1、专题 43 直角三角形聚焦考点温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c的平方，即：a 2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边 a、b、c 有关系：a 2+b2=c2，那么这个三角形是直
2、角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）四、互逆命题、互逆定理1.互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例 1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A4,5,6 B1
3、.5,2，2.5 C2,3,4 D1， 2 ，3【答案】B 考点：勾股定理的逆定理【举一反三】（舟山一中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）A3、4、5 B2、3、4 C1、2、3 D4、5、6【答案】A【解析】试题分析：选项 A，3 2+52=25=52；选项 B， 22+32=4 2；选项 C， 12+223 2；选项 D， 42+526 2根据勾股定理的逆定理可得只有选项 A能够成直角三角形，故答案选 A考点：勾股定理的逆定理考点典例二、直角三角形的性质【例 2】如图，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB上的两个点，且 BD=BC，AE=AC，则DCE
4、的大小为 【答案】45考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.方程思想的应用【举一反三】在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60，则另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D30【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于 60，另一个锐角的度数=9060=30故选 D考点：直角三角形两锐角的关系.考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例 3】如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D是 AB的中点，且 CD= 52，如果 RtABC 的面积为 1，则它的周长为（ ）A 512 B 51 C 52 D 53【答案】D
5、考 点 ： 勾 股 定 理 ； 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】（2015.山东枣庄，第 15题，4 分）如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC的中点，若 AD=6，DE=5，则CD=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为 CDAB，所以ADC 是直角三角形，E 为 AC的中点，所以 AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质考点典例四、命题【例 3】下列命题中，是真命题的是( )A等腰三角形都相似 B等边三角形都相似 C锐角三角形都相似 D直角三角形都相似
6、【答案】B【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为 60，从而都相似. 故选 B考点：1. 命题和定理；2.相似三角形的判定；3. 等边三角形的性质.【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1可使求解过程更容易理解【举一反三】下列命题错误的是（ ）A所有的实数都可用数轴上的点表示B等角的补角相等C无理数包括正无理数，0，负无理数D两点之间，线段最短【答案】【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对 A进行判断；根据补角的定义对 B进行判断；根据无理数的分类对 C进行判断；
7、根据线段公理对 D进行判断考点：命题与定理课时作业能力提升一、选择题1. (2015.北京市，第 6题，3 分)如图，公路 AC， BC互相垂直，公路 AB的中点 M与点 C被湖隔开，若测得 AM的长为 1.2km，则 M、 C两点间的距离为( )A0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MC=1.2km故选 D考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2. （2015湖北黄冈， 6题， 3分）如图，在 ABC 中， C=Rt， B=30，边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E，交 BC 于点
8、 D， CD=3，则 BC 的长为（ ）A6 B C9 D 3【答案】C考点：1含 30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质3.（2015辽宁大连）如图，在ABC 中，C=90，AC=2，点 D在 BC上，ADC=2B，AD= 5，则 BC的长为（ ）A. 3-1 B. +1 C. 5-1 D. 5+1【答案】D【解析】试题分析：在ADC 中，C=90，AC=2，所以 CD= 1252ACD，因为ADC=2B，ADC=B+BAD，所以B=BAD，所以 BD=AD= ，所以 BC= +1，故选 D.考点：解直角三角形.4.（2015 资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 1
9、2cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm的点 B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm的点 A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A13 cm B 261cm C 61cm D 234cm【答案】A【解析】试题分析：如图：高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm的点 B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm与饭粒相对的点 A处， A D=5cm， BD=123+ AE=12cm，将容器侧面展开，作 A关于 EF的对称点 A，连接 A B，则 A B即为最短距离， A B= 2D=251=13（ Cm） 故选
10、 A考点：平面展开-最短路径问题5.（2015 眉山）如图，在 Rt ABC中， B=900， A=300， DE垂直平分斜边 AC，交 AB于 D， E是垂足，连接 CD若 BD=l，则 AC的长是（ ）A 32 B2 C 34 D4【答案】A【解析】试题分析：在 Rt ABC中， B=90， A=30， ACB=60， DE垂直平分斜边AC， AD=CD， ACD= A=30， DCB=6030=30，在 Rt DBC中， B=90， DCB=30，BD=1， CD=2BD=2，由勾股定理得： BC= 21= 3，在 Rt ABC中， B=90， A=30，BC= 3， AC=2BC= 3
