1、直线与圆的位置关系（第 1 课时）【教学目标】1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想.2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性.【重点难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系.【课时安排】2 课时【教学过程】导入新课(1)直线方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a) 2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b), 半径为 r.(3)圆的一般方程 x2+y2+D
2、x+Ey+F=0(其中 D2+E2-4F0)，圆心为(- ,- ),半径为2DE.21FED4推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：初中学过的平面几何中 ,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.直线与圆的三种位置关系的含义是:直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系图形相交 两个 dr相切 只有一个 d=r相离 没有 dr方法一,判断直线 l 与圆的位置关系
3、,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系的判断方法：几何方法步骤：1把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3作判断：当 dr 时,直线与圆相离；当 d=r 时,直线与圆相切 ;当 dr 时,直线与圆相交.代数方法步骤：1将直线方程与圆的方程联立成方程组.2利用消元法 ,得到关于另一个元的一元二次方程 .3求出其判别式 的值.4比较 与 0 的大小关系 ,若 0,则直线与圆相离；若 =0,则直线与圆相切; 若0,则直线与圆相交 .反之也成立 .应用示例例 1 已
4、知直线 l：3x+y-6=0 和圆心为 C 的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线 l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.解法一:由直线 l 与圆的方程,得)2(.0421632yx消去 y,得 x2-3x+2=0,因为 =(-3)2-412=10,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.解法二：圆 x2+y2-2y-4=0 可化
5、为 x2+(y-1)2=5,其圆心 C 的坐标为(0,1),半径长为 ,5圆心 C 到直线 l 的距离 d= = .所以直线 l 与圆相交,有两个公213|60|05共点.由 x2-3x+2=0,得 x1=2,x2=1.把 x1=2 代入方程 ,得 y1=0;把 x2=1 代入方程,得 y2=3.所以直线 l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是 (2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例 2 已知圆的方程是 x2+y2=2,直线 y=x+b,当 b 为何值时 ,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共
6、点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为 b 为何值时,方程组 有两组不同实数根、有两组相同实根、无实bxy,22根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线 l：y=x+b 和圆 x2+y2=2 有两个公共点、只有一
7、个公共点、没有公共点,则方程组 有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,bxy2消去 y,得 2x2+2bx+b2-2=0,所以 =(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,当 =16-4b20,即-2b2 时,圆与直线有两个公共点；当 =16-4b2=0,即b=2 时,圆与直线只有一个公共点；当 =16-4b2 0,即 b2 或 b-2 时,圆与直线没有公共点.解法二：圆 x2+y2=2 的圆心 C 的坐标为(0,0),半径长为 2,圆心 C 到直线 l:y=x+b 的距离 d= .2|1|0|2b当 dr 时,即 ,即|b|2,即 b2 或 b-2 时,圆与直线没有公共点;|b当
8、d=r 时,即 = ,即|b|=2,即 b=2 时,圆与直线只有一个公共点；2|b当 dr 时,即 ,即|b|2,即-2b2 时,圆与直线有两个公共点.|点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断.变式训练已知直线 l 过点 P(4,0),且与圆 O：x 2+y2=8 相交,求直线 l 的倾斜角 的取值范围.解法一：设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,因为直线 l 与圆 O 相交,所以圆心 O 到直线 l 的距离小于半径,即 2 ,化
9、简得 k21,所以-1k1,即-1tan1.1|4|k当 0tan1 时,0 ；当-1 tan0 时, .443所以 的取值范围是0, )( ,).3解法二：设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由 ,消去 y 得(k 2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.8)4(2yxk因为直线 l 与圆 O 相交,所以 =(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化简得 k21.(以下同解法一)点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.拓展提升圆 x2+y2=8 内有一点 P0(-1,2),AB 为过点 P0 且倾斜角为 的
10、弦.(1)当 = 时,求 AB 的长；43(2)当 AB 的长最短时,求直线 AB 的方程.解:(1) 当 = 时,直线 AB 的斜率为 k=tan =-1,所以直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即43y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由 消去 y,得 2x2-2x-7=0,812yx设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=1,x1x2=- ,7所以|AB|= |x1-x2|= = = .)(21214)(x)27(430解法二：(几何法) 弦心距 d= ,半径 r=2 ,弦长|AB|=2 .182dr(2)当 AB 的长最短时,OP 0AB,因为 kOP0=-2,kAB= ,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1),12即 x-2y+5=0.课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法.(2)求切线方程.作业习题 4.2 A 组 1、2、3.
