1、3.3.2 均匀随机数的产生1能用模拟方法估计事件的概率(重点)2设计科学的试验来估计概率(难点)基础初探教材整理 均匀随机数的产生阅读教材 P137P 139 的内容，完成下列问题10,1上均匀随机数的产生利用计算器的 RAND 函数可以产生0,1上的均匀随机数，试验的结果是区间0,1 内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的 0 到 1 之间的均匀随机数进行随机模拟2随机模拟方法的基本思想是估计概率1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)随机数只能用计算器或计算机产生( )(2)计算机或计算器只能产生0,1 的均匀随机数，对于试验结果在2,5 上的试验
2、，无法用均匀随机数进行模拟估计试验( )(3)x 是0,1上的均匀随机数，则利用变量代换 y(ba)x a 可得a，b上的均匀随机数( )【答案】 (1) (2) (3)2用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m，其实际概率的大小为 n，则( )Am n BmnCmn Dm 是 n 的近似值【解析】 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计【答案】 D3在区间(10,20 内的所有实数中，随机取一个实数 a，则这个实数 a13的概率是( )A. B. 13 17C. D.310 710【解析】 a(10,13) ，P( a13) .13 1020 10 310【答案】 C4在边长为 2 的正方形当
3、中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60 粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为_. 图 3-3-8【解析】 设阴影区域的面积为 S，则 ，S .S4 60100 125【答案】 125小组合作型用随机模拟法估计长度型几何概率取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？【精彩点拨】 用模拟方法并进行相应转化求概率【尝试解答】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共 N 个)0 到 1 区间的均匀随机数，a 1RAND；(2)经过伸缩变换，aa 1*3；(3)统计出1，2内随机数的个数
4、N1；(4)计算频率 fn(A) ，即为概率 P(A)的近似值N1N法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0,3(这里 3 和 0重合) 转动圆盘记下指针指在1,2 (表示剪断绳子位置在1,2 范围内)的次数 N1及试验总次数，则 fn(A) 即为概率 P(A)的近似值N1N1用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认
5、识2用随机模拟方法估计几何概型的步骤：确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围； 由事件 A 发生的条件确定随机数应满足的关系式；统计事件 A 对应的随机数并计算 A 的频率来估计 A 的概率再练一题1在区间0,3内任取一个实数，求该实数大于 2 的概率. 【解】 (1)利用计算器或计算机产生 n 个 01 之间的均匀随机数，xRAND；(2)作伸缩变换：y x*(30)，转化为0,3上的均匀随机数；(3)统计出2,3内均匀随机数的个数 m；(4)则概率 P(A)的近似值为 .mn用随机模拟法估计面积型几何概率如图 3-3-
6、9，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率图 3-3-9【精彩点拨】 把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率【尝试解答】 记事件 A所投点落入小正方形内(1)用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a 1RAND，b 1RAND.(2)经过伸缩平移变换，aa 1*31.5,b= b1*31.5,得1.5，1.5上的均匀随机数.(3)统计落入大正方形内点数 N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数
7、N1(即满足1a1 且1b1 的点(a，b)数)(4)计算频率 fn(A) ，即为概率 P(A)的近似值N1N一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的 x，y 来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.再练一题2.如图 3-3-10，在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2 cm，4 cm,6 cm，某人站在 3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？图 3-
8、3-10【解】 记事件 A 投中大圆内 ，事件 B 投中小圆与中圆形成的圆环内，事件 C投中大圆之外(1)用计算机产生两组0,1上的均匀随机数 a1RAND，b 1RAND ；(2)经过伸缩平移变换，a16a 18，b16b 18，得到两组8,8的均匀随机数；(3)统计投中大圆内的次数 N1(即满足 a2b 236 的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数 N2(即满足 4a 2b 216 的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数 N(即满足8a8，8b8 的点(a，b)的个数)；(4)计算频率 fn(A) ，f n(B) ，f n(C) ，即分别为概率 P(A)，N1N N2N
