1、3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)基础初探教材整理 两角差的余弦公式阅读教材 P124P 126 例 1 以上内容，完成下列问题.cos( )cos cos sin sin .(1)适用条件：公式中的角 ， 都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)cos(6030)cos 60 cos 30
2、.( )(2)对于任意实数 ，cos()cos cos 都不成立 .( )(3)对任意 ，R，cos( )cos cos sin sin 都成立.( )(4)cos 30cos 120sin 30sin 1200.( )【解析】 (1).cos(6030)cos 30cos 60cos 30.(2).当 45 ， 45时，cos()cos( 45 45)cos(90)0，cos cos cos(45)cos 450，此时 cos()cos cos .(3).结论为两角差的余弦公式.(4).cos 30cos 120sin 30sin 120cos(12030)cos 90 0.【答案】 (1)
3、 (2) (3) (4)小组合作型利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos 345的值等于( )A. B.2 64 6 24C. D.2 64 2 64(2) 的值是( )2cos 10 sin 20sin 70A. B.12 32C. D.3 2(3)化简下列各式：cos(21)cos( 24)sin(21)sin( 24)；sin 167sin 223sin 257sin 313.【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公
4、式的逆用.【自主解答】 (1)cos 345 cos(36015)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 .6 24(2)原式2cos30 20 sin 20sin 702cos 30cos 20 2sin 30sin 20 sin 20sin 70 .3cos 20sin 70 3sin 70sin 70 3(3)原式cos 21(24)cos 45 ，所以原式 ；22 22原式sin(180 13)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 4
5、3cos(1343)cos(30) .32【答案】 (1)C (2)C (3) 22 321.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.(2)把所得的积相加.再练一题1.求下列各式的值：(1)cos ；1312(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)cos(20)cos(40) sin(20)sin(40 ).【解】 (1)cos
6、cos cos 1312 ( 12) 12cos cos(312 212) (4 6) (cos 4cos 6 sin 4sin 6) .(22 32 22 12) 6 24(2)原式sin 100sin 160 cos 200cos 280sin 100sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60 .12(3)cos(20)cos(40) sin(20)sin(40 )cos( 20) ( 40)cos(60) .12已知三角函数值求角已知 ， 为锐角，cos ，sin() ，求 . 【导学号：00680066】17 5143【精彩点拨
7、】 本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小.【自主解答】 为锐角，且 cos ，17sin .1 cos21 (17)2 437又 ， 为锐角， (0，).又 sin() sin ， .5143 (2，)cos() 1 sin2 .1 (5143)2 1114cos cos( )cos()cos sin( )sin .( 1114) 17 5314 437 12又 为锐角， .31.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解
8、.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.再练一题2.已知 ， 均为锐角，且 cos ，cos ，求 的值. 【导学号：255 101070512041】【解】 ， 均为锐角，sin ，sin .55 31010cos() cos cos sin sin .255 1010 55 31010 22又 sin sin ，0 ， 0.2 2故 .4探究共研型利用角的变换求三角函数值探究 1 若已知 和 的三角函数值，如何求 cos 的值？【提示】 cos cos ()cos()cos sin( )sin .探究 2 利用 ( ) 可得 cos 等于什么？【提示】
9、cos cos( )cos cos( )sin sin( ).探究 3 若 cos cos a， sin sin b，则 cos() 等于什么？【提示】 cos() .2 a2 b22已知 sin ，且 ，求 cos 的值.( 4) 45 4 34【精彩点拨】 先根据 sin 求出 cos 的值，再根据 构造两( 4) 45 ( 4) ( 4) 4角差的余弦，求出 cos 的值 .【自主解答】 sin ，且 ，( 4) 45 4 34 ，2 4cos ，( 4) 1 (45)2 35cos cos ( 4) 4cos cos sin sin ( 4) 4 ( 4) 4 .35 22 45 22
10、 210巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求或证明 另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：单角变为和差角，如 ， 等；倍角化为和差角，如 2 22 等等.再练一题3.设 cos ，sin ，其中 ， ，求 cos 的值.( 2) 19 (2 ) 23 (2，) (0，2) 2【解】 ， ，(2，) (0，2) ， ，2 (4，) 2 ( 4，2)sin ，cos ( 2) 1 cos2( 2) 1 181 459 (2 ) 1 sin2(2 ) .1 49 53cos cos 2 ( 2) (2 )cos cos s
11、in sin( 2) (2 ) ( 2) (2 ) .( 19) 53 459 23 75271.cos 65cos 35sin 65sin 35等于( )A.cos 100 B.sin 100C. D.32 12【解析】 原式cos(6535)cos 30 .32【答案】 C2.若 a(cos 60，sin 60)，b (cos 15 ，sin 15)，则 ab( )A. B.22 12C. D.32 12【解析】 abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45 .22【答案】 A3.已知锐角 ， 满足 cos ，cos( ) ，则 cos 等于( ) 【
12、导学号：35 51300680067】A. B.3365 3365C. D.5475 5475【解析】 因为 ， 为锐角 ，cos ，cos() ，35 513所以 sin ，sin() .45 1213所以 cos cos( )cos()cos sin()sin 513 35 1213 45 .故选 A.3365【答案】 A4.sin 75_.【解析】 sin 75 cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 22 32 22 12 .6 24【答案】 6 245.已知 ， 为锐角 ，cos() ，cos(2) ，求 cos 的值.1213 35【解】 因为 ， 为锐角，所以 0 .又因为 cos() ，所以 0 ，所以 02 .1213 2又因为 cos(2) ，所以 02 ，35 2所以 sin() ，sin(2) ，513 45所以 cos cos(2 )()cos(2)cos()sin(2)sin() .35 1213 45 513 5665
