1、等比数列及其前 n 项和 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质和前 n 项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.来源:学优高考网 gkstk【要点梳理】要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示（ ） ，即： .q01(0)naq要点诠
2、释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 可不能是 0；“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；隐含条件：任一项 且 ；“ ”是数列 成等比数列的必要非充分条件；0naq0nana常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为 0 的常数列是公比为 1 的等比数列；证明一个数列为等比数列，其依据 .利用这种形式来判定，就便于操作了.*1()nNqa，要点二、等比中项如果三个数 、 、 成等比数列，那么称数 为 与 的等比中项.其中 。aGbGbGab要点诠释：只有当 与 同号即 时， 与 才有等比中项，且 与 有两
3、个互为相反数的等比中项. 当0aba与 异号或有一个为零即 时， 与 没有等比中项。ab任意两个实数 与 都有等差中项，且当 与 确定时，等差中项 唯一. 但任意两个实数ab 2bc与 不一定有等比中项，且当 与 有等比中项时，等比中项不唯一。当 时， 、 、 成等比数列 。0bG2GbaGaa 是 、 、 成等比数列的必要不充分条件。2ab要点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为：1aqna1(*0)nnN，推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义 可得 ：1naq1(2)naq ；221aq；3131()aq；2441 11()nnaqa当
4、n=1 时，上式也成立归纳得出： 来源:学优高考网11(*0)nnNaq，（2）叠乘法：根据等比数列的定义 可得：1na，21aq，32，43aq，1naq把以上 个等式的左边与右边分别相乘（叠乘） ，并化简得： ，即1naq1(2)naq又 a1 也符合上式 .11(*0)nnaqNaq，(3)迭代法： 2211nnnn .1(*0)aqaq ，要点诠释：通项公式由首项 和公比 完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确1定了。通项公式中共涉及 、 、 、 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个1anqn量。等比数列的通项公式的推广已知等比数列 中，第 项
5、为 ，公比为 ，则：namaqmnaq证明： ，1nn1m 1nmaq nn由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是 时的特殊情况。11(*0)nnaqNaq， 1m要点四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式来源:gkstk.Com11(1)()nnaqSaq推导过程：（1）利用等比性质由等比数列的定义，有 qaan1231根据等比性质，有 qaSann11213 1()nnSaq当 时， 或 .qqSnn)(（2）错位相减法等比数列 的前 n 项和 ，a123nnaa当 时， ， ；1q1 1S当 时，由 得：nq221111nnSa
6、a 31qq11()nnnnq（ 或 .aSnSn)(即11(1)()nnnqq要点诠释： 错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.在求等比数列前 项和时，要注意区分 和 .n1q当 时，等比数列的两个求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知其中任意三个量，1q anqnS通过解方程组，便可求出其余两个量.要点五、等比数列的性质设等比数列 的公比为naq若 ，且 ,则 ，,mpNnpmnpqa特别地，当 时 .22m下标成等差数列且公差为 的项 , , ,组成的新数列仍为等比数列，公比为 .km2k
7、mq若 ， 是项数相同的等比数列，则 、 、 （ 是常数且 ） 、 、nab2na21nnka0k1na( , 是常数)、 、 也是等比数列；mnNnba连续 项和（不为零）仍是等比数列.即 , , ，成等比数列.kkS2k32kS要点六、等比数列中的函数关系等比数列 中， ，若设 ,则：na1nnnaq1acqncq（1）当 时， ，等比数列 是非零常数列。它的图象是在直线 上均匀排列的一群qncn yc孤立的点.（2）当 时，等比数列 的通项公式 是关于 的指数型函数；它的图象是分01且 nanacq布在曲线 （ ）上的一些孤立的点 .1xayq且当 且 时，等比数列 是递增数列；10na
8、当 且 时，等比数列 是递减数列；qa当 且 时，等比数列 是递减数列；1n当 且 时，等比数列 是递增数列。00a（3）当 时，等比数列 是摆动数列。qn要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为 1 的等比数列.【典型例题】类型一：等比数列的定义与通项公式例 1已知数列 的首项为 ，na112,1,33nnaa证明：数列 是等比数列.1n【解析】由 得，12,na11.2nnaa 又1(1),2nna12,3a数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.n 2【总结升华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.举一反三：【变式 1】已知数列 中na11,
