1、考点十四：三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角
2、形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。直角三角形全等的判定
3、：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个三角
4、形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考点典例一、三角形中位线【例 2】 （2014河北）如图，ABC 中，D，E 分别上边 AB，AC 的中点，若 DE=2，则 BC=（ ）A、2 B、3 C、4 D、5【答案】C.考点：三角形中位线定理.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条
5、重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用【举一反三】1(2015湖北衡阳，18 题，3 分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB，选取可以直达A、B 两点的点 O 处，再分别取 OA、OB 的中点 M、N，量得 MN20m，则池塘的宽度 AB 为 m【答案】40考点： 三角形中位线定理考点典例二、等腰三角形【例 2】(2015湖北衡阳，7 题，3 分)已知等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A11 B16 C17 D16 或 17【答案】D考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想 【点睛】本
6、题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】(2015湖北荆门，5 题，3 分)已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4，则该等腰三角形的周长为（ ）A8 或 10 B8 C10 D6 或 12【答案】C【解析】试题分析：2 是腰长时，三角形的三边分别为 2、2、4，2+2=4，不能组成三角形，2 是底边时，三角形的三边分别为 2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是 10故选 C考点：1等腰三角形的性质；2三角形三边关系；3分类讨论考点典例三、全等三角形【例 3】
7、如图，ABC 和DEF 中，AB=DE、角B=DEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF（ ）20 题图AACDF BA=D CAC=DF DACB=F【答案】C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：AB=DE，B=DEF，添加 ACDF，得出ACB=F，即可证明ABCDEF，故 A、D 都正确；添加A=D，根据 ASA，可证明ABCDEF，故 B 都正确；添加 AC=DF 时，没有 SSA 定理，不能证明ABCDEF，故 C 都不正确故选 C【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的 HL 定理【举一反
8、三】（2015.重庆市 A 卷，第 20 题，7 分）如图，在ABD 和FEC 中，点 B,C,D,E 在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B= E。求证： ADB= FCE.【答案】证明见解析.考点：全等三角形的证明.考点典例四、相似三角形【例 4】如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DEAC，若 SBDE ：S CDE =1：4，则 SBDE ：S ACD=（ ）A 1：16 B 1：18 C 1：20 D 1：24【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似
9、比的平方，用BDE 的面积表示出ABC 的面积是解题的关键【举一反三】1. (2015.天津市，第 16 题，3 分)如图，在 ABC 中， DE BC，分别交 AB， AC 于点 D， E. 若 AD =3， DB =2， BC =6，则 DE 的长为 .ECDAB【答案】 185.【解析】试题分析：由 DEBC 可得ADEABC,根据相似三角形的性质可得 3,56ADE=BC即 ,解得185DE.考点:相似三角形的判定与性质.2.(2015黑龙江哈尔滨）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，连接 EF，分别交 AD、CD 于点 G
10、，H，则下列结论错误的是（ ）（A） EBF （B） EAD （C） BF （D） HCA【答案】C考点：三角形相似的应用.考点典例五、位似三角形【例 5】ABC 与ABC是位似图形，且ABC 与ABC的位似比是 1：2，已知ABC 的面积是3，则ABC的面积是（ ）A3 B6 C9 D12【答案】D【解析】考点：位似变换的性质【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键【举一反三】1.（2015辽宁营口）如图，ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，已知点 A（3，4），点C（2，2），点 D（3，1），则点 D 的对应点 B 的坐标是
11、( ).A（4，2） B（4，1） C（5，2） D（5，1）【答案】C.【解析】试题分析：分别过 C,D,A,B,做 x 轴的垂线，垂足分别是 F,H,K；因为 A,D 的横坐标相同，所以 D 在 AH 上，E（1,0） ，C（2，2），A（3，4），D（3，1），EF=1，FH=1；CFAHBK, 21=EHFAC,CDAB, 21=EBDAC,DHBK,2=EBKH,EH=2，DH=1，EK=4，BK=2，OK=5，B(5，2),故选 C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.2.（2015 宜宾）如图， OAB 与 OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，
12、 OCD=90，CO=CD若 B（1，0） ，则点 C 的坐标为（ ）A （1，2） B （1，1） C （ 2， ） D （2，1）【答案】B考点：1位似变换；2坐标与图形性质考点典例六：直角三角形【例 6】 （2015湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO 为 ，则树 OA 的高度为（ ）30.tanA米.30sinB米 .30tanC米 .30cosD米【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得 BO=30，tanABO= AOB，则 AO=BOtanABO=30tan.考点：三角函数的应用.【点睛】本题可以考
