1、23 等差数列的前 n 项和第 1 课时 等差数列的前 n 项和1了解等差数列前 n 项和公式的推导过程(难点)2掌握等差数列前 n 项和公式及其应用(重点)3会用裂项相消法求和(难点、易错点)基础初探教材整理 等差数列的前 n 项和阅读教材 P42P 44 例 2，完成下列问题1数列的前 n 项和的概念一般地，称 a1a 2a n为数列a n的前 n 项和，用 Sn表示，即Sna 1a 2a n.2等差数列的前 n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数求和公式Snna1 an2Snna 1 dnn 121设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，已知 a23， a611，则 S7
2、 等于( )A13 B35 C49 D63【解析】 a 2a 6a 1a 714，S 7 49.7a1 a72【答案】 C2等差数列a n中，a 1 1，d1，则 Sn_.【解析】 因为 a11，d1，所以 Snn 1nn 122n n2 n2 .n2 n2 nn 12【答案】 nn 123在等差数列a n中，S 10120，那么 a1a 10_.【解析】 由 S10 120，得 a1a 1024.10a1 a102【答案】 244设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1 ，S 420，则 S6 等于( )12A16 B24C36 D48【解析】 设等差数列a n的公差为 d，由已知得
3、 4a1 d20，432即 4 d20，解得 d3，12 432S 66 334548.12 652【答案】 D小组合作型裂项求和法已知等差数列a n满足：a 37，a 5a 726，a n的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1a2n 1【精彩点拨】 (1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出 an及 Sn；(2)由(1) 求出 bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法【自主解答】 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由题意可得Error!解得 a13，d2，所以 a
4、n32(n1)2n1；Sn3n 2n 22n.nn 12(2)由(1)知 an2n1，所以bn 1a2n 1 12n 12 1 14 1nn 1 ，14(1n 1n 1)所以 Tn14(1 12 12 13 1n 1n 1)14(1 1n 1) ，n4n 1即数列 bn的前 n 项和 Tn .n4n 1裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的常用裂项技巧有：(1) ；1nn k 1k(1n 1n k)(2)若a n为等差数列，公差为 d，则 ；1anan 1 1d(1an 1an 1)(3) ( )等1n k n 1k n k n再练一
5、题1等差数列a n中，a 7 4，a 192a 9.(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn. 1nan【解】 (1)设等差数列 an的公差为 d，则ana 1(n1) d.因为Error!所以Error!解得Error!所以a n的通项公式为 an .n 12(2)因为 bn ，2nn 1 2n 2n 1所以 Sn .(21 22) (22 23) (2n 2n 1) 2nn 1等差数列前 n 项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外
6、，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】 因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24 小时内可完成第二道防线工程【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为 a1，a 2，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且 a124，公差 d.1325 辆翻斗车完成的工作量为：a1a 2a 2525242512 500，而需要完
7、成的工作量为( 13)2420480.500480 ， 在 24 小时内能构筑成第二道防线1本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项和 Sn，还是求项数n.再练一题2植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_
8、米【解析】 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920 201020 202 000(米)982 1092【答案】 2 000探究共研型等差数列的前 n 项和公式推导探究 1 如图 231，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？图
9、 231【提示】 在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为 a1，a 2，a 6，则数列a n构成一个以 a14 为首项，以 d1 为公差的等差数列，设此时钢管总数为 S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有 a1a 6a 2a 5a 3a 4a 6a 113(根)，此时钢管总数为 2S6(a 1a 6)613678(根)，原来钢管总数为 S6 639(根)a1 a62探究 2 通过探究 1，你能推导出等差数列a n的求和公式吗？【提示】 S na 1a 2a n，把数列 an各项顺序倒过来相加得Sna na n1 a 2a 1，得 2Sn(a 1a n)(a 2
10、a n1 )(a na 1)n( a1a n)，则 Sn .a1 ann2探究 3 你能用 a1，d，n 表示探究 2 中的公式吗？该结果与 Sn有什么区别与联系a1 ann2【提示】 S n a1 ann2 a1 a1 n 1dn2a 1n ，即 Sna 1n .nn 1d2 nn 1d2该公式是由探究 2 中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前 n 项和，在求解时都可以“知三求一” ，求 Sn时，都需知 a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知 d.已知等差数列a n中，(1)a11，a n 512，S n1 022，求 d；(2)S524，求 a2a 4.【精彩点拨】 由等差数列的
11、前 n 项和公式及通项公式列方程组求解即可，同时注意等差数列性质的应用【自主解答】 (1)由 Sn 1 022，解之得 n4.na1 an2 n 512 12又由 ana 1(n1) d，即5121(41) d，解之得 d171.(2)法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则S55a 1 d24，即得 5a110d24，55 12a 12d .245a2a 4a 1da 13d2(a 12d)2 .245 485法二：由 S5 24，得 a1a 5 ，5a1 a52 485a 2a 4a 1a 5 .4851在等差数列的通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量：a1，d，n，a n，S
12、n，其中首项 a1 和公差 d 为基本量，且“知三求二” 2求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用再练一题3在等差数列a n中(1)已知 a610 ，S 55，求 a8 和 S10；(2)已知 a3a 1540，求 S17. 【解】 (1)Error!解得 a15，d3，a 8a 62d102316，S1010a 1 d10(5)59385.1092(2)S17 17a1 a172 17a3 a152 340.174021等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，S 3 12，则 a6 等于( )A8 B10 C12
13、 D14【解析】 由题意知 a12，由 S33a 1 d12，解得 d2，所322以 a6a 15d25212，故选 C.【答案】 C2设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 a1a 3 a53，则 S5( )A5 B7 C9 D11【解析】 法一：a 1a 52a 3，a 1a 3a 53a 33，a 31，S 5 5a 35，故选 A.5a1 a52法二：a 1a 3a 5a 1(a 12d)(a 14d) 3a 16d3，a 12d1，S 55a 1 d5(a 12d)5，故选 A.542【答案】 A3. 在一个等差数列中，已知 a1010，则 S19_.【解析】 S 19 19a 10190.19a1 a192 192a102【答案】 1904记等差数列a n前 n 项和为 Sn，若 S24，S 4 20，则该数列的公差d_.【解析】 法一：由Error!解得 d3.法二：由 S4S 2a 3a 4a 12da 22dS 24d，20444d，解得 d3.【答案】 35已知等差数列a n中， a1 ，d ，S n 15，求 n 及 a12. 32 12【解】 S nn 15，32 nn 12 12整理得 n27n600，解之得 n12 或 n5(舍去)，a12 (12 1) 4.32 ( 12)
