的解析式) ;(2)利用待定系数法求得直线 AC 的方程 y=2x+6;由图形与坐标变换可以求得点/ 5625P 的坐标(1,4 t) ,据此可以求得点 E 的纵坐标,将其代入直线 AC 方程可以求得点 E 或点 G 的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标
43、变换可以求得 GE=4 、点 A 到 GE 的距离为 ,C 到 GE 的距离为 2 ;最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SAEG+SCEG= (t2) 2+1,由二次函数的最值可以解得 t=2 时,S ACG 的最大值为 1;(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点 H 在直线 EF 上解答: 解:(1)A(1,4) (1 分)由题意知,可设抛物线解析式为 y=a(x1) 2+4抛物线过点 C(3,0) ,0=a( 31) 2+4,解得,a= 1,抛物线的解析式为 y=(x1 ) 2+4,即 y=x2+2x+3( 2 分)(2)A(1, 4) ,C (3,0) ,可求直线 AC 的
44、解析式为 y=2x+6点 P(1,4 t) (3 分)将 y=4t 代入 y=2x+6 中,解得点 E 的横坐标为 x=1+ (4 分)点 G 的横坐标为 1+ ,代入抛物线的解析式中,可求点 G 的纵坐标为 4 GE=(4 )(4t )=t (5 分)又点 A 到 GE 的距离为 ,C 到 GE 的距离为 2 ,即 SACG=SAEG+SCEG= EG + EG(2 )= 2(t )= (t2) 2+1 (7 分)当 t=2 时,S ACG 的最大值为 1(8 分)(3)t= 或 t=208 (12 分)(说明:每值各占(2 分) ,多出的值未舍去,每个扣 1 分)点评: 本题考查了二次函数
45、的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法【6.2012益阳 】20已知:如图,抛物线 y=a(x1) 2+c 与 x 轴交于点 A( ,0)和点 B,将抛物线沿 x 轴向上翻折,顶点 P 落在点 P(1,3)处(1)求原抛物线的解析式;(2)学校举行班徽设计比赛,九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感:过点 P作 x 轴的平行线交抛物线于 C、D 两点,将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽, “5”的拼音开头字母为 W, “W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比 (约等于 0.618) 请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据: ,结果可保留根号)考点: 二次函数的应用。分析: (1)利用 P 与 P(1,3)关于 x 轴对称,得出 P 点坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式即可;(2)根据已知得出 C,D 两点坐标,进而得出“W”图案的高与宽(CD)的比解答: 解:(1)P 与