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1、第七章 位移法 第一节 概 述 力法和位移法是分析超静定结构的两种最基本的方法。力法是把超静定结构的多余未知力作为基本未知量（力），而位移法，则是把结构的结点位移作为基本未知量。 对于线性弹性结构，在一定外荷载作用下内力与位移存在一一对应关系。 第一节 概 述 在计算超静定结构时，可设法求出结构中的某些位移，通过位移与内力之间确定的对应关系，求出相应的内力，从而对超静定结构进行计算，这种计算超静定结构的方法叫位移法。 第二节 位移法的基本概念 用位移法分析结构时，先将结构隔离成单个杆件，进行杠件受力分析，然后考虑变形协调条件和平衡条件，将杆件在结点处拼装成整体结构。 所示结构为例了解位移法的基

2、本思路。 第一步，使原结构处于固定状态 第二步，用杆端位移表示杆端力 得杆件 BC的杆端弯矩为： 杆件 BA的杆端弯矩为： 083 2CBBBCMqlLEIM BCBBBALEIMLEIM24第三步，用平衡条件建立位移方程 （ MBA+MBC） =0 08342 qllEIlEI BB 从上式中可求得 B的角位移值为： EIqlB 56/3 (顺时针方向 ) 可求得各杆件杆端弯矩值为： 杆件 BC： 5648)56(3 223 qlqlEIqlLEIMBC 0CBM杆件 BA： 564)56(4 23 qlEIqlLEIMBA EIqlEIqllEIMAB 28)56(2 23 (上边纤维受拉

3、 ) (左边纤维受拉 ) (右边纤维受拉 ) 从上面简单刚架计算实例可以得到这样结论：位移法是以结构的结点位移作为未知量，先通过“离散”和“组合”的过程中求出未知量，再利用它对结构进行分析。 最后可以把位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。 因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面： 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系。 确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。 如何建立求解基本未

4、知量的位移法方程式。 这些问题将在以后的各节中分别予以介绍和讨论。 第三节等截面直杆的形常数和截常数 用位移法分析结构时，是用增加附加约束的办法，把对原结构的分析转化为对单跨超静定杆件及静定杆件的分析。 对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。又因为位移法是建立在手算基础上，基本未知量的数目越少越好，所以，为了减少基本未知量数目，我们给出三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。由于结构常为等截面直杆构成，所以只讨论三种类型的等截面直杆在杆端位移和外荷载分别作用下产生的杆端力。 杆端位移的正负号规定 杆端角位移（结点角位移） ，以顺时针方向 旋转

5、为正，反之为负 杆端线位移（结点线位移） 。杆端线位移是 指杆件两端垂直于杆轴线方向的相对线位移， 正负号则以使整个杆件顺时针方向旋转规定为正 反之为负 。 杆端内力的正负号规定 杆端弯矩。对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正，反之为负 杆端剪力 Q正负号的规定，同材料力学和本书中前面的规定，这里从略。 等截面直杆的刚度系数和固端力 （ 1）刚度系数 杆件刚度系数，是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向发生单位位移时，所需要施加的杆端力。由于它只是与杆件长度、截面尺寸以及材料的弹性常数（如弹性模量等）有关的常数，又称

6、它为形常数。在表 8-1、 8-2和 8-3中分别给出了三种不同类型的杆件有杆端单位角位移和单位相对线位移的刚度系数，这些形常数是用力法推导出来的，正负号是按本节规定确定的。 （ 2）截常数 单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端剪力）。在给定杆件类型后，其数值与荷载形式等有关，故称为载常数。在表 8-1、 8-2及 8-3中给出三种类型杆件在常见荷载作用下的载常数，也是用力法推导出的，正负号也是按本节规定确定的。 第四节位移法的基本未知量和基本结构 位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结点处各杆端