13、查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边【举一反三】1.（2015辽宁大连）如图，在ABC 中，C=90，AC=2，点 D 在 BC 上，ADC=2B，AD= 5，则 BC的长为（ ）A. 3-1 B. +1 C. 5-1 D. 5+1【答案】D考点：解直角三角形.2.(2015湖北荆门，11 题，3 分)如图，在 ABC 中， BAC=Rt， AB=AC，点 D 为边 AC 的中点， DE BC于点 E，连接 BD，则 tan DBC 的值为（ ）A 13 B 21 C 23 D 14【答案】A【解析】考点：1解直角三角形；2等腰直
14、角三角形课时作业能力提升1、选择题1.（2015湖南长沙） 如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得 A 是作 BC 边上的高，C 是作 AB 边上的高，D 是作 AC 边上的高.考点：三角形高线的作法2.（2015.山东济宁，第 5 题,3 分）三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 21360x的根，则三角形的周长为( )A.13 B.15 C.18 D.13 或 18【答案】A【解析】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为 124,9x，那么根据三角形的三
15、边关系，可知 3第三边9，得到合题意的边为 4，进而求得三角形周长为 3+4+6=13故选 A考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长3.（2015.济宁，第 9 题,3 分）如图，斜面 AC 的坡度（CD 与 AD 的比）为 1:2，AC= 35米，坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连，若 AB=10 米，则旗杆 BC 的高度为( )A.5 米 B. 6 米 C. 8 米 D. (35)米 DCBA【答案】A考点：解直角三角形4.(2015.山东日照，第 10 题，3 分)如图，在直角BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC= BD，连接 AC，若
16、tanB= ，则 tanCAD 的值（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长 AD，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，tanB= ，即 = ，设 AD=5x，则 AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA， ，CE= x，DE= ，AE= ，tanCAD= = 故选 D考点：解直角三角形5.（2015 成都）如图，在 ABC 中， DE/BC， AD=6， BD=3， AE=4，则 EC 的长为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析： 根据平行线段的比例关系， ADEBC，即 643， 2EC，故选 B考点：平行线分线段成比例6.
17、(2015黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此时飞机飞行高度 AC1200m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 30，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为（ ）（A）1200m (B) 1200 2m (C)1200 m (D)2400m【答案】D考点：三角函数的应用.7.（2015 内江）如图，在 ABC 中， AB=AC， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D， AE BD 交 CB 的延长线于点 E若 E=35，则 BAC 的度数为（ ）A40 B45 C60 D70【答案】A【解析】试题分析： AE BD， CBD= E=35， BD 平分 A
18、BC， CBA=70， AB=AC， C= CBA=70， BAC=180702=40故选 A考点：1等腰三角形的性质；2平行线的性质8.(2015.北京市，第 6 题，3 分)如图，公路 AC， BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM 的长为 1.2km，则 M、 C 两点间的距离为( )A0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MC=1.2km故选 D考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、填空题9.（2015辽宁沈阳）如图， ABC 与 DEF 位似，位似中
19、心为点 O，且 ABC 的面积等于 DEF 面积的 49，则 AB： DE= 【答案】2：3考点：位似变换10.如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若BAC=80，则BCA 的度数为 【答案】60.【解析】试题分析：可证明CODCOB，得出D=CBO，再根据BAC=80，得BAD=100，由角平分线可得BAO=40，从而得出DAO=140，根据 AD=AO，可得出D=20，即可得出CBO=20，则ABC=40，最后算出BCA=60试题解析：ABC 三个内角的平分线交于点 O，ACO=BCO，在COD 和COB 中，CDBO，C
20、ODCOB，D=CBO，BAC=80，BAD=100，BAO=40，DAO=140，AD=AO，D=20，CBO=20，ABC=40，BCA=60.考点:1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质11.如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF= 12BC若 AB=10，则 EF 的长是 【答案】5.【解析】试题分析：在 RtABC 中，ACB=90，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AB=10，AD=5，AE=EC，DE= 12BC，AED=90.CF= 12BC，DE=FC.在 RtADE 和 RtEFC
