1、基本不等式【知识梳理】1重要不等式当 a，b 是任意实数时，有 a2b 22ab，当且仅当 ab 时，等号成立2基本不等式（1）有关概念：当 a，b 均为正数时，把 叫做正数 a，b 的算术平均数，a b2把 叫做正数 a，b 的几何平均数ab（2）不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即 ，当且仅当 ab 时，等号成立aba b2(3)变形：ab 2，a b2 (其中 a0，b0，当且仅当 ab 时等号(a b2 ) ab成立) 【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例 1】 已知 a，b，cR，求证：a 4b 4c 4a 2b2b 2c2c
2、 2a2.证明 由基本不等式可得：a4b 4(a 2)2(b 2)22a 2b2，同理：b 4c 42b 2c2，c4a 42a 2c2，(a 4 b4)(b 4c 4)(c 4a 4)2a 2b22b 2c22a 2c2，从而 a4b 4c 4a 2b2b 2c2c 2a2.【类题通法】1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果2注意多次运用基本不等式时等号能否取到【对点训练】1已知 a，b 是正数，求证 .21a 1b ab证明：a0，b0， 2 0，1a 1b 1ab ，21a 1b2
3、2 1ab ab即 (当 ab 时取 “”).21a 1b ab题型二、利用基本不等式求最值【例 2】 (1)已知 m，n0，且 mn16，求 mn 的最大值12(2)已知 x3，求 f(x)x 的最小值；4x 3(3)设 x0，y0，且 2xy1，求 的最小值1x 1y解 (1)m，n0 且 mn16，所以由基本不等式可得 mn 2 264，(m n2 ) (162)当且仅当 mn8 时，mn 取到最大值 64. mn 的最大值为 32.12(2)x3，x30， 0，4x 3于是 f(x)x x 3 32 37，4x 3 4x 3 x 3 4x 3当且仅当 x 3 即 x5 时，f(x)取到
4、最小值 7.4x 3(3)法一：x0，y0,2xy1， 3 32 3 2 ，1x 1y 2x yx 2x yy yx 2xy yx2xy 2当且仅当 ，即 y x 时，等号成立，yx 2xy 2解得 x1 ，y 1 ，22 2当 x1 ，y 1 时， 有最小值 32 .22 2 1x 1y 2法二： 1 (2xy)3 32 32 ，1x 1y (1x 1y) (1x 1y) 2xy yx yx2xy 2以下同解法一【类题通法】1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式 成立的前提条件， a0，b0；a b2 ab(2)二定：化不等式的一边为定值；
5、(3)三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化( 或利用 )和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式【对点训练】2(1)已知 lg alg b2，求 ab 的最小值；(2)已知 x0，y0，且 2x3y6，求 xy 的最大值(3)已知 x0，y0， 1，求 xy 的最小值1x 9y解：(1)由 lg alg b2 可得 lg ab2，即 ab100，且 a0，b0，因此由基本不等式可得 ab2 2 20，ab 100当且仅当 ab10 时，ab 取到最小值 20.(2)x0，y0,2x3y
6、6，xy (2x3y) 216 16(2x 3y2 ) 2 ，16(62) 32当且仅当 2x 3y，即 x ，y1 时，xy 取到最大值 .32 32(3) 1 ，1x 9yxy(xy) (1x 9y)1 9 10，9xy yx yx 9xy又x0，y0， 102 1016，yx 9xy yx9xy当且仅当 ，即 y3x 时，等号成立yx 9xy由Error!得Error!即当 x4，y 12 时，xy 取得最小值 16.题型三、利用基本不等式解应用题【例 3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎
7、笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件得 4x6y36，即 2x3y18，设每间虎笼面积为 S，则 Sxy .由于 2x3y2 2 ，2x3y 6xy2 18，得 xy ，6xy272即 S ，当且仅当 2x 3y 时，等号成立，272由Error!解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大(2)法一：由条件知 Sxy24，设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.2x3y2 2 24，2x3y 6
8、xyl4x6y2(2x3y) 48，当且仅当 2x3y 时，等号成立由Error!解得Error!故每间虎笼长 6 m 时，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小法二：由 xy24，得 x .24yl4x6y 6y6 62 48，当且仅当 y，即 y496y (16y y) 16yy 16y时，等号成立此时 x 6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最
9、小值；(4)根据实际背景写出答案【对点训练】3某汽车公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约 100 万元，每辆车第一年各种费用约为 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加 16 万元(1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(xN *)的函数关系式；(2)这 4 辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车 x 年总收入为 100x 万元，总支出为 20016(12x)200 x(x 1)16(万元)12y4 100x 200 12xx 11616( 2x223x 50) (2)年平均利润为16 16
10、.yx (23 2x 50x) 23 2(x 25x)又 xN *，x 2 10，25x x25x当且仅当 x 5 时，等号成立，此时 16 (2320)48.yx运营 5 年可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元【练习反馈】1已知 f(x)x 2(x0)，则 f(x)有( )1xA最大值为 0 B最小值为 0C最大值为4 D最小值为4解析：选 C x0，f(x ) 2224， x 1 x当且仅当x ，即 x1 时取等号1 x2若 ab0，则下列不等式成立的是( )Aab Ba ba b2 ab a b2 abCa b Da ba b2 ab ab a b2解析：选 B a b，因此只
11、有 B 项正确a a2 a b2 ab bb3若 x，yR ，且 x4y1，则 xy 的最大值为 _解析：1x 4y2 4 ，4xy xyxy ，当且仅当 x4y 时等号成立116答案：1164已知 x0 ，y 0，lg xlg y1，则 z 的最小值为_2x 5y解析：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.则 2 2，故 最小值 2，2x 5y 10xy (2x 5y)当且仅当 2y 5x 时取等号又 xy10，即 x2，y5 时等号成立答案：25已知 a，b，c 均为正数， a，b，c 不全相等求证： ab c.bca acb abc证明：a0，b0，c 0， 2 2c ，bca acb abc2ab 2 2a，acb abc a2bcbc 2 2b.bca abc bcaabc又 a，b，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立 abc.bca acb abc
