1、等比数列的性质【常考题型】题型一、等比数列性质的应用【例 1】 (1)若等比数列a n满足 a2a4 ，则 a1a a5_.12 23(2)已知数列a n是等比数列，a 3a 720，a 1a964，求 a11 的值(1)解析 等比数列a n中，因为 a2a4 ，所以 a a 1a5a 2a4 ，所以 a1a12 23 12a5 .2314答案 14(2)解 an为等比数列，a 1a9a 3a764.又a 3a 720，a 3，a 7 是方程 t220t640 的两个根t 14，t 216，a 34，a 716 或 a316，a 74.当 a34，a 716 时，q 44，此时 a11a 3q
2、844 264.a7a3当 a316，a 74 时，q 4 ，此时 a11a 3q816 21.a7a3 14 (14)【类题通法】等比数列常用性质(1)若 mn pq(m，n，p，qN *)，则 amana paq.特例：若 mn2p(m，n，pN *)，则 amana .2p(2) q nm (m，nN *)anam(3)在等比数列a n中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列(4)数列a n为等比数列，则数列 an( 为不等于 0 的常数) 仍然成等比数1an列【对点训练】1(1)在等比数列 an中，若 a22，a 612，则 a10_.(2)在等比
3、数列a n中，若 a72，则此数列的前 13 项之积等于_解析：(1)法一 ：设a n的公比为 q，则Error!解得 q46，a 10a 1q9a 1q(q4)223672.法二： an是等比数列，a a 2a10，26于是 a10 72.a26a2 1222 1442(2)由于a n是等比数列，a 1a13a 2a12a 3a11a 4a10a 5a9a 6a8a ，27a 1a2a3a13 6a7a ，(a27) 137而 a72.a 1a2a3a13(2) 132 13.答案：(1)72 (2)2 13题型二、灵活设元求解等比数列【例 2】 已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们
4、的平方和为 91，求这三个数解 法一：设三个数依次为 a，aq，aq 2，由题意知Error!Error!即Error!解得 ，q21 q2 q4 991得 9q482q 290，即得 q29 或 q2 ，19q3 或 q ，13若 q3，则 a11；若 q3，则 a11；若 q ，则 a19；若 q ，则 a19.13 13故这三个数为：1,3,9 或1,3，9 或 9,3,1 或9,3，1.法二：设这三个数分别为 ，a，aq.aqError!Error!得 9q482q 290，即得 q2 或 q29.19q 或 q3.13故这三个数为：1,3,9 或1,3，9 或 9,3,1 或9,3，
5、1.【类题通法】三个数或四个数成等比数列的设元技巧：(1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq 2 或 ，a，aq；aq(2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设 ，aq，aq 3.aq3aq【对点训练】2在 2 和 20 之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A4 或 17 B4 或 1712 12C4 D1712解析：选 B 设插入的第一个数为 a，则插入的另一个数为 .a22由 a， ，20 成等差数列得 2 a20.a22 a22a 2a200，解得 a4 或 a5.当 a4 时，
6、插入的两个数的和为 a 4.a22当 a5 时，插入的两个数的和为 a 17 .a22 12题型三、等比数列的实际应用【例 3】 某工厂 2011 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2011 年 2 月起，每月生产总值比上一个月增长 m%，那么到 2012 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元？解 设从 2011 年 1 月开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an万元，则an1 a na nm%， 1m%.an 1an数列 an是首项 a1a，公比 q1m%的等比数列a na(1 m%) n1 .2012 年 8 月底该厂的生产总值为 a20a(1m%) 201 a(1m %)19(万
7、元)【类题通法】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解【对点训练】3一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后_分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB2 10 KB)解析：由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次，即 22n642 10 216，解得 n15，从而复制的时间为 15345 分
8、钟答案：45【练习反馈】1将公比为 q 的等比数列a n依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a 2a3，a 3a4，.此数列是( )A公比为 q 的等比数列 B公比为 q2 的等比数列C公比为 q3 的等比数列 D不一定是等比数列解析：选 B 由于 qqq 2，n2 且 nN *，anan 1an 1an anan 1 an 1ana nan1 是以 q2 为公比的等比数列，故选 B.2若 1，a 1，a 2,4 成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4 成等比数列，则 的值等a1 a2b2于( )A B.12 12C D.12 14解析：选 A 1，a 1，a 2,4 成等差数列，3
9、(a 2 a1) 41，a 2a 11.又1，b 1，b 2，b 3,4 成等比数列，设其公比为 q，则 b 144，且2b21q 2 0，b 22， .a1 a2b2 a2 a1b2 123在等比数列a n中，a 8883，a 89181，则公比 q_.解析：a 891a 888q891888 a 888q3，q 3 27.a891a888 813q3.答案：34在等比数列a n中，各项都是正数， a6a10a 3a541，a 4a84，则a4a 8_.解析：a 6a10a ，a 3a5a ，28 24a a 41，24 28又 a4a84，(a 4 a8)2 a a 2a 4a841849，24 28数列各项都是正数，a 4a 87.答案：75已知数列a n为等比数列(1)若 a1a 2 a321，a 1a2a3216，求 an；(2)若 a3a518 ，a 4a872，求公比 q.解：(1)a 1a2a3a 216，a 26，32a 1a336.又a 1a 321a 215，a 1，a 3 是方程 x215x 360 的两根 3 和 12.当 a13 时，q 2，a n32 n1 ；a2a1当 a112 时，q ，a n12 n1 .12 (12)(2)a 4a8a 3qa5q3a 3a5q418q 472，q 44，q .2
