1、3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)基础初探教材整理 1 变化率问题阅读教材 P72P 74“思考 ”部分，完成下列问题.函数的变化率函数 yf(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率(1)定义式： .yx fx2 fx1x2 x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间x 1，x 2上变化的快慢.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)x 表示 x2x 1 是相对于 x1 的一个增量，
2、x 可以为零.( )(2)y 表示 f(x2)f (x1)，y 的值可正可负也可以为零 .( )(3) 表示曲线 yf(x)上两点(x 1，f( x1)，(x 2，f (x2)连线的斜率.( )yx【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 导数的概念阅读教材 P74 导数的概念 P75 例 1 以上部分，完成下列问题 .1.函数 yf(x )在 xx 0 处的瞬时变化率(1)定义式： .limx 0yx lim x 0fx0 x fx0x(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.2.函数 f(x)在 xx 0 处的
3、导数函数 yf(x) 在 xx 0 处的瞬时变化率称为函数 yf(x)在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y| ，即 f(x0) .x x0 lim x 0yx lim x 0fx0 x fx0x判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的导数值与 x 值的正、负无关 .( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x 1，x 2上变化快慢的物理量.( )(3)在导数的定义中，x，y 都不可能为零.( )(4)函数 f(x)x 在 x0 处的瞬时变化率为 0.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型平均变化率(1) 函数 yf( x)3x 2
4、2 在区间x 0，x 0 x上的平均变化率为_，当 x02，x0.1 时平均变化率的值为_.(2)已知函数 f(x)x 2x 的图象上的一点 A(1，2)及临近一点B(1x， 2 y)，则 _.yx【自主解答】 (1)函数 yf(x)3x 22 在区间x 0，x 0x上的平均变化率为fx0 x fx0x0 x x03x0 x2 2 3x20 2x6x0x 3x2x6x 03x.当 x02，x0.1 时，函数 y3x 22 在区间2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3.(2)yf( 1x )f( 1)( 1x) 2( 1x) (1) 2(1)(x) 23x， yx x2 3xxx3.【
5、答案】 (1)6 x03x 12.3 (2) x3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量 yf(x 2)f( x1).2.计算自变量的改变量 xx 2x 1.3.得平均变化率 .yx fx2 fx1x2 x1再练一题1.求函数 f(x)x 2 在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为 ，在哪一点附13近平均变化率最大？ 【导学号：97792034】【解】 在 x1 附近的平均变化率为：k1 2x；f1 x f1x 1 x2 1x在 x2 附近的平均变化率为：k2 4x；f2 x f2x 2 x2 22x在 x3 附近的平均变化率为：k3 6x.f3 x f3x 3 x2 32x若
6、 x ，13则 k12 ，k 24 ，13 73 13 133k36 .13 193由于 k1k 2k 3，故在 x3 附近的平均变化率最大.求瞬时速度若一物体的运动方程为 sError!(路程单位：m，时间单位：s).求：(1)物体在 t 3 s 到 t5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在 t 1 s 时的瞬时速度.【精彩点拨】根 据 问 题 选 择 对 应 的 函 数 解 析 式 根 据 平 均 速 度 和 瞬 时 速 度 的 概 念 求 解【自主解答】 (1)因为 s35 22(33 22)48(m)，t 2 s，所以物体在 t3 s 到 t5 s 这段时间内的平均速度为 24(m
7、/s).st 482(2)因为 s293(1t)3 2293(13) 23(t) 212 t(m)，所以 (3t12)(m/s)，st 3t2 12tt则物体在 t1 s 时的瞬时速度为 (3t12)12(m/s).limt 0st lim t 0求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律 ss(t).2.求时间改变量 t 和位置改变量 ss(t 0t)s(t 0).3.求平均速率 .vst4.计算瞬时速率：当 t0 时， v(常数).st再练一题2.质点 M 按规律 s2t 23 作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s). 求质点 M 在 t2 时的瞬时速度以及在1,3上的平均速度 .
8、【解】 v limt 0s2 t s2t limt 022 t2 222t (2t8)8(cm/s)，limt 0 vs3 s13 1 232 3 212 328(cm/s).探究共研型函数在某点处的导数探究 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1) 求函数 y 在 x1 处的导数；x(2)求函数 yx 2axb 在 x 处(a，b 为常数) 的导数.【精彩点拨】 本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解.【自主解答】 (1)y 1，1 x ，yx 1 x 1x 11 x 1 ，limx 0 11 x 1 12y| x1 .12
9、(2)y(xx )2a(x x)b (x 2axb)2xx(x) 2ax(2xa)x (x )2，yx 2x ax x2x(2xa) x ， (2xa x)2x a，limx 0yx lim x 0f(x)2xa.1.求函数 f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数 yf (x)在点 x0 处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率 时，要注意对 的变形与约分，变形不彻底可能导致yx yx不存在；limx 0yx(2)当对 取极限时，一定要把 变形到当 x0 时，分母是一个非零常数yx yx的形式.再练一题3.求函数 y x 在 x1 处
10、的导数.1x【导学号：97792035】【解】 y(1 x) 11 x (1 11)x ，x1 x 1 .yx x x1 xx 11 x当 x0 时， 2，f(1)2，yx即函数 yx 在 x1 处的导数为 2.1x1.已知函数 yf (x)x 21，当 x2，x0.1 时，y 的值为( )A.0.40 B.0.41C.0.43 D.0.44【解析】 x 2，x0.1，yf( xx )f(x)f(2.1)f(2)(2.1 21) (221)0.41.【答案】 B2.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且有 f(x0x)f (x0)a xb( x)2(a，b为常数) ，则( )A.f(x)a
11、 B.f(x)bC.f(x0)a D.f(x0)b【解析】 abx ，yx fx0 x fx0xf(x0) (ab x)a.limx 0yx lim x 0【答案】 C3.一质点按规律 s(t)2t 2 运动，则在 t2 时的瞬时速度为_.【解析】 s(2t) s (2)2(2t) 222 22(t) 28t. (2t8)8.limt 0s2 t s2t lim t 02t2 8tt lim t 0【答案】 84.设 f(x)ax4，若 f(1)2，则 a_.【解析】 f(1) a，limx 0 f1 x f1x lim x 0 a1 x 4 a 4x又f (1)2， a2.【答案】 25.求函数 y 2x24x 在 x3 处的导数.【解】 y2(3 x)24(3x)(2 3243) 2( x)216 x， 2x16.yx 2x2 16xxy|x3 (2x16) 16.limx 0yx lim x 0
