1、专题 59：新定义和跨学科问题一、选择题1. （2012 浙江丽水、金华 3 分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【 】A B C D【答案】 A。【考点】生活中的轴对称现象。【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入球洞。故 A。2. （2012 福建漳州 4 分）在公式 I= 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数R关系可用图象大致表示为【 】A B C D【答案】D。【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。【分析】在公式 I= 中，当电压
2、U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系不反比例R函数关系，且 R 为正数，选项 D 正确。故选 D。/ 33- 2 -3. （2012 湖北随州 4 分）定义：平面内的直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于该平面内任意一点M，点 M 到直线 l1、l 2 的距离分别为 a、b，则称有序非实数对（ a，b）是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是【 】A.2 B.1 C. 4 D.3【答案】C。【考点】新定义，点的坐标，点到直线的距离。【分析】画出两条相交直线，到 l1 的距离为 2 的直线有 2 条，到 l2 的距离为 3 的直线有 2条，看所画的这
3、些直线的交点有几个即为所求的点的个数：如图所示，所求的点有 4 个。故选 C。4. （2012 湖南长沙 3 分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I（A ）与电阻 R（ ）成反比例图表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为【 】ABCD2I=R3I=6I=R6I=R【答案】C。【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设 ，那么点（3，2）满足这个函数解析式，k=32=6。 。故选 C。kI= 6I=R5. （2012 湖南益阳 4 分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热
4、时间（t）变化的函数图象大致是【 】A B C D【答案】B。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据在一个标准大气压下水加热到 100后水温不会继续增加，而是保持 100不变，据此可以得到函数的图象。故选 B。6. （2012 贵州六盘水 3 分）定义：f（a，b）=（b，a） ，g（m，n）=（m，n） 例如f（2，3）= （3，2） ，g（1，4）=（1，4） 则 gf（ 5，6） 等于【 】A （6，5） B （5，6） C （6，5） D （5，6）【答案】A。【考点】新定义。【分析】根据新定义先求出 f（5，6） ，然后根据 g 的定义解答即可：根据定义，f（5，6）=（6，5
5、） ，gf（5，6）=g （6，5 ）=（6，5） 。故选 A。7. （2012 山东东营 3 分）根据下图所示程序计算函数值，若输入的 x 的值为 ，则输出52的函数值为【 】A B C D3225425254【答案】B。/ 33- 4 -【考点】新定义，求函数值。【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当 x= 时，在 2x452之间，所以将 x 的值代入对应的函数即可求得 y 的值： 。故选 B。1=x8. （2012 山东莱芜 3 分）对于非零的实数 a、b，规定 ab 若 2(2x 1)1，则1b 1ax【 】A B C D56 54 32 16【答案】A。【考点
6、】新定义，解分式方程。【分析】ab ，2(2x1) 1，2(2x1) 。1b 1a 1=2x 。3 5=x=63x1 6检验，合适。故选 A。9. （2012 广西钦州 3 分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y） ，若规定以下两种变换：f（x，y）= （y，x） 如 f（2，3）=（3，2） ；g（x，y）=（x，y） ，如 g（2，3）=（2，3） 按照以上变换有：f（g（2， 3） ）=f（2，3）= （3，2） ，那么 g（f（6，7） ）等于【 】A （7，6） B （7，6） C （7，6） D （7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行 f
7、 方式的变换，再进行 g 方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6） ，g（f（6，7） ）=g（7，6）=（7，6） 。故选C。10. （2012 甘肃兰州 4 分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y(单位N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm)之间的函数关系的大致图象是【 】A B C D【答案】C。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数 y 不变，出水面后 y 逐渐增大，离开水面后 y 不变。因为小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有
8、水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选 C。二、填空题1. （2012 陕西省 3 分）如图，从点 A（0，2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点B（4，3） ，则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 / 33- 6 -2. （2012 福建南平 3 分）设x）表示大于 x 的最小整数，如3 ）=4，1.2）=1，则下列结论中正确的是 （填写所有正确结论的序号）0）=0；x）x 的最小值是 0；x）x 的最大值是 0；存在实数 x，使x）x=0.5 成立【答案】。【考点】新定义，实数的运算。【分析】根据题意x）表示大于 x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答