9、 N N1NP(B)，P (C)的近似值利用随机模拟试验估计不规则图形的面积利用随机模拟方法计算图 3-3-11 中阴影部分 (曲线 y2 x与 x 轴、x1 围成的部分) 的面积图 3-3-11【精彩点拨】 在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值【尝试解答】 (1)利用计算机产生两组0,1 上的均匀随机数，a1RAND，b 1RAND.(2)进行平移和伸缩变换，aa 1N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值(3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的次数 N1(满足条件 b2a的点(a，b)(4)计算频率 ，即为点落在阴影部分的
10、概率的近似值N1N(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P .S4 .N1N S4S 即为阴影部分面积的近似值4N1N1解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求得阴影部分面积的近似值2. ，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中 N 为总的S不 规 则 图 形S规 则 图 形 N1N试验次数，N 1 为落在不规则图形内的试验次数再练一题3如图 3-3-12 所示，在一个长为 4，宽为 2 的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计 的值图 3-3-12【解】 记事件 A 为“点落在半圆内” (1)利用计算机产生两组0,1上的均匀
11、随机数 a1RAND，b 1RAND ；(2)进行平移和伸缩变换，a(a 10.5)*4 ，bb 14x 2)的点(a，b)的个数)；(4)计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值；N1N(5)用几何概型公式求概率，P( A) ，所以 ，即 S 半圆S半 圆8 S半 圆8 N1N ，为半圆面积的近似值8N1N又 2 ，所以 .8N1N 4N1N探究共研型a，b内的均匀随机数探究 1 如何产生a，b内的均匀随机数？【提示】 利用计算机(或计算器)产生0,1 上的均匀随机数 x1RAND，然后利用伸缩和平移变换，令 xx 1探究 2 产生a，b 内的均匀随机数时，a，b 上的任何一个实数，都是等
12、可能的吗？【提示】 产生a，b 内的均匀随机数时，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的将0,1内的均匀随机数 a1 转化为2,6 内的均匀随机数 a，需实施的变换为( )Aaa 1*18 B.aa 1*8+2Ca a1*8-2 D.aa 1*6【精彩点拨】 结合两个区间长度及对应的端点值对 a1 实施变换【尝试解答】 因为随机数 x0,1 ，而基本事件都在2,6上，其区间长度为 8，所以首先把 a1 变为 8a1，又因区间左端值为2，所以 8a1 再变为8a12，故变换公式为 a8a 12.【答案】 C再练一题4b 1 是0,1上的均匀随机数，b3( b12)，则
13、b 是区间_上的均匀随机数【解析】 0b 11，则函数 b3(b 12)的值域是6b3，即 b 是区间6，3上的均匀随机数【答案】 6 ，31用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D最适合估计古典概型的概率【解析】 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率【答案】 C2利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为( )
14、 A. B.23 12C. D.13 16【解析】 因为 0a1，所以事件 3a10，即 a 的概率是 ，故选 C.13 13【答案】 C3设 x 是0,1内的一个均匀随机数，经过变换 y 2x3，则 x 对应变12换成的均匀随机数是( )A0 B2C4 D5【解析】 当 x 时，y 2 34.12 12【答案】 C4如图 3-3-13，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_图 3-3-13【解析】 由题意知，这是个几何概型问题， 0.18.S阴S正 1801 000S 正 1，S 阴 0.18.【答案】 0.185设有一个正
15、方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于 6 cm，现用直径等于 2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.【解】 记事件 A 硬币与格线有公共点 ，设硬币中心为 B(x，y)步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组 0 到 1 之间的均匀随机数，x1RAND， y1RAND.(2)经过平移和伸缩变换，则 x(x 10.5)*6，y( y10.5)*6，得到两组3,3 内的均匀随机数(3)统计试验总次数 N 及硬币与格线有公共点的次数 N1(满足条件|x|2 或|y| 2 的点 (x，y )的个数) (4)计算频率 ，即为硬币落下后与格线有公共点的概率N1N学
16、业分层测评( 二十一) 均匀随机数的产生(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1与均匀随机数特点不符的是( )A它是0,1内的任何一个实数B它是一个随机数C出现的每一个实数都是等可能的D是随机数的平均数【解析】 A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数” 【答案】 D2要产生3,3 上的均匀随机数 y，现有0,1上的均匀随机数 x，则 y 可取为( )A3x B3x C6x3 D6x3【解析】 法一：利用伸缩和平移变换进行判断；法二：由 0x 1，得 36x 33，故 y 可取 6x3.【答案】 C3欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为 1.5 cm 的圆，中间有边长为 0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A. B. 49 94
