1、学业分层测评(一)(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1在ABC 中，a4，A45，B60，则边 b 的值为( )A. 1 B2 13 3C2 D226 3【解析】 由已知及正弦定理，得 ，4sin 45 bsin 60b 2 .4sin 60sin 4543222 6【答案】 C2在ABC 中，A60，a4 ，b4 ，则 B 等于( )3 2A45或 135 B135C45 D以上答案都不对【解析】 sin B ，bsin Aa 423243 22B45 或 135.但当 B135时，不符合题意，所以 B45，故选 C.【答案】 C3若三角形三个内角之比为 123，则这个三角形三边之比
2、是( )A123 B1 23C2 1 D. 123 3【解析】 设三角形内角 A、B、C 分别为 x,2x,3x，则 x2x3x180 ，x30.由正弦定理 ，asin A bsin B csin C可知 abc sin Asin Bsin C，abc sin 30sin 60sin 90 11 2.12 32 3【答案】 B4在ABC 中，若 3b2 asin B，cos Acos C，则ABC 形状为( )3A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】 由正弦定理知 b2Rsin B，a2Rsin A，则 3b2 asin B 可化为：33sin B2 sin Asin
3、 B.30B180，sin B0，sin A ，32A60 或 120，又 cos Acos C，AC，A60 ，ABC 为等边三角形【答案】 C二、填空题5在ABC 中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于_. 【解析】 由三角形内角和定理知：A75，由边角关系知 B 所对的边 b为最小边，由正弦定理 得 b .bsin B csin C csin Bsin C12232 63【答案】 636设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a ，sin 3B ， C ，则 b_.12 6【解析】 在ABC 中，sin B ，0B ，B 或 B .12 6 56又BC，C ，B
4、 ，6 6A .6 6 23 ，b 1.asin A bsin B asin Bsin A【答案】 17在ABC 中，若 a2bsin A，则 B_.3【解析】 由正弦定理得 sin A2sin Bsin A，3sin A0，sin B .32又 0B180，B60 或 120.【答案】 60 或 120三、解答题8在ABC 中，已知 ，试判断 ABC 的形状. acos A bcos B ccos C【解】 令 k，asin A由正弦定理得 ak sin A，bk sin B，c ksin C.代入已知条件，得 ，sin Acos A sin Bcos B sin Ccos C即 tan A
5、tan Btan C.又 A，B ，C(0，) ，ABC，ABC 为等边三角形9在ABC 中，A60，sin B ，a3，求三角形中其它边与角的大12小【解】 由正弦定理得 ，asin A bsin B即 b .asin Bsin A 312sin 60 3由于 A60，则 B120，又 sin B ，12B30 ，则 C90 ，则 c 2 .asin Csin A 3综上，b ，B30，C90 ，c 2 .3 3能力提升1在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则的值为( )2sin2B sin2Asin2AA. B. 19 13C1 D.72【解析】 ，
6、.asin A bsin B sin Bsin A ba3a2b， .ba 32 .sin Bsin A 32 2 212 212sin2B sin2Asin2A (sin Bsin A) (32) 1 .92 72【答案】 D2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m( ，1)，3n(cos A，sin A)，若 m n，且 acos Bbcos Ac sin C，则角 A，B 的大小分别为( )A. ， B. ，6 3 23 6C. ， D. ，3 6 3 3【解析】 因为 m n，所以 cos Asin A0，3所以 tan A ，则 A .33由正弦定理得：si
7、n Acos Bsin Bcos Asin 2C，所以 sin(AB) sin 2C，所以 sin C sin2C.因为 0C，sin C 0，所以 sin C 1，所以 C ，B .2 6【答案】 C3.如图 111，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接EC，ED ，则 sinCED( )图 111A. B.31010 1010C. D.510 515【解析】 由题意得 EBEAAB 2，则在 RtEBC 中，EC .在EDC 中，EDC EDAADC ，EB2 BC2 4 1 54 2 34由正弦定理得 ，sinCEDsinEDC DCEC 15 55所以 sinCED sinEDC sin .55 55 34 1010【答案】 B4已知方程 x2bcos Axacos B0 的两根之积等于两根之和，且 a，b为ABC 的两边，A，B 为 a，b 的对角，试判断ABC 的形状.【解】 设方程的两根为 x1，x 2，由根与系数关系得 x1x 2bcos A，x 1x2acos B，由题意得 bcos Aacos B.由正弦定理得 2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，sin Acos B cos Asin B0，即 sin(AB)0.在ABC 中，0A，0B ，AB，AB0 即 AB，ABC 为等腰三角形