9、案：0）=1，故结论错误；x）x0，但是取不到 0，故结论错误；x）x1 ，即最大值为 1，故结论错误；存在实数 x，使x）x=0.5 成立，例如 x=0.5 时，故结论正确。故答案为。3. （2012 福建泉州 4 分）在ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B） ，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P( ),( 为自然数).xl（1）如图，A=90，B=C ，当 BP=2PA 时，P （ ） 、P（ ）都是过点 P 的1l2lABC 的相似线（其中 BC， AC） ，此外还有 _条. 1l2l（2）
10、如图，C=90，B=30，当 时，P( )截得的三角形面积为BPAxlABC 面积的 . 4【答案】（1）1；（2） 或 或 。1234【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】 （1）如图， “相似线”还有一条，即与 BC 平行的直线 。3l（2）如图， “相似线”有三条： ， ， 。1l23lP( )截得的三角形面积为ABC 面积的 ，xl 14PBD，APE，FBP 和ABC 的相似比是 。2对于PBD，有 。BP1A2对于APE，有 ， 。12对于FBP，若点 F 在 BC 上，有 ，即BPFCABA=2BF。又在 RtBPF 中，B=30，则 。3cos
11、=F2。BP13A2F4若点 F 在 AC 上，有 ，即 BA=2FA。PAF1CB2又在 RtAPF 中，A=60，则 。PA1cos=2 。 。P1B2F434综上所述，当 或 或 时，P( )截得的三角形面积为 ABC 面Axl/ 33- 8 -积的 。144. （2012 湖北荆门 3 分）新定义：a，b 为一次函数 y=ax+b（a0，a，b 为实数）的“关联数”若“关联数”1，m2 的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 的解1+=m为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm 2， “关联数”1，m2的一次函数是正
12、比例函数，m 2=0，解得：m=2。则关于 x 的方程 即为 ，解得：x=3。1+=1+=x2检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x1）=40，故 x=3 是原分式方程的解。5. （2012 湖北荆州 3 分）新定义：a，b 为一次函数 y=ax+b（a0，a，b 为实数）的“关联数”若“关联数”1，m2 的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 的解1+=m为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm 2， “关联数”1，m2的一次函数是正比例函数，m 2=0，解得：m=2。则关于 x 的方程 即为 ，解得：x=3。1+=1+
13、=x2检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x1）=40 ，故 x=3 是原分式方程的解。6. （2012 湖南常德 3 分）规定用符号m表示一个实数 m 的整数部分，例如： 32=0，3.14=3。按此规定 的值为 。10【答案】4。【考点】新定义，估计无理数的大小。【分析】91016， 。 。310410+50)（3）如图，OAB 是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为2yxb(0)对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）等腰。（2）抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，2y=x+b(0)该抛物线
14、的顶点 满足 （b0） 。2b4， 2=b=2。（3）存在。如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形。当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 为矩形。又AO=AB， OAB 为等边三角形。作 AEOB ，垂足为 E， ，即 ， A3O2b=304b=23 。BCD0 - ， ， ， ， ， ， ，设过点 O、C、D 三点的抛物线 ，则2ymx+n，解得， 。12m3n=0=13所求抛物线的表达式为 。2yx+【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】 （1
15、）抛物线的顶点必在抛物线与 x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于 b0，那么其顶点在第一象限，而这个“ 抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出 b 的值。（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD，那么必须满足 OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用 b表示出 AE、 OE 的长，通过OAB 这个等边三角形来列等量关系求出 b的值，进而确定 A、B 的坐标，即可确定 C
16、、D 的坐标，利用待定系数即可求出过 O、C、D的抛物线的解析式。/ 33- 14 -3. （2012 浙江嘉兴、舟山 12 分）将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得ABC，即如图，我们将这种变换记为 ，n （1）如图，对ABC 作变换60， 得ABC，则 SABC ：S ABC = ；直线3BC 与直线 BC所夹的锐角为 度；（2）如图，ABC 中，BAC=30 ，ACB=90 ，对ABC 作变换，n 得ABC ，使点 B、C 、C在同一直线上，且四边形 ABBC为矩形，求 和 n 的值；（4）如图，ABC 中，AB=AC ，BAC=36 ，BC=l ，
