1、24 等比数列第 1 课时 等比数列1理解等比数列的定义(重点)2掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)基础初探教材整理 1 等比数列的定义阅读教材 P48P 49 倒数第一行，完成下列问题1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示( q0) (2)符号语言：q(q 为常数，q0，nN *)an 1an2等比中项(1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列(2)结论：G 叫做 a，b 的等比中项(3)满足的关系式：G 2a
2、b .判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列( )(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列( )(3)等比数列中的项可以为零( )(4)若 a，b， c 三个数满足 b2ac，则 a，b，c 一定能构成等比数列( )【解析】 (1).因为各项均为 0 的常数列不是等比数列(2).因为任何一个各项不为 0 的常数列既是等差数列，又是等比数列(3).因为等比数列的各项与公比均不能为 0.(4).因为等比数列各项不能为 0；若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac ，但是反之不成立，比如：a0，b0，c1，则 a， b，c 就不是等比数列【答案】 (1) (2) (3)
3、(4)教材整理 2 等比数列的通项公式阅读教材 P49 倒数第 1 行 P51 例 3，完成下列问题1等比数列的通项公式一般地，对于等比数列a n的第 n 项 an，有公式 ana 1qn1 .这就是等比数列a n的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比2等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为 an qn，而 y qx(q1)是一个不为 0a1q a1q的常数 与指数函数 qx的乘积，从图象上看，表示数列 qn中的各项的点是函a1q a1q数 y qx的图象上的孤立点a1q1在等比数列a n中，a 14，公比 q3，则通项公式 an_.【解析】 a na 1qn1 43 n1 .
4、【答案】 43 n12已知 an是等比数列，a 22，a 5 ，则公比 q_.14【解析】 a 2a 1q2，a5a 1q4 ，14得：q 3 ，q .18 12【答案】 123在等比数列a n中，已知 a23，a 524，则 a8_.【解析】 由Error!得Error!所以 a8 27192.32【答案】 192小组合作型等比数列的判断与证明(1)下列数列是等比数列的是( )A2,2，2，2,2,2，2，2，B 1,1，1,1，1，C0,2,4,6,8,10，Da 1，a 2，a 3，a 4，(2)已知数列a n的前 n 项和 Sn2a n，求证：数列a n是等比数列. 【精彩点拨】 (1
5、)利用等比数列的定义判定(2)先利用 Sn与 an的关系，探求 an，然后利用等比数列的定义判定【自主解答】 (1)A. 从第 2 项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选 A.B由等比数列定义知该数列为等比数列C等比数列各项均不为 0，故该数列不是等比数列D当 a0 时，该数列不是等比数列；当 a0 时，该数列为等比数列【答案】 B(2)证明：S n2a n，S n1 2a n1 ，a n1 S n1 S n(2a n1 )(2a n)a na n1 ，a n1 an.12又S 12a 1，a 110.又由 an1 an知 an0，12 ，an 1an 12a n是等比数列判断一个数列a
6、 n是等比数列的方法：(1)定义法：若数列a n满足 q(q 为常数且不为零)或an 1anq( n 2，q 为常数且不为零)，则数列a n是等比数列anan 1(2)等比中项法：对于数列a n，若 a a nan2 且 an0，则数列a n是2n 1等比数列(3)通项公式法：若数列a n的通项公式为 ana 1qn1 (a10，q0)，则数列a n是等比数列再练一题1已知数列a n是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn an，求证(12)数列b n是等比数列，并求其通项公式【证明】 由已知得，a n2(n1)(1) 3n，故 3(n1)3nbn 1bn(12)3 n 1(12)3 n
7、(12) 1 2，(12)数列 bn是等比数列b 1 31 ，(12) 14b n 2n1 2 n3 .(14)等比中项(1)等比数列a n中，a 1 ，q2，则 a4 与 a8 的等比中项是( )18A4 B4 C D.14 14(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：abbc 是 a2b 2 与 b2c 2 的等比中项【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项(2)证明(abbc )2(a 2b 2)(b2c 2)即可【自主解答】 (1)由 an 2n1 2 n4 知，a 41，a 82 4，所以 a4 与 a8 的18等比中项为4.【答案】 A(2)证明：b 是 a，c 的等比中项，则