7、位移相等，且等于结点位移，位移法把结构的独立结点位移作为基本未知量。结点位移由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时位移法引入变形假设：假设结构变形是微小的；忽略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位移的影响。下面将按照变形假设、三种类型杆件以及结构的支座约束条件，讨论结构的独立结点位移 。 （ 1） 结点角位移 由材料力学梁弯曲的平面截面假设可知，杆件发生弯曲变形后，横截面保持平面且与杆轴线垂直，故杆端角位移和杆端横截面的角位移是相等的。又根据刚结点的变形连续条件，杆端角位移与该杆端相应的结点角位移是相同的。由此得出，通常情况下，一个刚结点

8、有一个独立结点角位移（转角）。 结构结点的基本类型有刚结点和铰结点，另外还有混合结点，而混合结点中有刚性连结部分和铰结部分，可把一个刚性连接部分也作为一个刚结点，仍然适用于一个刚结点只有一个独立结点角位移。铰结点处的杆端虽然有角位移，在位移法计算中可以选用表 8-2一端固定，一端铰支座杆件的形常数和载常数，则铰支端的角位移不作为基本未知量。 （ 2） 结点线位移 分析结构的独立结点线位移时，先分析结点和杆件连结关系。一般情况下，平面杆件结构中每个结点（包括刚结点和铰结点）均可能有两个（如水平和竖向）结点线位移。若不考虑杆件的轴向变形，每根受弯直杆变形后在杆轴方向上两端间距（长度）不改变，则有一

9、根受弯直杆等同一根链杆的作用，能减少一个结点线位移。若两个结点用一根受弯直杆连结后，在杆轴方向上将原有的两个独立结点线位移减少为一个独立结点线位移。由此推得，在一条直线上的多个结点（包括刚结点和铰结点）用受弯杆件相互连接后，在该直线上的独立结点线位移只有一个。 位移法的基本结构 位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构。 使用的附加约束有两种形式：对应于结点角位移，在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位移，不限制结点线位移，用符号“ ”表示刚臂；对应于独立的结点线位移用附加链杆，只限制结点线位移。 第五节 位移法的典型方程 用位移法求解超静定结构时，

10、根据建立求基本未知量的位移法基本方程方法的不同，可分为典型方程法和平衡方程法两种。本节先讨论典型方程法。 5 1 位移法的典型方程的建立 以图 8-8（ a）所示刚架为例，说明典型方程法建立位移法方程的过程。图 8-8（ a）所示刚架在刚结点 B处有一个独立角位移，编号为 Z1；另外结点 A、B、 C有一个独立水平线位移，编号为 Z2，基本未知量和基本结构见图（ b）。图（ b）中为杆件的线刚度。 基本结构在外荷载 q单独作用下引起的弯矩图，记为图，见图（ C）。它引起附加刚臂和附加链杆的反力矩和反力，分别用、（图 C）表示。其中第一个脚标表示反力所属约束，第二个脚标表示反力产生的原因。如表示

11、由荷载作用引起附加刚臂的反力矩，后面遇到下标的物理意义可按此类推。 图 8-8（ d）、（ e）分别表示基本结构在 Z1=1及 Z2=1单独作用下产生的弯矩图，称为单位弯矩图（或称图及图）。用 r11、 r21、r12、 r22表示在相应的附加约束中产生的反力矩及反力。他们的第一个脚标表示该反力所属的附加约束；第二个脚标则表示反力产生的原因。例如 r11表示由Z1=1单独作用于基本结构时，在附加刚臂中产生的反力矩（图 d）；r12表示由 Z2=1单独作用在基本结构时，在附加刚臂中产生的反力矩（图 e）。单位位移均按基本未知量的正方向设定，而各反力的方向也均按所设的基本未知量方向设定。 设基本结

12、构在外荷载和独立结点位移 Z1 及 Z2分别作用下，在附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为 R1及 R2，由叠加法可得其表达式为： PPRZrZrRRZrZrR2222121212121111 要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和原结构受力相同，所以 R1和 R2应该等于零，故式（ a）变为 : 上式称为二个未知量的位移法典型方程。它的物理意义是，基本结构在外荷载和结点位移共同作用下，在每一个附加约束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受力与原结构是相同的，实质上代表了原结构的静力平衡方程。结构有多少个独立的结点位移未知数，就可以建立与之对应的相同数目的平衡方程。 0022221211212111PPRZrZrRZrZr