1、因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y ax2 bx（ a0）经过点 A和 x 轴正半轴上的点 B， AO BO2， AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求 AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况， ABC 与 AOM 相似请打开超级画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上
2、运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况， ABC 与 AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1第（2）题把求 AOM 的大小，转化为求 BOM 的大小2因为 BOM ABO30，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有 ABC AOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论 ABC 与 AOM 相似满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AH y 轴，垂足为 H在 Rt AOH 中， AO2， AOH30，所以 AH1， OH 3所以 A(1,3)因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(2,0)两点，设 y ax(x2)，代入点 A(,)，可得 a 图 2所
3、以抛物线的表达式为 233()yxx（2）由 223(1)yx，得抛物线的顶点 M 的坐标为 3(1,)所以 3tanBOM所以 BOM30所以 AOM150（3）由 A(,3)、 B(2,0)、 M(,)3，得 tanO， 2， 2O所以 ABO30， 3因此当点 C 在点 B 右侧时， ABC AOM150 ABC 与 AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当 3AOM时， 23BAC此时 C(4,0)如图 4，当 B时， 6此时 C(8,0)图 3 图 4考点伸展在本题情境下，如果 ABC 与 BOM 相似，求点 C 的坐标如图 5，因为 BOM 是 30底角的等腰三角形， ABO30，
4、因此 ABC 也是底角为30的等腰三角形， AB AC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0)图 5例 2 2012 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 1()44byx（ b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否
5、存在点 Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在 OQA B 的时刻，也存在 OQ A B 的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b
6、 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1） B 的坐标为( b, 0)，点 C 的坐标为(0, 4b)（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴， PE y 轴，垂足分别为 D、 E，那么 PDB PEC因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x)如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOB S PCO S PBO 15248bxbx2 b解得 165x所以点 P 的坐标为( 6,5)图 2 图 3（3）由 11()()44byxxb，得 A(1, 0)， OA1如图 4，以 OA、
7、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么 OQC QOA当 BAQO，即 2BA时， BQA QOA所以 2()1b解得 843b所以符合题意的点 Q 为( 1,23)如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC90。因此 OCQ QOA当 BAQO时， BQA QOA此时 OQB90所以 C、 Q、 B 三点共线因此 BOAC，即 14b解得 4A此时 Q(1,4)图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是， A、 C、 O 三点是确定的， B 是 x 轴正半轴上待定的点，而 QOA与 QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据 QOA 与
8、 QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4 OC 矛盾例 3 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1，已知抛物线的方程 C1： (2)yxm (m0)与 x 轴交于点 B、 C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求 BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH EH 最小，求出点 H的
9、坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、 C、 F 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到， EC 与 BF 保持平行，但是 BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体验到， CBF 保持 45，存在 BFC BCE 的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时， BH EH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作 CBF EBC45，或者作 BF/EC再用
10、含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 1(2)yxm，得 124()m解得 m4（2）当 m4 时， 211(2)4yxx所以 C(4, 0)， E(0, 2)所以 S BCE 6BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时， BH EH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 4HP解得 32所以点 H 的坐标为 3(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC，所以当 ，即 BE时， BC
11、E FBC设点 F 的坐标为 1(,2)(xxm，由 OC，得1(2)mx解得 x m2所以 F( m2, 0)由 COBE，得 24B所以2(4)F由 2F，得22()()m整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作 CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FF x 轴于 F，由于 EBC CBF，所以 BEC，即 2BE时， BCE BFC在 RtBFF中，由 FF BF，得 1()2xm解得 x2 m所以 F (2,0)所以 BF2 m2， ()F由 BCE，得 ()解得 综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、 F 的坐标
12、后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 4 2010 年义乌市中考第 24 题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、 A（2，0） 、 B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、 CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、 A1、 C1、 B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为S， A1、 B1的坐标分别为 (x1， y1)、( x2， y2)用含 S 的代数式表示 x2 x1，并求出当S=36 时点 A1的坐标；（3）在图 1
