1、学业分层测评( 三)(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1为了测量 B，C 之间的距离，在河岸 A，C 处测量，如图 128，测得下面四组数据，较合理的是( )图 128Ac 与 Bc 与 bCb， c 与 Db， 与 【解析】 因为测量者在 A，C 处测量，所以较合理的应该是 b， 与 .【答案】 D2轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离是( ) A50 n mile B70 n mileC90 n mile D110 n mile【解析】 到
2、 14 时，轮船 A 和轮船 B 分别走了 50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l 70 (n mile)502 302 25030cos 120【答案】 B3如图 129，要测量河对岸 A，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距 40米的 C，D 两点，测得ACB60，BCD45 ，ADB60，ADC30 ，AD20( 1) ，则 A，B 间距离是( )3图 129A20 米 B20 米2 3C20 米 D40 米6 2【解析】 可得 DBDC40，AD20( 1)，ADB 60 ，所以在3ADB 中，由余弦定理得 AB20 (米)6【答案】 C4在地面上点 D
3、处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部B 的仰角分别为 60和 30，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m，则建筑物高度为( )A20 m B30 m C40 m D60 m【解析】 如图，设 O 为顶端在地面的射影，在 RtBOD 中，ODB 30，OB20，BD40，OD20 ，3在 Rt AOD 中，OAODtan 6060，AB OAOB40(m)【答案】 C5如图 1210 所示，在地面上共线的三点 A，B ， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30，45 ，60，且 ABBC60 m，则建筑物的高度为( )图 1210A15 m B20 m6 6C25 m D30
4、m6 6【解析】 设建筑物的高度为 h，由题图知，PA2h，PB h，PC h，2233在PBA 和 PBC 中，分别由余弦定理，得 cos PBA ，602 2h2 4h22602hcosPBC .602 2h2 43h22602hPBA PBC180，cos PBAcosPBC0.由，解得 h30 或 h30 (舍去)，即建筑物的高度为 30 m.6 6 6【答案】 D二、填空题6有一个长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长 _千米【解析】 如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAO BCA 753045.在ABC 中， ，ABsin C ACs
5、in ABCAC (千米) ABsin ABCsin C12212 2【答案】 27如图 1211，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B ，望对岸的标记物 C，测得 CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_m.图 1211【解析】 tan 30 ，tan 75 ，CDAD CDDB又 AD DB 120，ADtan 30 (120AD)tan 75，AD 60 ，故 CD60.3【答案】 608一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动，到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动，如图 1212 所示，已知
6、 AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器2人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距 A 点_dm 的 C 处截住足球. 图 1212【解析】 设机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段 AD 上，设 BCx dm，由题意知 CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB 2AC 22ABACcos A，即 x2(4 )2(172x) 28 (172x)cos 45，解得 x15，x 2 .2 2373AC172x7(dm) ，或 AC (dm)(舍去)233该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球【答
7、案】 7三、解答题9A，B ，C，D 四个景点，如图 1213，CDB 45，BCD75，ADC15. A，D 相距 2 km，C，D 相距(3 )km，求 A，B 两景点的距2 6离图 1213【解】 在BCD 中，CBD180 BCD CDB60 ，由正弦定理得 ，BDsin BCD CDsin CBD即 BD 2.CDsin 75sin 60在ABD 中， ADB 451560，BDAD，ABD 为等边三角形，AB2.即 A，B 两景点的距离为 2 km.10江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，求两条船之间的
8、距离. 【解】 如图所示，CBD30，ADB30，ACB45.AB30(m)，BC30(m)，在 Rt ABD 中，BD 30 (m)30tan 30 3在BCD 中，CD 2BC 2BD 22BCBDcos 30900，CD30(m)，即两船相距 30 m.能力提升1某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第三辆车的距离 d2 之间的关系为( )Ad 1d2 Bd 1d 2Cd 1d2 D不能确定大小【解析】 如图，B，C，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知 .由三
9、角形内角平分线定理，PDPB，在PBC，PCD 中，BCCD，所以 d1d 2.【答案】 C2.如图 1114，某炮兵阵地位于 A 点，两个观察所分别位于 C，D 两点已知ACD 为正三角形，且 AD km，当目标出现在 B 点时，测得3CDB45 ，BCD75，则炮兵阵地与目标的距离约是 ( )图 1114A1.1km B2.2kmC2.9km D3.5km【解析】 CBD180BCDCDB60.在BCD 中，由正弦定理，得 BD .CDsin 75sin 60 6 22在ABD 中， ADB 4560105.由余弦定理，得AB2AD 2BD 22AD BDcos 1053 2 6 224
10、3 6 22 6 2452 .3则 AB 2.9(km)5 23故炮兵阵地与目标的距离约是 2.9km.【答案】 C3台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为_小时【解析】 设 A 地东北方向上存在点 P 到 B 的距离为 30 千米，APx ，在ABP 中，PB 2AP 2AB 22APAB cosA，即 302x 2 4022x 40cos 45，化简得 x240 x7000，2|x1x 2|2(x 1x 2)24x 1x2400，|x1x 2|20，即图中的 CD
11、20(千米)，故 t 1(小时)CDv 2020【答案】 142015 年 10 月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶 M，N 间的距离，无人机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图 1215)，无人机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N 间的距离的步骤图 1215【解】 方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角1， 1；B 点到 M，N 的俯角 2， 2；A，B 间的距离 d.第一步：计算 AM.由正弦定理 AM ；dsin 2sin1 2第二步：计算 AN.由正弦定理 AN ；dsin 2sin2 1第三步：计算 MN.由余弦定理MN .AM2 AN2 2AMANcos1 1方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1， 1；B 点到M，N 点的俯角 2， 2；A，B 间的距离 d.第一步：计算 BM.由正弦定理 BM ；dsin 1sin1 2第二步：计算 BN.由正弦定理 BN ；dsin 1sin2 1第三步：计算 MN.由余弦定理MN .BM2 BN2 2BMBNcos2 2