17、对ABC 作变换，n得ABC，使点 B、C 、B 在同一直线上，且四边形 ABBC为平行四边形，求 和 n 的值【答案】解：（1） 3；60。（2）四边形 ABBC是矩形，BAC=90。=CAC= BAC BAC=9030=60 在 Rt AB B 中，ABB=90，BAB=60，ABB=30。AB=2 AB，即 。ABn=2（3）四边形 ABBC是平行四边形，AC BB 。又BAC=36，= CAC= ACB=72 。CAB=BAC=36。而B=B ，ABC BBA 。AB：BB=CB：AB。AB 2=CBBB=CB（BC+CB） 。而 CB=AC=AB=BC，BC=1，AB 2=1（1+A
18、B） ，解得，。15AB2AB0， 。BC1+5n=2【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含 300 角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方， 。【分析】 （1）根据题意得：ABCABC，S ABC ：S ABC = ，B=B。2AB3ANB=BNM，BMB=BAB=60。（2）由四边形 ABBC是矩形，可得BAC=90，然后由 =CAC=BAC-BAC，即可求得 的度数，又由含 30角的直角三角形的性质，即可求得 n 的值。（3）由四边形 ABBC是平行四边形，易求得 =CAC=ACB=72，又由ABCBBA，根据相似三角形的对应边成比例，易得
19、AB2=CBBB=CB（BC+CB ） ，继而求得答案。4. （2012 浙江台州 14 分）定义：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知 O(0，0) ， A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点 .（1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是_,当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离(即线段 AB 的长)为_（2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为d，求 d 关于 m 的函数解析式
20、 .（3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M.求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长;点 D 的坐标为(0，2)，m0，n0，作 MHx 轴,垂足为 H，是否存在 m 的值，使以A、M、H 为顶点的三角形与AOD 相似，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由./ 33- 16 -【答案】解：（1）2； 。5（2）点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，2m6。当 4m6 时，根据定义， d=AB=2。当 2m4 时，如图，过点 B 作 BEOA 于点 E，则根据定义，d=EB 。A(4， 0)，B(m，n)，AB=
21、2，EA=4m 。 222dEBA4的。81 。24dm6 （3）如图，由（2）知，当点 B 在O 的左半圆时，d=2 ，此时，点 M 是圆弧 M1M2，长 2；当点 B 从 B1 到 B3 时，d=2 ，此时，点 M 是线段 M1M3，长为 8；同理，当点 B 在O 的左半圆时，圆弧 M3M4 长 2；点 B 从 B2 到 B4 时，线段 M1M3=8。点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为 16+4。存在。如图，由 A(4，0) ，D(0，2), 得 。OD21A4（i）M 1H1=M2H2=2，只要 AH1=AH2=1, 就有AODM1H1A 和AODM 2H2A，此时 OH
22、1=5，OH 2=3。点 M 为线段 BC 的中点, BC=4，OH 1=5 时，m=3；OH 2=3 时，m=1。（ii）显然，当点 M3 与点 D 重合时，AOD AH 3M3，此时 m=2, 与题设 m0 不符。（iii）当点 M4 右侧圆弧上时，连接 FM4，其中点 F 是圆弧的圆心，坐标为（6，0） 。设 OH4=x, 则 FH4= x6。又 FM4=2，。22244MHF +132若AODA H2M2，则 ,即42Ax42=1+3,23x+80=解得 （不合题意，舍去） 。此时 m= 。120x=43， 43若AODM 2H2 A，则 ,即42Hx1=M2+,25x4+96=0解得
23、 （不合题意，舍去） 。124x=5，此时 ,点 M4 在圆弧的另一半上，不合题意，60舍去。综上所述，使以 A、M 、H 为顶点的三角形与AOD 相似的 m 的值为：m=1，m=3，m= 。 143【考点】新定义，点到直线的距离，两平行线间的距离，勾股定理，求函数关系式，图形的平移性质，相似三角形的判定和性质。/ 33- 18 -【分析】 （1）根据定义，当 m=2，n=2 时，线段 BC 与线段 OA 的距离是点 A 到 BC 的距离 2。当 m=5， n=2 时，线段 BC 与线段 OA 的距离(即线段 AB 的长) 可由勾股定理求出：。254+5（2）分 2m4 和 4m6 两种情况讨
24、论即可。（3）由（2）找出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形即可。由（2）分点 M 在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。5. （2012 浙江绍兴 10 分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心。应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求12APB 的度数。探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA的长。6. 1. （2012 江苏常州 7 分）平面上两
