1、考点二十：图形的变换 聚焦考点温习理解一、平移 1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。二、轴对称 1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，
2、如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。三、旋转 1、定义把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。四、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
3、这个点就是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x
4、，-y）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为P（x，-y）3、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为P（-x，y）名师点睛典例分类考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（ ）A6 B12 C 25 D 45【答案】D【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，
5、勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出 BE 的长度是解题的关键，也是本题的突破口【举一反三】1.（山东泰安，第 20 题） （3 分）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 ABE 沿直线 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于点 F若 AB=6， BC=46，则 FD 的长为（ ）A2 B4 C 6 D 23【答案】B考点：1翻折变换（折叠问题） ；2综合题2.（2015 内江）如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， C=90， E 为 CD 上一点，分别以 EA， EB 为折痕将两个角（ D， C）向内折叠，点 C， D 恰好落在 AB 边的点 F
6、处若 AD=2， BC=3，则 EF 的长为 【答案】 6【解析】试题分析：分别以 AE， BE 为折痕将两个角（ D， C）向内折叠，点 C， D 恰好落在 AB 边的点 F 处， DE=EF， CE=EF， AF=AD=2， BF=CB=3， DC=2EF， AB=5，作 AH BC 于 H， AD BC， B=90，四边形ADCH 为矩形， AH=DC=2EF， HB=BC CH=BC AD=1，在 Rt ABH 中，AH= 2ABH= 6， EF= 故答案为： 6考点：1翻折变换（折叠问题） ；2综合题考点典例二、点的对称【例 2】已知点 Am,3B4,n5 关于 y 轴对称，则 mn
7、= 【答案】0.【解析】点 2,关于 y 轴对称， 24mn0n3n5.考点：1.关于 y 轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.【点睛】关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数.【举一反三】1.（2015 眉山）点 P（3，2）关于 y 轴的对称点的坐标是_【答案】 （3，2） 考点：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标2.（2015 凉山州）在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于直线 yx对称点的坐标是（ ）A （3，2） B （3，2） C （2，3） D （3，2）【答案】C【解析】试题分析：点 P 关于直线 yx对称点为点 Q，作 AP
8、x 轴交 yx于 A， yx是第一、三象限的角平分线，点 A 的坐标为（2，2） ，AP=AQ，点 Q 的坐标为（2，3）故选 C考点：坐标与图形变化-对称考点典例三、平移【例 3】如图，将ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到DEF，若ABC 的周长为 16cm，则四边形 ABFD 的周长为（ ）(A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm【答案】C【点睛】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；即可求出答案.【举一反三】1.（2015.山东济南，第 9 题,3 分）如图，在平面直角坐标系中，A
9、BC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将ABC 先向右平移 4 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度，得到 1ABC，那么点 A 的对应点 1的坐标为（ ）A （4，3） B （2，4） C （3，1） D （2，5）【答案】D考点：坐标与图形变化-平移2.（2015辽宁大连）在平面直角坐标系中，将点 P（3，2）向右平移 2 个单位长度，所得到的点的坐标为（ ）A.（1，2） B.（3，0） C.（3，4） D.(5，2)【答案】D【解析】试题分析：根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加” ，可知横坐标应变为 5，而纵坐标不变，故选 D.考点：坐标的平移.考点典例四、旋转变换（含中心对称）
10、问题【例 4】如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上若 AC= 3，B=60，则 CD 的长为（ ）A0.4 B1.5 C 2 D1【答案】D考点：1.旋转的性质；2.含 30 度直角三角形的性质；3. 等边三角形的判定和性质【点睛】解直角三角形求出 AB，再求出 CD，然后根据旋转的性质可得 AB=AD，然后判断出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 BD=AB，然后根据 CD=BCBD 计算【举一反三】1. (2015.天津市，第 11 题，3 分)如图，已知在 ABCD 中， AE BC 于点 E
11、，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC，把 BAE 顺时针旋转，得到 BA E ，连接 DA .若 ADC=60， ADA =50，则 DA E 的大小为( )（A）130 （B）150 （C）160 （D）170EAEBD CA【答案】C.【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得ADC=ABC=60,在 RtABE 中，可求得EAB=30；由旋转的性质可得EAB=BA E =30；在四边形 AEA D 中，根据四边形的内角和为 360可求得DA B=130，所以DA E =DA B+BA E =130+30=160，故答案选 C.考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为 3
12、60.2.（2015.山东德州第 6 题，3 分）如图，在 ABC 中， CAB=65，将 ABC 在平面内绕点 A 旋转到AB C的位置，使 CC AB，则旋转角的度数为（ ）A35 B40 C50 D65【答案】C【解析】试题分析： CC AB， ACC= CAB=65， ABC 绕点 A 旋转得到AB C， AC=AC， CAC=1802 ACC=180265=50， CAC= BAB=50故选 C考点：旋转的性质课时作业能力提升一、选择题1. (山东日照，第 1 题，3 分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.
