1、安徽工业大学附中 2012届高三数学二轮复习专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1曲线 xye在点 A（0,1）处的切线斜率为（ ）A1 B2 C eD 1e【答案】A2 1limx ( )等于( )xx 1 x 3x2 1A1 B2C3 D4【答案】B3已知函数 f(x)的导函数 f ( x) a(x1)( x a)，若 f(x)在 x a处取到极大值，则a的取值范围是( )A(1,0) B(2，)C(0,1) D(，3)【答案】A4 已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2, x=0.1时, y的值为A0.40 B0.41 C0.43 D0.44【答案】B5设函数 f62，则 f在
2、 0处的切线斜率为 ( ）A0 B1 C3 D6【答案】D解析： fx在处的切线斜率为 x0f26.6抛物线 2y到直线 0yx的最短距离为（ ）A B。 87 C。 2 D。以上答案都不对【答案】B7函数 ,93)(23xaxf 已知 3)(xf在 时取得极值，则 a的值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】D8 函数 yfx的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是 ( ）A在 3,1上 fx是增函数 B在 x处 有极大值C在 2处 f取极大值D在 1,3上 x为减函数【答案】C9已知 yf是定义在 R上的奇函数，且当 0x时不等式 0fxf成立，若0.3.af， ,log3lbf 331
3、,logl9cf，则 ,bc大小关系是A B cabC acbD cba【答案】D10如图所示的曲线是函数 dxxf23)(的大致图象，则 21x等于 ( ）A 98B 910C 916D 45【答案】C11已知函数 fx()在 R上可导，且 2fxf()()，则 1f()与 f的大小是（ ）A 1= B 1C D不确定【答案】B12 已知函数 ()sinafxx，且 0()(12limhff，则 a的值为 ( ）A 1 B 2 C D任意正数【答案】BII卷二、填空题13已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数， f(1)0， 0(x0)，则不等式xf (x) f(x)x2x2f(x)0的解
4、集是_【答案】(1,0)(1，)14由曲线 ,1xyey所围成的图形面积是 .【答案】15设曲线 1,在 点xy处的切线与直线 ayax则垂 直 ,01 【答案】 116 若 32()(0)fabcxd在增函数，则 ,bc的关系式为是 【答案】 0,且三、解答题17设函数 2()lnfxabx，曲线 ()yfx过 P（1,0） ，且在 P点处的切斜线率为2(I）求 a，b 的值；（II）证明： ()2f【答案】 （I）()12.bfxax由已知条件得0,0,().2.f 即，解得 1,3.ab (II） (,)fx的 定 义 域 为 ，由（I）知2()lnfxx设2()23ln,gx则3(1)
5、1.xx0,)0;,()0() .gxg当 时 当 时所 以 在 单 调 增 加 在 单 调 减 少而 1,(),()2xf故 当 时 即 18已知函数 241(1)ln(2)xafxx.(1）设 1a时，求函数 f极大值和极小值;(2） R时讨论函数 x的单调区间.【答案】 （1）251,()3ln(),2afxx()fx= 352x= 1)2=，令 f=0，则 = 或 =2 151=()ln28fxf在 ， 5=(2)ln4fxf在(2） f= （1+2 a）+ 4= (1-a=21xa令 ()fx=0，则 = 12或 x=2i、 当 2a ,即 4时， 所以 ()fx的增区间为（ 12，
6、 ）和（2 a，+ ） ，减区间为（ 12，2 a）ii、当 2a= ,即 = 4时， ()fx=210在（ ，+ ）上恒成立，所以 ()fx的增区间为（ 12，+ ）ii、 当 时， 的增区间为（ 12， ）和（2 a，+ ） ，减区间为（ 12，2 a）.19已知数列 an的前 n项和 Sn( n2 n)3n.(1)求 ；limn anSn(2)证明： 3 n.a112 a222 ann2【答案】(1)因为 limn anSn lim n Sn Sn 1Sn (1 )1 ，limn Sn 1Sn lim n Sn 1Sn所以 limn anSn 23(2)证明：当 n1 时， S163；a
7、112当 n1 时， a112 a222 ann2 S112 S2 S122 Sn Sn 1n2( )S1( )S2 Sn1 Sn 3n3 n.112 122 122 132 1(n 1)2 1n2 1n2 Snn2 n2 nn2综上知，当 n1 时， 3 n.a112 a222 ann220已知直线 l与函数 xfl)(的图象相切于点（1，0） ，且 l与函数7)(2mxxg的图象也相切。(1）求直线 l的方程及 的值；(2）若 )(1()xgfh，求函数 )(xh的最大值 .【答案】 （1） xflxf ln)(,1)(是 函 数直 线的图象在点（ 1，0）处的切线。k其 斜 率 为 y的
8、 方 程 为直 线又因为直线 gl与 的图象相切，(2）由（1）知 ,271)(2xxg ),1()1ln()xfh.)(当 .0)(,;0)(,1hxhx时当时于是， 在上 单 调 递 增在 上单调递减。 所以，当 .2, 取 得 最 大 值时 21已知函数 2()().xxefge(） 求函数 的极值；(） 求证：当 1x时， ();fx(） 如果 2，且 2，求证： 12().fx【答案】 ()fx= e， ()fx=1e令 ()f=0，解得 x(,1)1 (,)()f 0 极大值 e当 1x时， ()fx取得极大值 (1)f= e 证明： 2)xxFfg令,则()x=221()1()x
9、xee 当 1x时， x0， 2 2，从而 2xe0， ()F0， ()在 1,)是增函数 ().xxfgxe 故 当 时 ,证明： ()f在 ,)内是增函数，在 1内是减函数 当 12x，且 12(xf时， x、 2不可能在同一单调区间内 ，由的结论知 x时， ()()Fxfgx0， 22()fxg 12()ff， 12f又 2)gx， ().xf 22若存在实常数 k和 b，使得函数 (和 gx对其定义域上的任意实数 x分别满足：()fx和 ()gx，则称直线 :lykb为 ()fx和 g的“隔离直线” 已知 2h， lne（其中 e为自然对数的底数） (1)求 ()()Fxx的极值；(2
10、) 函数 h和 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由【答案】 (1) ()()Fxhx2ln(0)ex， 2()ex 当 时， ()0Fx当 0e时， ，此时函数 ()Fx递减； 当 x时， ()x，此时函数 递增；当 e时， F取极小值，其极小值为 0(2)解法一：由（1）可知函数 )(xh和 的图象在 ex处有公共点，则 2()()eexGx， 当 时， ()0当 0xe时， x，此时函数 ()Gx递增；当 时， ()G，此时函数 递减；当 xe时， x取极大值，其极大值为 0从而 ()2lne，即 )0(2)(xex恒成立函数 hx和 ()存在唯一的隔离直线 y解法二： 由(1)可知当 0时， ()hx (当且当 xe时取等号) 若存在 ()x和 的隔离直线，则存在实常数 k和 b，使得 ()hkxbR和)kb恒成立，令 xe，则 e且 kek，即 后面解题步骤同解法一因此若存在 )(xh和 的隔离直线，则该直线过这个公共点设隔离直线的斜率为 k，则直线方程为 )(exky，即 ekxy由 )()(Rxex，可得 02当 R时恒成立2)k， 由 0，得 ek下面证明 ex(当 时恒成立令 ()2Gxexxe2ln，