25、条直线 AB、CD 相交于点 O，且BOD=150 0（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点 O 的“距离坐标”为（0，0） ；（2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0） ；在直线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q） ；（3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p、q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q） 。设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n） ，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满足 m=1 且 n=0 的点的集合；/
26、 33- 20 -满足 m=n 的点的集合；（2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式。（说明：图中 OI 长为一个单位长）【答案】解：（1）如图 1 中，F 1，F 2 即为所求；如图 2 中，两条角平分线即为所求。（2）如图 3，过点 M 作 MHAB 于点 H。则根据定义，MH=m，MO=n。BOD=150 0，DOM=90 0（l CD） ， HOM=60 0。在 RtMHO 中， ，HsinOM ，即 ，即 。0msin632m3n m 与 n 所满足的关系式为 。 【考点】新定义，作图（复杂作图），含 300 角直角三角形的性质，
27、角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】 （1）以点 I 为圆心， OI 为半径画圆交 AB 于点 E；以点 O 为圆心，OE 为半径画圆交 CD 于点 F1，F 2，则 F1，F 2 即为所求。由作法知，OF 1=2OI=2，由BOD=150 0 知EOF 1=300，根据含 300 角直角三角形中 300 角所对边是斜边一半的性质，得点 F1 到 AB 的距离 m =1，同时点 F1 在 CD 上，即 n=0。同理，F 2 的证明。分别作BOD 和BOC 的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足 m=n，故两条角平分线即为所求。（2）
28、由已知和锐角三角函数定义即可得出 m 与 n 所满足的关系式。7. （2012 江苏无锡 8 分）对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，我们把|x 1x 2|+|y1y 2|叫做 P1、P 2 两点间的直角距离，记作 d（P 1，P 2） （1）已知 O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O ，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形；（2）设 P0（x 0，y 0）是一定点，Q（x，y）是直线 y=ax+b 上的动点，我们把 d（P 0，Q）的最小值叫做 P0 到直线 y
29、=ax+b 的直角距离试求点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示：（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x 2|+|x+1|，又x 可取一切实数，|x2|+|x+1| 表示数轴上实数 x 所对应的点到数2 和1 所对应的点的距离之和，其最小值为 3。点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离为 3。【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。【分析】 （1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。（2）根据新定义知 d（M，Q）=|x 2|
30、+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，然后/ 33- 22 -由绝对值与数轴的关系可知，|x2|+|x+1|表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和1 所对应的点的距离之和，其最小值为 3。8. （2012 江苏镇江 9 分）对于二次函数 和一次函数 ，把2y=3+y=x+4称为这两个函数的“ 再生二次函数 ”，其中 t 是不为零的实数，2y=tx3+1t2x4其图象记作抛物线 E。现有点 A（2，0）和抛物线 E 上的点 B（1，n） ，请完成下列任务：【尝试】（1）当 t=2 时，抛物线 的顶点坐标为 。2y=tx3+1t2x+4（2）判断点 A 是否在抛物线 E 上
31、；（3）求 n 的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于 t 取任何不为零的实数，抛物线 E 总过定点，坐标为 。【应用 1】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个2y=3x+52y=x3+y=2x+4“再生二次函数” 吗？如果是，求出 t 的值；如果不是，说明理由；【应用 2】以 AB 为边作矩形 ABCD，使得其中一个顶点落在 y 轴上，或抛物线 E 经过A、B、C 、D 其中的一点，求出所有符合条件的 t 的值。【答案】解：【尝试】 （1） （1，2） 。（2）点 A 在抛物线 E 上，理由如下：将 x=2 代入 得 y=0。2y=tx3+1t2x+4点 A 在抛物线 E 上。
32、（3）将（1，n）代入 得2tt。n=t1+32t+4=6【发现】A（2，0）和 B（1，6） 。【应用 1】不是。将 x=1 代入 ，得 ，2y=3x+5y=6二次函数 的图象不经过点 B。二次函数 不是二次函数 和一次函数2y3x52yx3+的一个 “再生二次函数 ”。y=2x+4【应用 2】如图，作矩形 ABC1D1 和 ABC2D2，过点 B作 BKy 轴于点 K，过点 D1 作 D1Gx 轴于点 G，过点 C2 作C2Hy 轴于点 H，过点 B 作 BMx 轴于点 M，C 2H 与 BM 相交于点 T。易得 AM=3，BM=6，BK=1，KBC 1NBA，则 ，即 ，得 。1CKAM