11、2，故选 A考点：1含 30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质；3勾股定理6.（2015 乐山）如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA的值为（ ）A 3 B 5 C 23 D 25【答案】D考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4网格型二、填空题7.（2015 成都）如图，在平行四边形 ABCD中， AB= 13， AD=4，将平行四边形 ABCD沿 AE翻折后，点 B恰好与点 C重合，则折痕 AE的长为_【答案】3【解析】试题分析：点 B恰好与点 C重合，且四边形 ABCD是平行四边形，根据翻折的性质， 则AE BC， BE=CE=2，在 Rt AB
12、E中，由勾股定理得 2134AEB故答案为：3考点：1翻折变换（折叠问题） ；2勾股定理；3平行四边形的性质8.（2015 内江）在 ABC中， B=30， AB=12， AC=6，则 BC= 【答案】 63考点：1含 30度角的直角三角形；2勾股定理9.如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，AC=5，点 E在 BC上，将ABC 沿 AE折叠，使点 B落在 AC边上的点 B处，则 BE的长为 【答案】 32【解析】试题分析：在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，AC=5， 2BCA4.由折叠的性质得：BE=BE，AB=AB，设 BE=x，则 BE=x，CE=4x，BC=ACA
13、B=ACAB=2，在 RtBEC 中，BE 2+BC 2=EC2，即 x2+22=（4x） 2，解得：x= 32BE 的长为 3考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭） BD为等腰 ABC的腰 AC上的高，BD=1， tan ABD= 3，则 CD的长为 【答案】 2或 或 【解析】试题分析：分三种情况：如图 1， A为钝角， AB=AC，在 Rt ABD中， BD=1， tan ABD= 3， AD=3， AB=2， AC=2， CD=23，如图 2， A为锐角， AB=AC，在 Rt ABD中， BD=1， tan
14、ABD= ， AD= ， AB=2， AC=2， CD=23，如图 3， BA=BC， BD AC， AD=CD，在 Rt ABD中， BD=1， tan ABD= 3， AD= ， CD= 3，综上所述； CD的长为： 2或 或 3，故答案为： 23或 或 3考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理11.如图，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC 折叠，使点 B恰好落在边 AC上，与点 B重合，AE 为折痕，则 EB= 【答案】1.5.考点：翻折变换（折叠问题）12.如图，直线 mn，RtABC 的顶点 A在直线 n上，C=90，若1=25，2=70.则B=
15、 【答案】45.【解析】试题分析：mn，2=70，BAn=70.1=25，BAC=45.C=90，B=45. 考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.（2015湖北黄冈，14 题，3 分）在 ABC 中， AB=13cm， AC=20cm， BC 边上的高为 12cm，则 ABC 的面积为_ 2cm【答案】126 或 66【解析】试题分析：当 B为锐角时（如图 1） ，在 Rt ABD中， BD= 2ABD= 213=5cm，在 Rt ADC中， CD= 2ACD= 20=16cm， BC=21， S ABC= BCAD= 2112=126cm2；当 B为钝角时（如图 2）
16、，在 Rt ABD中， BD= 2= 2=5cm，在 Rt ADC中， CD=2= 1=16cm， BC=CD BD=165=11 cm， S ABC= 1BCAD= 21112=66cm2，故答案为：126 或 66考点：1勾股定理；2分类讨论三、解答题14.如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 A、B、C 均落在格点上. （1）计算 2ABC的值等于 ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 AB为一边的矩形，使矩形的面积等于2，并简要说明画图方法（不要求证明） . 【答案】 （1）11；（2）作图如下，分别以 AC、BC、AB 为一边作正方形 ACED
17、，正方形 BCNM，正方形ABHF；延长 DE交 MN于点 Q，连接 QC，平移 QC至 AG，BP 位置，直线 GP分别交 AF，BH 于点 T，S，则四边形 ABST即为所求【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算： 22ACB31.（2）首先分别以 AC、BC、AB 为一边作正方形 ACED，正方形 BCNM，正方形 ABHF；进而得出答案考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理15.（1）问题发现如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE.填空：AEB 的度数为 ；线段 AD 和 BE之间的数量关系是 .（2）拓展探究如
18、图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90 0, 点 A、D、E 在同一直线上，CM 为DCE中 DE边上的高，连接 BE. 请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD中，CD= 2. 若点 P满足 PD=1，且BPD=90 0，请直接写出点 A到 BP的距离.【答案】 （1）60；AD=BE；（2）AEB90 0；AE=2CM+BE，理由见解析；（3） 312或 .（2）同（1）可证ACDBCE，再由等腰直角三角形的性质可得结论AEB90 0；AE=2CM+BE.（3）PD =1，BPD=90
19、0，BP 是以点 D为圆心、以 1为半径的 OD的切线，点 P为切点第一种情况：如图，过点 A作 AP的垂线，交 BP于点 P/，可证APDAP /B，PD=P /B=1，CD= 2，BD=2，BP= 3. AM= 12PP/= (PB-BP/)= 312.第二种情况如图，可得 AM= PP/= (PB+BP/)= .试题解析：（1）60；AD=BE. （2）AEB90 0；AE=2CM+BE. 理由如下：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB =DCE= 90 0，AC=BC，CD=CE， ACB=DCB=DCEDCB，即ACD=BCE.ACDBCE（SAS）. AD = BE, BE
20、C=ADC=135 0.AEB=BECCED=135 045 0=900 在等腰直角三角形 DCE中，CM 为斜边 DE上的高，CM= DM= ME. DE=2CM .AE=DE+AD=2CM+BE.（3） 12或 3.考点：1. 等边三角形和等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.切线的判定和性质；5.分类思想的应用.16.如图，在等边三角形 ABC中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E作 EFDE，交 BC的延长线于点 F.（1）求F 的度数；（2）若 CD=2，求 DF的长.【答案】 （1）30；（2）4.考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含 30度角的直角三角形的性质
