1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)基础初探教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材 P106“探究”以下至 P107 例 6 以上内容，完成下列问题.1.平面向量数量积的坐标表示：设向量 a(x 1，y 1)，b( x2， y2)，a 与 b 的夹角为 .数量积 abx 1x2y 1y2向量垂直 a b x1x2y 1y202.向量模的公式：设 a(x 1，y 1)，则|a| .x21 y213.两点间的距离公式：若
2、 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 .AB x2 x12 y2 y124.向量的夹角公式：设两非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，a 与 b 夹角为 ，则cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y2判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个非零向量 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，满足 x1y2x 2y10，则向量 a，b 的夹角为0.( )(2)已知 a(x 1，y 1)，b(x 2， y2)，abx 1x2y 1y20.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( )【解析】 (1).因
3、为当 x1y2x 2y10 时，向量 a，b 的夹角也可能为 180.(2).abx 1x2y 1y20.(3).因为两向量的夹角有可能为 180.【答案】 (1) (2) (3)小组合作型平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量 a(1,2)，b(2，x)，且 ab1，则 x 的值等于( )A. B.12 12C. D.32 32(2)已知向量 a(1,2)，b(3,2) ，则 ab_，a (ab)_.(3)已知 a(2， 1)，b(3,2 )，若存在向量 c，满足 ac2，bc5，则向量c_.【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进
4、行求解.【自主解答】 (1)因为 a( 1,2)，b(2，x) ，所以 ab(1,2)(2，x )122x 1，解得 x .32(2)ab(1,2)(3,2)(1)3221，a(ab) (1,2)(1,2)(3,2)(1,2)(4,0)4.(3)设 c(x，y)，因为 ac2，bc5，所以Error!解得Error!所以 c .(97，47)【答案】 (1)D (2)1 4 (3) (97，47)1.进行数量积运算时，要正确使用公式 abx 1x2y 1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)( ab)|a| 2|b| 2；(ab) 2|a| 22ab|b| 2.2.通过向量的坐
5、标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.再练一题1.设向量 a(1，2)，向量 b(3,4) ，向量 c(3,2) ，则向量(a2b)c ( )A.(15,12) B.0C.3 D.11【解析】 依题意可知，a2b(1，2) 2(3,4) (5,6)，(a2 b)c(5,6)(3,2) 53623.【答案】 C向量模的坐标表示(1)设平面向量 a(1,2)，b( 2，y )，若 a b，则|2ab| 等于( )A.4 B.5C.3 D.45 5(2)已知向量 a(1,2)，b( 3,2)，则|ab
6、|_， |ab|_.【精彩点拨】 (1)两向量 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)共线的坐标表示：x 1y2x 2y10.(2)已知 a(x，y)，则|a| .x2 y2【自主解答】 (1)由 y40 知y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2 ab| 4 .故选 D.5(2)由题意知，ab(2,4)，ab(4,0)，因此|a b| 2 ，| ab|4. 22 42 5【答案】 (1)D (2)2 45向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a| 2a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算 .(2)坐标表示下的运算，若 a( x，y) ，则|a| .x2 y2再练一
7、题2.已知向量 a(2x3,2x)，b( 3x, 2x)(xR)，则|ab|的取值范围为_. 【导学号：00680057】【解析】 ab(x，x2)，|a b| x2 x 22 2x2 4x 4 ，2x 12 2 2|ab| ，).2【答案】 ，)2探究共研型向量的夹角与垂直问题探究 1 设 a，b 都是非零向量，a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)， 是 a 与 b 的夹角，那么cos 如何用坐标表示？【提示】 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2探究 2 已知向量 a(1,2)，向量 b( x，2) ，且 a(a b)，则实数 x 等于？【提示】 由
8、已知得 ab(1x,4).a(ab) ，a(ab)0.a(1,2)，1x80，x9.(1)已知向量 a(2,1)，b(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是( )A.(2， ) B. ( 2，12) (12， )C.(，2) D.(2,2)(2)已知在ABC 中，A(2，1)，B(3,2) ，C (3，1)，AD 为 BC 边上的高，求| |与AD 点 D 的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用 a，b 的夹角为锐角Error!求解 .(2)设出点 D 的坐标，利用 与 共线， 列方程组求解点 D 的坐标.BD BC AD BC 【自主解答】 (1)当 ab 共线时，2k
9、10，k ，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，12所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab0 且 a，b 不同向.由 ab2k0 得 k2，且 k，即实数 k 的取值范围是 ，选 B.12 ( 2，12) (12， )【答案】 B(2)设点 D 的坐标为 (x，y )，则 ( x2，y 1) ， (6，3)， ( x3，y2).AD BC BD D 在直线 BC 上，即 与 共线，BD BC 存在实数 ，使 ，BD BC 即(x3 ，y2)(6，3)，Error!x32( y2)，即 x2y10.又ADBC， 0，AD BC 即(x2 ，y1)(6，3)0，6(x 2)3(y 1)0，
10、即 2xy30.由可得Error!即 D 点坐标为(1,1) ， (1,2)，AD | | ，AD 12 22 5综上，| | ，D(1,1).AD 51.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积 .(2)求模.利用|a| 计算两向量的模.x2 y2(3)求夹角余弦值.由公式 cos 求夹角余弦值 .x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2(4)求角.由向量夹角的范围及 cos 求 的值.2.涉及非零向量 a，b 垂直问题时，一般借助 a babx 1x2y 1y20 来解决.再练一题3.已知 a(1,2)，b(1， )，
11、分别确定实数 的取值范围，使得：(1) a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角；(3)a 与 b 的夹角为锐角.【解】 设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab(1,2)(1，)12.(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos 0，所以 ab0，所以 120，所以 .12(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos 0，且 cos 1，所以 ab0 且 a，b 不同向.由 ab0，得 ，由 a 与 b 同向得 2，所以 的取值范围为 (2 ，).12 ( 12，2)1.已知 a(1，1)，b( 2,3)，则 ab( )A.5 B.4 C.2 D.1【解析】 ab(1
12、，1)(2,3)12(1) 31.【答案】 D2.已知 a(2,1)，b( x，2)，且 a b，则 x 的值为( )A.1 B.0 C.1 D.2【解析】 由题意，ab( 2,1)(x，2)2x20，解得 x1.故选 A.【答案】 A3.已知 a(3，1)，b(1 ，2) ，则 a 与 b 的夹角为( )A. B.6 4C. D.3 2【解析】 ab31(1)( 2)5，| a| ， |b| ，32 12 10 12 22 5故 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .又 0 ， .ab|a|b| 510 5 22 4【答案】 B4.已知 a(3，4)，则|a|_.【解析】 因为 a(3，4)，所以|a| 5.32 42【答案】 55.已知向量 a(3，1)，b(1，2) ，求：(1)ab；(2)( ab) 2；( 3)(ab) (ab).【解】 (1)因为 a(3，1 )，b(1，2) ，所以 ab3 1(1) (2) 325.(2)ab(3，1)(1，2)( 4，3)，所以(ab) 2|ab| 24 2( 3)225.(3)ab(3，1)(1，2)( 4，3)，ab(3，1)( 1，2)(2,1)，(ab)(ab) (4，3)( 2,1)835.
