1、章末分层突破自我校对P(A)P (B)P(A)P (B)1A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数随机事件的概率1.有关事件的概念(1)必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件(2)不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能事件(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件(4)随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母 A，B ，
2、C，表示2对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 A 的概率(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小(5)必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，故 0P(A )1.对一批 U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数 a 50 100 200 300 400 500次品件数 b 3 4 5 5 8 9次品频率ba(1)计算表中次品的频率；(2)从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售 2 000 个
3、 U 盘，至少需进货多少个 U 盘？【精彩点拨】 结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率【规范解答】 (1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04,0.025,0.017, 0.02,0.018.(2)当抽取件数 a 越来越大时，出现次品的频率在 0.02 附近摆动，所以从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是 0.02.(3)设需要进货 x 个 U 盘，为保证其中有 2 000 个正品 U 盘，则 x(10.02)2 000，因为 x 是正整数，所以 x2 041 ，即至少需进货 2 041 个 U 盘再练一题1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击
4、次数 n 10 20 50 100 200 500击中靶心次数 m8 19 44 92 178 455(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了 300 次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那么后 30 次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了 10 次，前 9 次中有 8 次击中靶心，那么第 10次一定击中靶心吗？【解】 (1)由题意，击中靶心的频率分别为 0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在 0.9 附近摆动，故概率约
5、为 0.9.(2)击中靶心的次数大约为 3000.9270(次) (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后 30次中，每次击中靶心的概率仍是 0.9，所以不一定击中靶心(4)不一定互斥事件与对立事件1.对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况(2)利用集合的观点来看，如果事件 AB ，则两事件是互斥的，此时AB 的概率就可用加法公式来求，即为 P(AB)P (A)P(B )；如果事件AB，则可
6、考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式(3)利用集合的观点来看，如果事件 AB ，AB U ，则两事件是对立的，此时 AB 就是必然事件，可由 P(AB)P(A )P(B )1 来求解 P(A)或P(B)2互斥事件概率的求法(1)若 A1，A 2，A n互斥，则 P(A1A 2A n)P(A 1)P(A 2)P (An)(2)利用这一公式求概率的步骤：要确定这些事件彼此互斥；这些事件中有一个发生；先求出这些事件分别发生的概率，再求和值得注意的是：、两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的3对立事件概率的求法P()P(A )P (A)P( )1，由公
7、式可得 P(A)1P ( )(这里 是 A 的A A A A对立事件， 为必然事件 )4互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同的题目其中，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【精彩点拨】 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式【规范解答】 把 3 个选择题记为 x1，x 2，x 3,2 个判断题记为 p1，p 2.总的
8、事件数为 20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1， p1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x2， p2)，( x3，p 1)，(x 3，p 2)，共 6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p2，x 1)，( p2，x 2)，(p 2，x 3)，共 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x3， x1)，( x3， x2)，共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共 2 种
9、(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 ，620 310“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 ，620 310故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 310 .310 35(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 ，故“甲、乙两人至少有220 110一人抽到选择题”的概率为 1 .110 910再练一题2某服务电话，打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1；响第 2 声时被接的概率是 0.2；响第 3 声时被接的概率是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35.(1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少
10、？【解】 (1)设事件 “电话响第 k 声时被接”为 Ak(kN )，那么事件 Ak彼此互斥，设“打进的电话在响 5 声之前被接”为事件 A，根据互斥事件概率加法公式，得 P(A)P( A1A 2A 3A 4)P (A1)P(A 2)P (A3)P(A 4)0.10.20.30.350.95.(2)事件“打进的电话响 4 声而不被接”是事件 A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立事件，记为 .根据对立事件的概率公式，得 P( )1P (A)A A 10.950.05.古典概型与几何概型古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目解题时要
11、紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A) 时，关键是正确理解基本mn事件与事件 A 的关系，求出 n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A) 求解，而需转化为几何度量(如长度、面mn积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停
12、泊位时，另一艘船必须等待的概率【精彩点拨】 甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是 6 小时，当两船到达泊位的时间差不超过 6 小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待【规范解答】 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为 x、y .则Error!作出如图所示的区域本题中，区域 D 的面积 S124 2，区域 d 的面积 S224 218 2.P .d的 面 积D的 面 积 242 182242 716即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为 .716再练一题3从1,2,3,4,5 中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是 ( ) A. B.45 35C. D.25
13、15【解析】 当 b1 时，没有满足条件的 a 值；当 b2 时，a1；当 b3 时，a 可以是 1，可以是 2，共 3 种情况而从1,2,3,4,5 中随机取一个数 a，再从1,2,3 中随机取一个数 b，共有3515 种不同取法，概率为 .315 15【答案】 D概率与统计的综合问题统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的随机抽取某中学甲
14、、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图 3-1 所示图 3-1(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率【精彩点拨】 (1)根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解【规范解答】 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 cm179 cm 之间，而乙班身高集中于 170 cm179 cm 之间因此乙班平均身高高于甲班；(2)
15、x158 162 163 168 168 170 171 179 179 18210170(cm)甲班的样本方差 s2 (158170) 2(162 170) 2(163 170)1102(168170) 2(168170) 2(170 170) 2(171170) 2(179170)2(179170) 2(182170) 257.2(cm 2)(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181,173) ，(181,176) ，(181,178) ，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(
16、179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，P(A) .410 25再练一题4某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族” ，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率第一组 25,30) 120 0.6第二组 30,35) 195 p第三组 35,40) 10
17、0 0.5第四组 40,45) a 0.4第五组 45,50) 30 0.3第六组 50,55 15 0.3图 3-2(1)补全频率分布直方图并求 n，a，p 的值；(2)从年龄段在40,50) 的“ 低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率【解】 (1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为 0.06.频率分布直方图如下：0.35第一组的人数为 200，频率为 0.0450.2，1200.6所以 n 1 000.2000.2由题可知，第二组的频率为
18、 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p 0.65.195300第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.(2)因为40,45)岁年龄段的 “低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 603021，所以采用分层抽样法抽取 6 人，40,45)岁中有 4 人，45,50)岁中有 2 人设40,45)岁中的 4 人为 a，b，c ，d，45,50)岁中的 2 人为 m，n，则选取 2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c )，(a，d)，(a，m )，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(
19、 b，n) ，(c，d)，(c ，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，( m，n)，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在40,45)岁的有(a，m) ，(a，n)，(b，m )，(b，n)，(c ，m )，(c， n)，( d， m)，(d，n)，共 8 种所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率为 .815数形结合思想数形结合思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比设点(p，q)在|p|3，|q|
20、 3 中按均匀分布出现，试求方程x22pxq 210 的两根都是实数的概率【精彩点拨】 试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部【规范解答】 基本事件总体的区域 D 的度量为正方形面积，即 D 的度量为 S 正方形 6 236，由方程 x22 pxq 21 0 的两根都是实数，得 (2p) 24( q 21) 0，p 2q 21.当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域 d 的度量为 S 正方形 S 圆36 ，原方程的两根都是实数的概率为 P .36 36再练一题5三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从 A 发球算起，经 4 次传球又回到 A 手中的概率是多少？ 【解】 记三人为 A、B、C，则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出，