13、 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动 P、 Q两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时， P、 Q 两点同时停止运动设 P、 Q 两点的运动时间为t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到， x2 x1随 S 的
14、增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果 GAF GQE，那么 GAF 与 GQE 相似思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2 x1，我们反其道而行之，用 x1， x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2 y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G
15、在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 1，解析式为 2184yx，顶点为 M（1， 8） （2） 梯形 O1A1B1C1的面积 22()3()6Sx，由此得到13sx由于 23y，所以 2211yx整理，得2121()()84x因此得到 217S当 S=36 时， 21,. 解得 126,8.x 此时点 A1的坐标为（6，3） （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的 GAF 与 GQE，有一个公共角 G在 GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对
16、称轴的夹角，为定值在 GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在 GQE GAF 的可能， GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于 3tan4A， tan5DQtP，所以 345t解得 207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例 5 2009 年临沂市中考第 26 题如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、 B（1，0)、 C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）
17、P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以A、 P、 M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得 DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到， PAM的形状在变化，分别双击按钮“ P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“ P 在 A 右侧” ，可以显示 PAM 与 OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方
18、的抛物线上运动，观察 DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到， E 是 AC 的中点时， DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把 DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、 B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)(xay，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 21a所以抛物线的解析式为5142（2）设点 P 的坐标为 )4(2,(xx如图 2，当
19、点 P 在 x 轴上方时，1 x4， )(1M， AM如果 2COAP，那么 24)(1x解得 5x不合题意如果 1，那么)(解得 2此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时， x4， )4(1xPM， 4xAM解方程 24)(2x，得 5此时点 P 的坐标为 )2,5(解方程 1)(1，得 x不合题意如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时， x1， )4(12xPM， xAM解方程 2)(12x，得 3此时点 P 的坐标为 ),3(解方程 214)(21x，得 0x此时点 P 与点 O 重合，不合题意综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 )14,3
20、(或 )2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 21xy设点 D 的横坐标为 m )41(，那么点 D 的坐标为 )52,(m，点 E 的坐标为 )21,(所以 )1)25mE2因此 )(2SDAC 44(2当 时， DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么 DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（ m， n） )41(，那么 42)(21)2( nmnS由于 252
21、1mn，所以 mS42例 6 2008 年苏州市中考第 29 题图 1动感体验请打开几何画板文件名“08 苏州 29”，拖动表示 a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点 E1和 E3时，直线 NE1、N E3和直线 AB 交于同一个点 G，此时 POBPGN当抛物线经过点 E2和 E4时，直线 NE2、 NE4和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验到，这个点 G 在点 N 右侧较远处思路点拨1求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、 b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点 E，写出点
22、E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出 a3当 E 在 x 轴上方时， GNP45， POB PGN，把 PBG转化为4PON4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到 PB大于 10 2满分解答（1） H， 3k， 2b（2）由抛物线的解析式 (1)5yax，得点 M 的坐标为 (1,0)，点 N 的坐标为 ,0因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0） ， DN3因为 AOB 是等腰直角三角形，如果 DNE 与 AOB 相似，那么 DNE 也是等腰直角三角形如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（2，3） 将 E1（2，3）代入 (1)5yax，求得
23、a此时抛物线的解析式为 245()3xx将 E2（2，3）代入 ()y，求得 31此时抛物线的解析式为 )512xx如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3(,或 E4 )21,(将 E3 1(,)2代入 ()yax，求得 9a此时抛物线的解析式为 22801(5)9xx将 E4 )1,(代入 ()y，求得 此时抛物线的解析式为 91)(2xx图 2 图 3对于点 E 为 E1（2，3）和 E3 1(,)2，直线 NE 是相同的， ENP45又 OBP45， P P，所以 POB PGN因此 047NOGB对于点 E 为 E2（2，3）和 E4 )21,3(，直线 NE 是相同的此时点 G 在直线 5x的右侧， PG又 34PB，所以 210343B考点伸展在本题情景下，怎样计算 PB 的长？如图 3，作 AF AB 交 OP 于 F，那么 OBC OAF， OF OC ， PF 23，PA 32(3)12PF，所以 31PB
