1、余弦定理【知识梳理】余弦定理余弦定理公式表达a2b 2c 22bccos_A，b2a 2c 22accos_B，c2a 2b 22abcos_C语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理推论cos A ，b2 c2 a22bccos B ，a2 c2 b22accos Ca2 b2 c22ab【常考题型】题型一、已知三角形的三边解三角形【例 1】 在ABC 中，若 abc1 2，求 A，B，C.3解 由于 abc 1 2，3可设 ax，b x，c2x.3由余弦定理的推论，得 cos A ，故 A30.b2 c2 a22bc 3x2 4x2
2、x223x2x 32同理可求得 cos B ，cos C0，所以 B60，C90.12【类题通法】已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角【对点训练】1边长为 5,7,8 的三角形中，最大角与最小角的和是_解析：设中间角为 ，由于 875，故 的对边的长为 7，由余弦定理，得cos .所以 60 ，故另外两角和为 18060120.52 82 72258 12答案：120题型二、已知三角形的两边及其夹角解三
3、角形【例 2】 在ABC 中，已知 a8，B60，c4( 1)，解此三角形3解 由余弦定理得： b2a 2c 22accos B8 24( 1)32284( 1)cos 6036416(4 2 )64( 1) 96，3 312b4 .6法一：由 cos A ，b2 c2 a22bc 96 163 12 6424643 1 220A 180，A45.故 C 180AB 18045 6075.法二：由正弦定理 ， ，asin A bsin B 8sin A 46sin 60sin A ，ba，c a，22a 最小，即 A 为锐角因此 A45.故 C 180AB 18045 6075.【类题通法】已
4、知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好【对点训练】2在ABC，已知 a2 ，b2 ，C15，解此三角形2 3解：c 2a 2 b22abcos C(2 )2(2 )222 2 cos(4530)2 3 2 384 3( ) 26 2c .6 2法一：由余弦定理的推论得cos Ab2 c2 a22bc .232 6 22 2222236 2
5、220A 180，A45 ，从而 B120.法二：由正弦定理得sin A .asin Cc 226 246 2 22ab，AB，又 0A 180，A 必为锐角，A45 ，从而得 B120.题型三、已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形【例 3】 在ABC 中，已知 b3，c3 ，B 30，求角 A、角 C 和边 a.3解 法一： 由余弦定理 b2a 2c 22accos B，得 32a 2(3 )22a3 cos 30，3 3a 29a180，得 a3 或 6.当 a3 时，A30，C 120.当 a6 时，由正弦定理得sin A 1.asin Bb 6123A90 ，C 60.法二：由 b
6、c ，B30，bcsin 303 知本题有两解312 332由正弦定理得 sin C ，csin Bb 33123 32C 60或 120，当 C 60时，A90 ，ABC 为直角三角形由勾股定理得 a 6，b2 c2 32 332当 C 120时，A30 ，ABC 为等腰三角形，a3.【类题通法】已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边【对点训练】3已知：在ABC 中，cos A ，a4，b3
7、，则 c_.35解析：A 为 b，c 的夹角，由余弦定理得 a2b 2c 22bc cos A，169c 2 6 c，35整理得 5c2 18c350.解得 c5 或 c (舍) 75答案：5题型四、判断三角形的形状【例 4】 在ABC 中，若 acos Abcos Bc cos C，试判断ABC 的形状解 由余弦定理可得 a bb2 c2 a22bc a2 c2 b22acca2 b2 c22ab等式两边同乘以 2abc 得a2(b2 c2a 2)b 2(a2c 2b 2)c 2(a2b 2c 2)，整理化简得 a4b 42a 2b2c 4，(a 2 b2)2 c4.因此有 a2b 2c 2
8、 或 b2 a2c 2.即 a2b 2c 2 或 b2a 2 c2故ABC 为直角三角形【类题通法】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状【对点训练】4在ABC 中，若 cos A ，试判断其形状sin Bsin C解：由 cos A 得 cos A ，即 ，sin Bsin C bc b2 c2 a22bc bcb 2c 2a 22b 2，即 a2b 2c 2，因此
9、ABC 是以 C 为直角的直角三角形【练习反馈】1在ABC 中，已知 A30，且 3a b12，则 c 的值为( )3A4 B8C4 或 8 D无解解析：选 C 由 3a b12，得 a4，b4 ，利用余弦定理可得3 3a2b 2c 2 2bccos A，即 1648c 212c，解得 c4 或 c8.2在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 0，则c2 a2 b22abABC ( )A一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形解析：选 C 由 0 得cos C0，c2 a2 b22ab所以 cos C0，从而 C 为钝角，因此ABC 一
10、定是钝角三角形3在ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若a2，B ，c 2 ，则 b_.6 3解析：由余弦定理得 b2a 2c 22ac cos B412222 4，所以332b2.答案：24在ABC 中，已知 a7，b3，c5，则最大的角是_解析：ac b，A 为最大角cos A ，b2 c2 a22bc 32 52 72235 12又0A 180 ，A120.答案：1205在ABC 中，已知 a5，b3，角 C 的余弦值是方程 5x27x 60 的根，求第三边 c 的长解：5x 27x60 可化为 (5x3)(x2) 0.x 1 ，x 22(舍去) 35cos C .35根据余弦定理，c2a 2b 2 2abcos C5 23 2253 16.35c4，即第三边长为 4.