13、【答案】D【解析】试题分析：解：根据轴对称图形的概念可知：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选D考点：轴对称图形2.（2015 甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：A是轴对称图形，不是中心对称图形故 A 错误；B不是轴对称图形，是中心对称图形故 B 正确；C是轴对称图形，不是中心对称图形故 C 错误；D是轴对称图形，不是中心对称图形故 D 错误故选 B考点：中心对称图形3. (2015黑龙江哈尔滨）如图，在 RtABC 中， BAC 90，将 A
14、BC 绕点 A 顺时针旋转 90后得到ABC（点 B 的对应点是点 ，点 C 的对应点是点 ） ，连接 C 。若 C B 32，则 B 的大小是（ ）(A) 32 (B) 64 (C) 77 (D) 87【答案】C考点：旋转图形的性质、三角形内角和定理.4. (2015湖北襄阳,12 题)如图，矩形纸片 ABCD 中， AB4， BC8，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则下列结论错误的是（ ）A AF AE B ABE AGF C EF 25 D AF EF【答案】D由已知条件无法确定 AF 和 EF 的关系，故选 D考点：翻折变换（折叠问题） 5.(2015湖北孝感）在平面直
15、角坐标系中，把点 )3 5(，P向右平移 8 个单位得到点 1P，再将点 1绕原点旋转 90得到点 2P，则点 2的坐标是 ( )A. )3(， B )3(，C )(3，或， D )(， 或 )3 (，【答案】D.【解析】试题分析： )3 5(，P向右平移 8 个得 1P（3，3） ，再旋转 90，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为 ， ，逆时针旋转的时候答案为 ) (，.故选：D.考点：坐标系.6.（2015.山东泰安，第 20 题） （3 分）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 ABE 沿直线 BE 折叠后得到 GBE，延长 BG 交 CD 于点 F若 AB
16、=6， BC=46，则 FD 的长为（ ）A2 B4 C 6 D 23【答案】B考点：1翻折变换（折叠问题） ；2综合题7.（山东菏泽第 8 题，3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3yx经过点 A，作 AB x 轴于点B，将 ABO 绕点 B 逆时针旋转 60得到 CBD若点 B 的坐标为（2，0） ，则点 C 的坐标为（ ）A （1， 3） B （2， 3） C （ 3，1） D （ 3，2）【答案】A考点：1坐标与图形变化-旋转；2一次函数图象上点的坐标特征8.（2015湖北鄂州，8 题，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，点 E 是 BC 的中点，连
17、接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sinECF = （ ）A 43 B 4 C 53 D 54【答案】D.【解析】试题分析：由翻折易知 BE=EF,因为点 E 是 BC 的中点，故 BE=EC=6，所以 FE=EC=6，EFC=ECF,再由四边形内角和可求出EFC+ECF=BEF，从而可得ECF=BEA，进而求得答案.试题解析：根据题意得：BE=EF=6，B=AFE, BEA=FEAE 是 BC 的中点BE=EC=6FE=EC=6EFC=ECF又BAF+B+BEF+AFE=360BAF+BEF=180又FEC+BEF=180FEC+FCE+EFC=18
18、0ECF=BEA在 RtABE 中，由勾股定理得：AE= 210ABEsinBEA= 84150ABEsinECF=故选 D.考点：翻折问题.二、填空题9.(2015.上海市，第 18 题，4 分)已知在 ABC中， 8， 30BAC将 B绕点 A旋转，使点 B落在原 AC的点 处，此时点 落在点 D处延长线段 ，交原 的边 C的延长线于点 E，那么线段 D的长等于_【答案】 43【解析】试题分析：如图，由旋转的性质知， 8AC， 30A，过 C作 FAE交 于 F，而142CFA， 3F，故 43D.在 B中，易求得 75B，故 45，E为等腰直角三角形， E，所以 4(83)EFD.？30