9、230(2).nan判断数列 是等比数列，并说明理由n【答案】 是等比数列 11,230(2).nan ，()数列 是首项为 2，公比为-2 的等比数列n【高清课堂：等比数列及其前 n 项和 381054 典型例题例 1】【变式 2】设 是公比为 的等比数列， ，naqq令 ，1nb,若数列 有连续四项在集合 中，来源:学优高考网53,219,78则 6q【答案】由题知 有连续的四项在集合 中，则必有-54，-24 为相隔两项，na4,361又 1 ，2549q32q 6类型二：等比数列的通项例 2等比数列 中， , ,求 .na19643720a1a【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使
10、用性质，使计算简捷。【解析】法一：设此数列公比为 ，则q819126374(1)02aqa由(2)得： .(3) 241()0a .0由(1)得： , .(4)421()6q418aq(3)(4)得： ， 205 ,解得 或45q2q21当 时， ， ；21a0164a当 时， ， .321法二： ,又 ,1973720 、 为方程 的两实数根，3a72064x 或 467173a , 或 .2317a 213164a【总结升华】 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
11、举一反三：【变式 1】a n为等比数列， an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。【答案】64； ，又 an0，a 45=42189456a 。3【变式 2】已知等比数列 ，若 ， ，求 .n1237a1238na【答案】 或 ；1na32类型二：等比数列的前 n 项和公式例 3设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.【思路点拨】使用等比数例的求和公式 Sn 时，应首先考虑分 q=1 、q1 两种情况。【解析】若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，
12、故 q1.由 得， ，32369111()()2()aqaq整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0，因 q31，故 ，所以1242q【总结升华】利用等比数列求和公式列出方程，通过解方程求出 q 是这类问题的常用方法.举一反三：【变式 1】已知：a n为等比数列， a1a2a3=27，S 3=13，求 S5.【答案】 ；29或 ， ，则 a1=1 或 a1=932273a31()3qq或 .555591213S391S或 【变式 2】在等比数列 中， ， ， ，求 和 。na16n218na126nSq【答案】 或 2， ；
13、1q6类型三：等比数列的性质例 4. 等比数列 中，若 ,求 .na569a3132310logl.logaa【解析】 是等比数列，n10293847569 32313loglogl aa 5512310363l()log()log910aa【总结升华】本例考查了两点，一是对数式的运算法则，一是等比数列的性质.举一反三：【变式 1】若等比数列 满足 ，则公比为nann16（A）2 （B）4 （C）8 （D）16【答案】选 B，因为等比数列 满足 ， nnna1所以 1216na 得 又因为 ，所以2q01nn 4q【变式 2】在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
14、837_。【答案】216；法一：设这个等比数列为 ，其公比为 ，naq ， ， ，183a4512783q4816294 。262411a3316法二：设这个等比数列为 ，公比为 ，则 ， ，nq18a527加入的三项分别为 ， ， ，2a34由题意 ， ， 也成等比数列， ，故 ，1352363a 。232416a类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 5在等比数列 中，已知 ， ，求 .a48nS260n3nS【思路点拨】等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。【解析
15、】法一：令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b 3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知 b1,b2,b3 成等比数列， ，231348bS 3n=b3+S2n=3+60=63.法二： ， ，2nSq由已知得12()4860naq得 ，即 514n1n代入得 ，6aq .313 3()14()6nnS法三： 为等比数列， ， ， 也成等比数列，nanS2n32nS ，232()()nS .2232(604863nnS【总结升华】性质的
16、应用有些时候会更方便快捷.举一反三：【变式 1】等比数列 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_.na【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式 2】已知等比数列 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S 30=？a【答案】130；【变式 3】等比数列 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_.n【答案】4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b 2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b 1, b2, b3 成等比数列，b 3= = =4,即 a5+a6=4.1b2
