1、3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(重点)2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点)3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点)基础初探教材整理 1 基本初等函数的导数公式阅读教材 P81P 83 例 1 以上部分，完成下列问题 .基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x (Q *) f(x) x1f(x)sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_a(a0 且 a1)f(x)e x f
2、(x)e xf(x)log ax f(x) (a0 且 a 1)1xln af(x)ln xf(x)1x判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)(log3) .( )1ln 3(2)若 f(x) ，则 f(x)ln x .( )1x(3)因为(sin x)cos x，所以(sin ) cos 1.( )【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 导数的运算法则阅读教材 P84 例 2 以上部分，完成下列问题 .导数的运算法则设两个函数 f(x)，g(x)可导，则和的导数 f(x)g(x )f(x)g(x )差的导数 f(x)g(x )f(x)g(x )积的导数 f(x)g(x)f (x)g
3、(x)f(x)g(x )商的导数 (g(x)0)fxgx fxgx fxgxgx2判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若 f(x)a 22axx 2，则 f(a)2a2x.( )(2) (f(x)0).( )1fx fxfx2(3)运用法则求导时，不用考虑 f(x)，g(x)是否存在.( )【答案】 (1) (2) (3)小组合作型利用导数公式求函数的导数(1) 已知函数 f(x)x 2 在点(x 0，y 0)处的导数为 1，则x0y 0_.(2)求下列函数的导数：yx 20；y ；1x4ylog 6x.ysin .3【自主解答】 (1)由题意可知，f(x 0)1，又 f(x)2x，所以
4、 2x01，所以 x0 ， y0 ，x 0y 0 .12 14 34【答案】 34(2)y(x 20)20x 201 20x 19.y(x 4 )4x 41 4x 5 .y(log 6x) .1xln 6y 0.(sin 3)用公式求函数导数的方法1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.2.对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如 y 可以写成 yx 4 ，这样就可以直接使用幂1x4函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.再练一题1.(1)若 f(x)cos x，则 f ( )( 32)A.0 B.1 C.1 D.3
5、2【解析】 f(x )cos x，f(x)sin x .故 f sin 1.( 32) ( 32)【答案】 C(2)求下列函数的导数：y5 x；y ；1x5yln 3；y x . x3【导学号：97792040】【解】 y (5 x)5 xln 5.利用导数的运算法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y sin cos ；1x2 x2 x2(2)yx 2；(x2 32x 6)(3)ycos xln x；(4)y .xex【自主解答】 (1)y (1x2 sin x2cos x2)(x 2 ) (12sin x)2x 3 cos x12 cos x.2x3 12(2)y (x3 32x2 6x
6、 2)(x 3) (6x )(2)(32x2)3x 23x6.(3)y(cos xln x )(cos x)ln xcos x (ln x)sin xln x .cos xx(4)y (xex) xex xexex2 .ex xexe2x 1 xex利用导数运算法则求函数的导数的两个策略1.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则.2.对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式.再练一题2.(1)函数 f(x)(x1) 2(x1)在
7、x1 处的导数为( )A.1 B.2C.3 D.4【解析】 可对函数直接求导，再代入 x1 后求值，f(x)(x1) 2(x1)x 3x 2x 1.f(x)3x 22x1，f(1) 3214.【答案】 D(2)求下列函数的导数：yx ；(x2 1x 1x3)y ；sin x cos x2cos xy .x2 1x【解】 y x x 31 x 3x 2 1，(x2 1x 1x3) 1x2y3x 22x 3 3x 2 .2x3y ，sin x cos x2cos x 12(sin xcos x 1)y .12(sin xcos x) cos2x sin2x2cos2x 12cos2x.探究共研型导
8、数的综合应用探究 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？【提示】 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.已知函数 f(x) 1( a0)的图象在 x1 处的切线为 l，求 l 与两x2a坐标轴围成的三角形面积的最小值. 【导学号：97792041】【精彩点拨】 求 fx 求 fx在 x 1处 的 切 线 方 程 求 切 线 在 两 轴 上 的 截 距 建 立 面 积 S关 于 a的 函 数 关 系 式 求 面 积 的 最 值【自主解答】 f(
9、x ) ，f(1) .2xa 2a又f(1) 1，1af(x)在 x1 处的切线 l 的方程是：y 1 (x 1).1a 2al 与坐标轴围成的三角形的面积为：S (22)1.12| 1a 1| |a 12 | 14(a 1a 2) 14当且仅当 a ，即 a1 时，直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，1a最小值为 1.1.本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的最值.2.利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题.这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程.再
10、练一题3.点 P 是曲线 ye x 上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离.【解】 根据题意，设平行于直线 yx 的直线与曲线 ye x 相切于点(x0， y0)，该切点即为与 yx 距离最近的点，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为 1，即 y| 1.x x0y(e x)e x，e 1，得 x00，代入 ye x，得 y01，即 P(0,1).x0 利用点到直线的距离公式得最小距离为 .221.下列四组函数中导数相等的是( )A.f(x)1 与 f(x)xB.f(x)sin x 与 f(x)cos xC.f(x)1cos x 与 f(x)sin xD.f(x)12x 2 与 f(x
11、) 2x23【解析】 由求导公式及运算法易知，D 中 f(x)(12x 2)4x ，与 f(x)(2 x23)4x 相等.故选 D.【答案】 D2.曲线 yf(x )xln x 在点 x1 处的切线方程为( )A.y2x2 B.y2x2C.yx1 D.yx 1【解析】 y x ln x， yln x1，故切线斜率为 ky |x1 1.又切点坐标为(1,0)， 切线方程为 yx1.【答案】 C3.已知 ysin x cos x，则 y_.【解析】 y (sin x cos x)(sin x)(cos x)cos xsin x.【答案】 cos x sin x4.直线 y xb 是曲线 yln x
12、(x0) 的一条切线，则实数 b_. 12【导学号：97792042】【解析】 设切点为(x 0， y0)，y ， ，1x 12 1x0x 02，y 0ln 2，ln 2 2b，bln 21.12【答案】 ln 215.求下列函数的导数：(1)f(x) (x31)(2 x28x5)；(2)f(x) .ln x 2xx2【解】 (1)f (x)(2x 58x 45x 32x 28x5)10x 432x 315x 24x8.(2)f(x) (ln xx2 2xx2) (ln xx2) (2xx2) 1xx2 ln x2xx4 2xln 2x2 2x2xx41 2ln xx x2ln 2 2x2xx4 .1 2ln x xln 2 22xx3