19、88FEABCD考点：1.旋转的性质；2.含 30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.10.(2015.宁夏，第 13 题，3 分)如图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 的 坐 标 为 （ 0,4） ， OAB 沿 x 轴 向 右平 移 后 得 到 OA B， 点 A 的 对 应 点 A是 直 线 45yx上 一 点 ， 则 点 B 与 其 对 应 点 B间 的 距 离 为 【答案】5.考点：平移的性质；正比例函数图象上点的特征.11.（2015.山东莱芜第 16 题）在平面直角坐标系中，以点 )3,4(A、 )0,(B、 ),8(C为顶点的三角形向上平移 3 个单位，
20、得到 1CBA（点 1、 分别为点 、 的对应点） ，然后以点 1为中心将1CBA顺时针旋转 90，得到 2（点 2B、 分别是点 1、 的对应点） ，则点 2A的坐标是 .【答案】 （11,7）考点：平移与旋转变换12. （2014梅州）如图，把ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35，得到ABC，AB交 AC 于点D，若ADC=90，则A= .【答案】55.【解析】试题分析：把ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35，得到ABC，ACA=35，A =A，.ADC=90，A =55. A=55.考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.(2015湖北荆门，16 题，3 分)在矩
21、形 ABCD 中， AB=5， AD=12，将矩形 ABCD 沿直线 l 向右翻滚两次至如图所示位置，则点 B 所经过的路线长是 （结果不取近似值） 【答案】12.5【解析】试题分析：连接 BD在直角 ABD 中， BD= 251=13，则顶点 B 所经过的路线长：9013280=12.5故答案为：12.5考点：1轨迹；2弧长的计算；3旋转的性质14.（2015 绵阳）如图，在等边 ABC 内有一点 D， AD=5， BD=6， CD=4，将 ABD 绕 A 点逆时针旋转，使 AB与 AC 重合，点 D 旋转至点 E，则 CDE 的正切值为 【答案】 37【解析】试题分析： ABC 为等边三角
22、形， AB=AC， BAC=60， ABD 绕 A 点逆时针旋转得ACE， AD=AE=5， DAE= BNAC=60， CE=BD=6， ADE 为等边三角形， DE=AD=5，过 E 点作 EH CD于 H，如图，设 DH=x，则 CH=4 x，在 Rt DHE 中， 225EHx，在 Rt DHE 中，226(4)E， 2256(4)，解得 x= 8， EH= 25()8= 71，在 Rt EDH 中，tan HDE= DH=178=3，即 CDE 的正切值为 37故答案为： 3考点：1旋转的性质；2等边三角形的性质；3解直角三角形；4综合题15.（2015辽宁沈阳）如图，正方形 ABC
23、D 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG， EF 与 AD 相交于点H，延长 DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 边长为 3，则 AK= 【答案】 23【解析】考点：旋转的性质16.（2015湖南常德）已知 A 点的坐标为（1,3） ，将 A 点绕坐标原点顺时针 90，则点 A 的对应点的坐标为 【答案】 （3,1）【解析】试题分析：根据题意可知此题是旋转变换题，可根据题意作出草图如下： y xBODCE由图可知BCOEDO，故可知 BCOE，OCDE答案为：（3,1）考点：坐标点的变换规律三、解答题17.(2015湖北衡阳，23 题，分)（本小题满分 6 分）如图，在平面
