1、考点十六：与圆有关的概念聚焦考点温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。 （如图中的 CD）直径等于半径的 2 倍。4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的
2、弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类考点典例一、垂径定理【例 1】如图，已知O 的半径为 13，弦 AB
3、 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是( )A6 B5 C4 D3【答案】B考点：1.垂径定理；2.勾股定理.【点睛】过 O 作 OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 OC 的长【举一反三】 （2015 遂宁）如图，在半径为 5cm 的 O 中，弦 AB=6cm， OC AB 于点 C，则 OC=（ ）A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm【答案】B考点：1垂径定理；2勾股定理考点典例二、求边心距【例 2】 （2015 达州）已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 3cm，则正六边形的半径为 cm【答案
4、】2【解析】试题分析：如图所示，连接 OA、 OB，过 O 作 OD AB，多边形 ABCDEF 是正六边形， OAD=60， OD=OAsin OAB= 32AO= ，解得： AO=2故答案为：2考点：正多边形和圆【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径【举一反三】如图，半径为 5 的A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是BAC，EAD. 已知 DE=6，BAC+EAD=180，则弦 BC 的弦心距等于(
5、)A. 241 B. 234 C. 4 D. 3 【答案】D考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点 A 作 AHBC 于 H，作直径 CF，连接 BF， BAC+EAD=180，BAC+BAF=180，DAE=BAF.在ADE 和ABF 中，ADBEF，ADEABF（SAS）.DE=BF=6.AHBC，CH=BH.又CA=AF，AH 为CBF 的中位线. AH= 12BF=3故选 D考点典例三、最短路线问题【例 3】如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30，点 B 为劣弧 AN 的中点点 P 是直
6、径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）A B1 C 2 D 2【答案】A.故选 A【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍的性质，作辅助线并得到AOB是等腰直角三角形是解题的关键【举一反三】如图，AB、CD 是O 两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于 E,CDMN 于点 F,P 为 EF 上任意一点,，则 PA+PC 的最小值为 【答案】 72.【解析】由于 A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PC=PB+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即 BC 的值就是 PA+PC 的最小
7、值因此，如答图，连接 BC，OB，OC，过点 C 作 CH 垂直于 AB 于 HAB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，BE= 12AB=4，CF= CD=3. 2222OEB543OFC534， .CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在 RtBCH 中根据勾股定理得到 22BH7，即 PA+PC 的最小值为 72课时作业能力提升一选择题1 （2015 广元）如图，已知 O 的直径 AB CD 于点 E则下列结论一定错误的是（ ）A CE=DE B AE=OE C ABD D OCE ODE【答案】B【解析】试题分析： O
8、的直径 AB弦 CD， CE=DE， ABCD，在 Rt CEO 和 Rt DEO 中， CO=DO， OE=OE， OCE ODE，只有 AE=OE 不能判定，故选 B考点：垂径定理2. （2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ）A8 AB10 B8 AB10 C4 AB5 D4 AB5【答案】A考点：1直线与圆的位置关系；2勾股定理；3垂径定理3. 已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为【 】A. 5
9、cm B. 45c C. 25cm或 4 D.5 23cm或 4【答案】C【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM= 12AB= 8=4cm，OD=OC=5cm.当 C 点位置如答图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB， 22OMA543cm.CM=OC+OM=5+3=8cm. 在 RtAMC 中， 2CM845cm.当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm.在 RtAMC 中， 22ACM45cm综上所述，AC
10、的长为 5cm或 .故选 C考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用4.已知O 的面积为 2，则其内接正三角形的面积为【 】A 3B 36C 32D 362【答案】C5. 如图，一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 的高与O 的直径相等，O 与 BC 相切于点 C，与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为A4cm B.3cm C.2cm D.1.5cm【答案】【解析】试题分析：如图作 ADBC，垂足为点 D，OFAC，垂足为点 F，连接 OC，因为ABC 为等腰三角形，所以DAC=30，所以 AD=cosDACAC=cos304=2 3，因为圆的半径与ABC 的高相等，所以OC
11、= 3，BC 且圆 O 于点 C，所以BCO=90，又因为ACB=60，所以OCE=30，CF=cosOCFOC=cos30 3=12，根据垂径定理所以 CE=2CF=2.考点：等腰三角形的性质；圆的性质6.（2015 成都）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 弧线的长分别为（ ）A2， 3 B 2， C 3， 2 D 3， 【答案】D考点：1正多边形和圆；2弧长的计算二填空题7.(2015.上海市，第 6 题，3 分)如图，已知在 O中， AB是弦，半径 OCAB，垂足为点 D，要使四边形 OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件
12、可以是（ ）.A、 D； B、 DC； C、 D； D、 DCBAO【答案】B【解析】试题分析：根据垂径定理，可知 ADB，若再加上 ODC，则四边形 OACB满足对角线互相平分，可判定为平行四边形；再结合已知条件 C，则满足对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B 符合题意. 考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.8.（2015 甘孜州）如图， AB 是 O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，则 ABC 的大小为 度【答案】30考点：1垂径定理；2含 30 度角的直角三角形；3圆周角定理9.如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，OC=5cm，CD=6cm，则 OE= cm【答
13、案】4.【解析】试题分析：CDABCE= 12CD= 6=3cm，在 RtOCE 中，OE= 22534OCEcm考点：1.垂径定理；2.勾股定理10.如图，AB 为O 的直径，CDAB，若 AB=10，CD=8，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 【答案】3.【解析】连接 OC，由 AB=10 得出 OC 的长，再根据垂径定理求出 CE 的长，根据勾股定理求出 OE 即可试题解析：连接 OC，AB 为O 的直径，AB=10，OC=5，CDAB，CD=8，CE=4，OE= 22543OCE考点：1.垂径定理；2.勾股定理11.(2015.宁夏，第 13 题，3 分)如图，在 O 中， CD 是直
14、径，弦 AB CD，垂足为 E，连接 BC若 AB2， BCD30，则 O 的半径为_【答案】 263.【解析】考点：垂径定理；勾股定理.12.O 的半径为 2，弦 BC=2 ，点 A 是O 上一点，且 AB=AC，直线 AO 与 BC 交于点 D，则 AD 的长为 【答案】1 或 3【解析】试题分析：如图所示：O 的半径为 2，弦 BC=2 3，点 A 是O 上一点，且 AB=AC，ADBC，BD=BC= 3，在 RtOBD 中，BD 2+OD2=OB2，即（ ） 2+OD2=22，解得 OD=1，当如图 1 所示时，AD=OAOD=21=1；当如图 2 所示时，AD=OA+OD=2+1=3
15、故答案为：1 或 3考点：1、垂径定理；2、勾股定理三、解答题.13.(2015.安徽省，第 20 题，10 分)在 O 中，直径 AB6， BC 是弦， ABC 30，点 P 在 BC 上，点 Q在 O 上，且 OP PQ(1)如图 1，当 PQ AB 时，求 PQ 的长度；(2)如图 2，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值【答案】(1) 6Q；（2） 32.试题解析：解：（1）OPPQ,PQAB,OPAB.在 RtOPB 中,OP=OBtanABC=3tan30= 3.连接 OQ,在 RtOPQ 中, 2223()6PQO.(2) 229,P当 OP 最小时，PQ 最大，此时 OPBC.OP=OBsinABC=3sin30= 32.PQ 长的最大值为 9().考点：解直角三角形；勾股定理.
