1、1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.( 重点)2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)基础初探教材整理 1 正弦曲线和余弦曲线阅读教材 P30P 32“思考”以上内容，完成下列问题.1.可以利用单位圆中的正弦线作 ysin x，x0,2的图象 .2.ysin x，x0,2的图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦函数 ysin x， xR 的图象.3.正弦函数 ysin x，x R 的图象和余弦函数 ycos x，
2、xR 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )(2)正弦函数 ysin x 的图象在 x2 k，2k 2 (kZ)上的图象形状相同，只是位置不同.( )(3)正弦函数 ysin x (xR)的图象关于 x 轴对称.( )(4)正弦函数 ysin x (xR)的图象关于原点成中心对称 .( )【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图阅读教材 P32“思考”以下至例 1 以上内容，完成下列问题.1.“五点法”作图的一般步骤是 .列
3、 表 描 点 连 线2.画正弦函数图象的五点(0,0) (2，1)(，0) (32， 1)(2，0)画余弦函数图象的五点(0,1) (2，0)(，1) (32，0)(2，1)用五点法作函数 y2sin x1 的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是_.0， ， ， ，2；0， ， ， ， ；2 32 42340， 2，3，4；0， ， ， ， .632 23【解析】 与作函数 ysin x 的图象所取的五点的横坐标一样，应是 0， ， ，2.2 32【答案】 小组合作型正弦函数、余弦函数图象的初步认识(1)下列叙述正确的是( )ysin x，x0,2的图象关于点 P(，0)成中心对称；ycos
4、 x，x 0,2的图象关于直线 x 成轴对称；正、余弦函数的图象不超过直线 y1 和 y1 所夹的范围.A.0 B.1 个 C.2 个 D.3 个(2)对于余弦函数 ycos x 的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与 x 轴有无数多个交点；与 ysin x 的图象形状一样，只是位置不同.其中正确的有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个【精彩点拨】 分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.【自主解答】 (1)分别画出函数 ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2 的图象，由图象( 略 )观察可知 均正确.(2)如图所示为 ycos x 的图象.可知三项描述均正确.【
5、答案】 (1)D (2)D1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线.2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.再练一题1.关于三角函数的图象，有下列说法：ysin|x|与 ysin x 的图象关于 y 轴对称；ycos(x)与 ycos |x |的图象相同；y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称；ycos x 与 ycos(x )的图象关于 y 轴对称.其中正确的序号是_.【解析】 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同；对，ycos(x) cos x ，故其图象关于 y 轴对称；作图(
6、略)可知均不正确.【答案】 用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y12sin x ，x0,2；(2)y2cos x，x0,2. 【 导学号：00680015】【精彩点拨】 在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.【自主解答】 (1)列表：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 012sin x 1 3 1 1 1在直角坐标系中描出五点(0,1)， ，(，1) ，(2，1) ，然后用光滑曲线顺次(2，3) (32， 1)连接起来，就得到 y12sin x，x0,2的图象.(2)列表：x 02 322cos x 1 0 1 0 12 cos x 3 2
7、 1 2 3描点连线，如图1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法， “五点”即函数图象最高点、最低点与 x轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.再练一题2.用“五点法”作出下列函数的简图.ysin x(0x 2).【解】 列表如下：x 0 2 32 2sin x 0 1 0 1 0 sin x 0 1 0 1 0描点、连线，如图所示.正弦(余弦) 函数图象的应用写出不等式 sin x 的解集.12【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 ysin x 和 y 的12图象，通过图象写出不等式的解集.【自主解答】 在同一坐标系下
8、，作函数 ysin x，x0,2 的图象以及直线 y .12由函数的图象知，sin sin .6 56 12当 0x2 时，sin x 的解为 x ，12 6 56不等式 sin x 的解集为12Error!.1.用三角函数的图象解 sin xa(或 cos xa)的方法：(1)作出直线 ya，ysin x(或 ycos x)的图象；(2)确定 sin xa(或 cos xa) 的 x 值；(3)选取一个合适周期写出 sin xa(或 cos xa)的解集，要尽量使解集为一个连续区间.2.用三角函数线解 sin xa(或 cos xa)的方法：(1)找出使 sin xa(或 cos xa) 的
9、两个 x 值的终边所在位置 .(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.再练一题3.求函数 y 的定义域.2sin x 1【解】 要使 y 有意义，则必须满足 2sin x10，即 sin x .2sin x 112结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数 y 的定义域为2sin x 1Error!.探究共研型与正弦、余弦函数图象有关的零点问题探究 1 方程 sin xx 的实根个数有多少个？【提示】 在同一坐标系内分别作出 ysin x，yx 图象可知在 x0,1内，sin x1 时不会相交，所以方程只有一个实根为 0.探究 2 函数 f(x) cos x 在0，) 内有多少个零点？x【提示】
10、 令 f(x)0，所以 cos x，分别作出 y ，ycos x 的图象( 略)，可知两x x函数只有一个交点，所以 f(x)在0，) 内只有一个零点.判断方程 cos x 0 根的个数.x4【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【自主解答】 设 f(x) ，g(x) cos x，在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象，x4如图：由图可知，f(x)与 g(x)的图象有三个交点，故方程 cos x0 有三个根.x41.求 f(x)Asin x 0( A0)或 f(x)Acos x0( A0) 的根的个数，运用数形结合
11、，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y1 与 y1 之间，只需考虑A f( x)A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数.2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.再练一题4.方程 x2cos x0 的实数解的个数是_.【解析】 作函数 ycos x 与 yx 2 的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.【答案】 21.以下对于正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( )A.在 x2k ， 2k2 ，k Z 上的图象形状相同，只是位置不同B.关于 x 轴
12、对称C.介于直线 y 1 和 y1 之间D.与 y 轴仅有一个交点【解析】 观察 ysin x 的图象可知 A，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选 B.【答案】 B2.用“五点法”作函数 ycos 2x，xR 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) 【导学号：00680016】A.0， ， ， ，2 B.0， ， ， ，2 32 4234C.0，2，3，4 D.0， ， ， ，632 23【解析】 令 2x0， ， 和 2，得 x0， ， ， ，故选 B.2 32 4234【答案】 B3.点 M 在函数 ysin x 的图象上，则 m 等于( )(2， m)A.0 B.1C.1 D
13、.2【解析】 由题意msin ，m1，m 1. 2【答案】 C4.函数 ycos x 与函数 y cos x 的图象( )A.关于直线 x1 对称 B.关于原点对称C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称【解析】 作出函数 ycos x 与函数 ycos x 的简图( 略)，易知它们关于 x 轴对称，故选 C.【答案】 C5.用“五点法”画出 ycos ，x 0,2 的简图.(72 x)【解】 由诱导公式得 ycos sin x，(72 x)(1)列表：x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)， ，(，0)， ，(2，0).(2， 1) (32，1)(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来.