24、直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2） 、B（3，5） 、C（1，2） （1）在平面直角坐标系中画出ABC 关于 x轴对称的A 1B1C1；（2）把ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的AB 2C2，点 C2在 AB 上旋转角为多少度？写出点 B2的坐标【答案】（1）ABC 关于 x轴对称的A 1B1C1如图所示；（2）由图可知，旋转角为 90；点 B2的坐标为（6，2） 【解析】试题分析： （1）关于 x 轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；（2）AC 2 与 AC 的夹角为 90，所以旋转角为 90；观察旋转可知 B2 的横坐标是：A
25、的横坐标+AB 的长，其纵坐标为 A 的纵坐标.试题解析： （1）ABC 关于 x轴对称的A 1B1C1如图所示；（2）由图可知，旋转角CAC 2 =90，即旋转了 90；A（3，2） 、B（3，5）AB=5-2=3=AB 2 ，B 2 的横坐标是 3+3=6，B 2 的纵坐标是 2，B 2的坐标为（6，2） 考点： 点的坐标；图形的变换旋转；作图图形变化类18(2015.安徽省，第 17 题，8 分)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中，给出了 ABC(顶点是网格线的交点)(1)请画出 ABC 关于直线 l 对称的 A1B1C1；ABCl第 17 题图(2)将线段 AC 向左平移
26、3 个单位，再向下平移 5 个单位，画出平移得到的线段 A2C2，并以它为一边作一个格点 A2B2C2，使 A2B2 C3B2【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出 A2C2,在作出A 2B2C2,使 A2C2=C2B2 (答案不唯一).试题解析：(1) A1B1C1如图所示；（2）线段 A2C2和 A2B2C2如图所示（符合条件的 A2B2C2不唯一） 考点：轴对称作图；平移的性质.19.（8 分） （2015聊城，第 19 题）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 的顶点均在格点上，点 A
27、 的坐标是（3，1） （1）将ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到A 1B1C1，画出A 1B1C1，并写出点 B1坐标；（2）画出A 1B1C1关于 y 轴对称的A 2B2C2，并写出点 C2的坐标【答案】 （1）点 1B坐标为：（2，1） ；（2）点 2C的坐标为：（1，1）【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案试题解析：解：（1）如图所示： 1ABC，即为所求；点 1B坐标为：（2，1） ；（2）如图所示： 2，即为所求，点 2的坐标为：（1，1） 考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换20
28、.（2015 南充） （10 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A、 B 和 D 的距离分别为1， 2， 0， ADP 沿点 A 旋转至 ABP，连结 PP，并延长 AP 与 BC 相交于点 Q（1）求证： APP是等腰直角三角形；（2）求 BPQ 的大小；（3）求 CQ 的长【答案】 （1）证明见试题解析；（2）45；（3） 13试题解析：（1） ADP 沿点 A 旋转至 ABP，根据旋转的性质可知， APDAP B， AP=AP， PAD= P AB， PAD+ PAB=90， P AB+ PAB=90，即 PAP=90， APP是等腰直角三角形； （2）由（1）知 PAP=90， AP=AP=1， PP= 2， P B=PD= 10， PB=2，2PB+=， P PB=90， APP是等腰直角三角形， APP=45， BPQ=1809045=45；（3）作 BE AQ，垂足为 E， BPQ=45， P B=2， PE=BE=2， AE=2+1=3， AB= 2AEB=1， BE= 9=2， EBQ= EAB， cos EAB= 31AE， cos EBQ= 31BQ，23BQ， BQ= 213， CQ= 23= 考点：1几何变换综合题；2四边形综合题；3压轴题