21、中，AE=EC，DE=FC，RtADERtEFC（SAS）.EF=AD=5.考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.12.（2015 山东枣庄，第 15 题，4 分）如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，若 AD=6，DE=5，则CD=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为 CDAB，所以ADC 是直角三角形，E 为 AC 的中点，所以 AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质13.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点 B、 A、 D、 E 在同一直线上，BD=AE， BC EF，要使 ABC DEF，则只需添加一
22、个适当的条件是 （只填一个即可）【答案】 BC=EF 或 BAC= EDF考点：1全等三角形的判定；2开放型14.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭） BD 为等腰 ABC 的腰 AC 上的高，BD=1， tan ABD= 3，则 CD 的长为 【答案】 23或 或 3【解析】试题分析：分三种情况：如图 1， A 为钝角， AB=AC，在 Rt ABD 中， BD=1， tan ABD= 3， AD=3， AB=2， AC=2， CD=23，如图 2， A 为锐角， AB=AC，在 Rt ABD 中， BD=1， tan ABD= ， AD= ， AB=2， AC=2， CD=23
23、，如图 3， BA=BC， BD AC， AD=CD，在 Rt ABD 中， BD=1， tan ABD= 3， AD= ， CD= 3，综上所述； CD 的长为： 2或 或 3，故答案为： 23或 或 3考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理三解答题15.如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点.（1）作图：过 B 作 AC 的平行线 BH；过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G.（2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.【答案】 （1）作图见解析；（2）DECDFB（答案不唯一） ，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据平行
24、线和垂线的作图方法作图.（2）根据作图方法，由 ASA 可判定DECDFB（答案不唯一）.试题解析：解：（1）作图如下：如答图 1；如答图 2.（2）DECDFB（答案不唯一） ，证明如下：BHAC，DCE=DBF.又D 是 BC 中点，DC=DB.在DEC 与DFB 中，DCEBF，DECDFB（ASA）.考点：1. 作图（复杂作图） ；2.开放型问题；3. 全等三角形的判定；4.平行的性质.16.在ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE=AF，BF 与 CE 相交于点 P求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段【答案】证明见解析【解析】试题分析：可证明ABF
25、ACE，则 BF=CE，再证明BEPCFP，则 PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF试题解析：在ABF 和ACE 中，AB=AC BAF=CAE AF=AE ，ABFACE（SAS） ，ABF=ACE（全等三角形的对应角相等） ，BF=CE（全等三角形的对应边相等） ，AB=AC，AE=AF，BE=CF，在BEP 和CFP 中，BPE=CPF PBE=PCF BE=CF ，BEPCFP（AAS） ，PB=PC，BF=CE，PE=PF，图中相等的线段为 PE=PF，BE=CF，BF=CE考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质17.(2015湖北孝感） （本题满分 8 分）我们把两
26、组邻边相等的四边形叫做“筝形” 如图，四边形 ABCD是一个筝形，其中 CBA，CDA对角线 A， BD相交于点 O， E， F，垂足分别是 E， F求证OFE【答案】OE=OF.【解析】试题分析：由 BDCA根据 SSS 得出全等，根据全等性质得出 BD 为ABC 的角平分线，再由角平分线上的点到角两边的距离相等，得出 OE=OF考点：全等三角形18.（2015辽宁沈阳）如图，点 E 为矩形 ABCD 外一点， AE=DE，连接 EB、 EC 分别与 AD 相交于点F、 G求证：（1） EAB EDC；（2） EFG= EGF【答案】 （1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】试题分
27、析：（1）先根据四边形 ABCD 是矩形，得到 AB=DC， BAD= CDA=90再根据 EA=ED，得到 EAD= EDA，由等式的性质得到 EAB= EDC利用 SAS 即可证明 EAB EDC；（2）由 EAB EDC，得到 AEF= DEG，由三角形外角的性质得出 EFG= EAF+ AEF， EGF= EDG+ DEG，即可证明 EFG= EGF试题解析：（1）四边形 ABCD 是矩形， AB=DC， BAD= CDA=90 EA=ED， EAD= EDA， EAB= EDC在 EAB 与 EDC 中， EA=ED， EAB= EDC， AB=DC， EAB EDC（ SAS） ；
28、（2） EAB EDC， AEF= DEG， EFG= EAF+ AEF， EGF= EDG+ DEG， EFG= EGF考点：1全等三角形的判定与性质；2矩形的性质19.(2015湖北襄阳,22 题)如图， AD 是 ABC 的中线， tanB=13， cosC= 2， AC= 求：（1） BC 的长；（2） sin ADC 的值【答案】 （1）4；（2） 2（2） AD 是 ABC 的中线， CD= 12BC=2， DE=CD CE=1， AE BC， DE=AE， ADC=45， sin ADC= 2考点：解直角三角形20.（2015.山东泰安，第 27 题） （10 分）如图，在 ABC 中， AB=AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且 APD= B（1）求证： ACCD=CPBP；（2）若 AB=10， BC=12，当 PD AB 时，求 BP 的长【答案】 （1）证明见试题解析；（2） 253考点：1相似三角形的判定与性质；2综合题