8、b2ac，且 a， b，c 均不为零，又(a 2 b2)(b2c 2)a 2b2a 2c2b 4b 2c2a 2b22a 2c2b 2c2，(abbc) 2a 2b22ab 2cb 2c2a 2b22a 2c2b 2c2，所以(abbc)2(a 2 b2)(b2c 2)，即 abbc 是 a2b 2 与 b2c 2 的等比中项等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知 G 2abG ，所以只有 a，b 同号Ga bG ab时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b 成
9、等比数列等价于 G2ab(ab0) 再练一题2设等差数列a n的公差 d 不为 0，a 19d，若 ak是 a1 与 a2k的等比中项，则 k 等于( )A2 B4 C6 D8【解析】 a n(n8) d，又a a 1a2k，2k(k8) d29d(2 k8)d，解得 k2(舍去)，k4.【答案】 B探究共研型等比数列的通项公式探究 1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为 a1，公比为 q 的等比数列a n的通项公式吗？【提示】 由等比数列的定义可知：a2a 1q，a 3a 2qa 1q2，a 4a 3qa 1q3，a5a 4qa 1q4由此归纳等比数列a n的通项公式为 ana
10、 1qn1 .探究 2 由等比数列的定义式 q(q0)你能用累乘法求出用首项 a1，an 1an公比 q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am及公比 q 表示 an吗？【提示】 由 q，知 q， q，an 1an a2a1 a3a2q， q，将以上各式两边分别相乘可得 q n1 ，则a4a3 anan 1 ana1ana 1qn1 ；由Error!两式相比得 q nm ，anam则 ana mqn m，事实上该式为等比数列通项公式的推广(1)在等比数列a n中，已知 a2a 518，a 3a 69，a n1，求 n；(2)已知等比数列a n为递增数列，且 a a 10,2(ana n
11、2 )5a n1 ，则数列25an的通项公式 an.【精彩点拨】 (1)先由 a2a 518，a 3a 69，列出方程组，求出 a1，q，然后再由 an1 解出 n.(2)根据条件求出基本量 a1，q，再求通项公式【自主解答】 (1)法一：因为Error!由 得 q ，从而 a132. 12又 an1，所以 32 n1 1，(12)即 26n 2 0，所以 n6.法二：因为 a3a 6q(a 2a 5)，所以 q .12由 a1qa 1q418，得 a132.由 ana 1qn1 1，得 n6.(2)由 2(ana n2 )5a n1 2q25q20q2 或 ，由12a a 10a 1q90a
12、 10，又数列 an递增，所以 q2.25a a 100(a 1q4)2a 1q9 a1q2，所以数列 an的通项公式为 an2 n.251等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，a n，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算再练一题3在等比数列a n中，
13、(1)若它的前三项分别为 5，15,45，求 a5；(2)若 a42， a78，求 an. 【解】 (1) a5a 1q4，而 a15，q 3，a 5405.a2a1(2)因为Error! 所以Error!由 得 q34 ，从而 q ，而 a1q32， 34于是 a1 ，2q3 12所以 ana 1qn1 2 .2n 53 1在等比数列a n中，若 a10，a 218，a 48，则公比 q 等于( )A. B.32 23C D. 或23 23 23【解析】 由Error!解得Error!或Error!又 a10，因此 q .23【答案】 C2如果1，a，b，c ， 9 成等比数列，那么( )A
14、b3，ac 9 Bb3，ac9Cb 3，ac9 Db3 ，ac 9【解析】 因为 b2(1)(9) 9，且 b 与首项1 同号，所以b3，且 a，c 必同号所以 acb 2 9.【答案】 B3在等比数列a n中，若 a33，a 46，则 a5_.【解析】 由 q 2，所以 a5a 4q12.a4a3 63【答案】 124已知等比数列a n的前三项依次为 a1，a1 ，a4，则an_. 【解析】 由已知可知(a1) 2(a1)( a4)，解得 a5，所以 a14，a 26，所以 q ，a2a1 64 32所以 an4 n1 .(32)【答案】 4 n1(32)5(1)若等比数列 an的首项 a1 ，末项 an ，公比 q ，求项数 n；98 13 23(2)若等比数列a n中，a n4 a 4，求公比 q.【解】 (1)由 ana 1qn1 ，得 n1 ，即 n1 3，得 n4.13 98(23) (23) (23)(2)a n4 a 4q(n4)4 a 4qn，又 an4 a 4，q n1，当 n 为偶数时，q1；当 n 为奇数时，q1.