33、B136K2C 1（0， ） 。2易得KBC 1GAD 1，得 AG=1，GD 1= 。D 1（3， ） 。22易得OAD 2GAD 1，则 ，2GAO由 AG=1，OA=2，GD 1= 得 ，得 OD2=1。D 2（0，1） 。21D易得TBC 2 OD2A，得 TC2=AO=2，BT=OD 2=1。C 2（3，5） 。抛物线 E 总过定点 A、B，符合条件的三点只可能是 A、B、C 或A、B、D。当抛物线经过 A、B、C 1 时，将 C1（0， ）代入32得 ；2y=tx3+1t2x+45t=当抛物线经过 A、B、D 1 时，将 D1（3， ）代入2得 ；2ytx31t2x425t8/ 3
34、3- 24 -当抛物线经过 A、B、C 2 时，将 C2（3，5）代入得 ；2y=tx3+1t2x+41t=当抛物线经过 A、B、D 2 时，将 D2（0，1）代入得 。2tt5t满足条件的所有 t 值为 ， ， ， 。4825【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】 【尝试】 （1）当 t=2 时，抛物线为 ，抛物线的顶点坐标22y=x1为（1，2） 。（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。（3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，n）代入函数关系式 即可求得 n 的值。2y=tx+t2x+4【发现】由（1）可得。【应用 1
35、】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用 2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出 t 的值。9. （2012 福建厦门 10 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，3)、B(6，3) ，连结AB. 如果点 P在直线 yx1 上，且点 P 到直线 AB 的距离小于 1，那么称点 P 是线段 AB 的“邻近点”（1）判断点( ， ) 是否是线段 AB 的“邻近点” ，并说明理由；72 52（2）若点 Q (m，n)是线段 AB 的“邻近点” ，求 m 的取值范围【答案】解：（1）点( ， ) 是线段 AB 的“邻近点” 。理由如下：72 52 1 ，点( ，
36、 )在直线 yx1 上.。72 52 72 52点 A 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同， ABx 轴。( ， ) 到线段 AB 的距离是 3 。72 52 52 12 1，( ， )是线段 AB 的“邻近点” 。12 72 52（2）点 Q(m，n)是线段 AB 的“邻近点” ，点 Q(m，n)在直线 yx1上。 nm1。 当 m4 时， nm13。又 ABx 轴，此时点 Q(m，n) 到线段 AB 的距离是 n 3。0n31。4m5。 当 m4 时， nm13。又 ABx 轴， 此时点 Q(m，n) 到线段 AB 的距离是 3n。03n1。3m4。综上所述， 3m5。【考点】一次函数综合题，
37、新定义，直线上点的坐标与方程的关系，点到直线的距离。【分析】 （1）验证点( ， )满足“邻近点” 的条件即可。72 52（2）分 m4 和 m4 讨论即可。10. （2012 湖北宜昌 7 分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A ）是电阻R（）的反比例函数，其图象如图所示（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当 R=10 时，电流能是 4A 吗？为什么？【答案】解：（1）电流 I（ A）是电阻 R（ ）的反比例函数，设 I= （k0） 。kR/ 33- 26 -把（4，9）代入得：k=49=36。这个反比例函数的表达式 I= 。36R（2）当 R=10 时，I=3.64，电流不可
38、能是 4A。【考点】跨学科问题，反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）根据）电流 I（ A）是电阻 R（ ）的反比例函数，设出 I= （k0）后把kR（4，9）代入求得 k 值即可。（2）将 R=10 代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与 4 比较即可。11. （2012 湖北武汉 10 分）已知ABC 中，AB ，AC ，BC6255(1)如图 1，点 M 为 AB 的中点，在线段 AC 上取点 N，使 AMN 与ABC 相似，求线段 MN 的长；(2)如图 2，是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 1010 的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形
39、为格点三角形请你在所给的网格中画出格点A 1B1C1 与ABC 全等 (画出一个即可，不需证明)；试直接写出所给的网格中与ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)【答案】解：（1）如图 A，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，则AMNABC ，M 为 AB 中点，MN 是ABC 的中位线。BC6，MN=3。如图 B，过点 M 作AMN=ACB 交 AC 于点 N，则AMNACB ， 。MNABCBC=6，AC= ，AM= ， ，解得 MN= 。4556432综上所述，线段 MN 的长为 3 或 。2（2）如图所示：每条对角线处可作 4 个三角形与原三角形相似
40、，那么共有 8 个。12. （2012 湖北孝感 8 分）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 EFGH(1)这个中点四边形 EFGH 的形状是 ；(2)证明你的结论/ 33- 28 -【答案】解：（1）平行四边形（2）证明：连接 AC，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFAC ，EF= AC。12同理 HGAC，HG= AC。 EFHG，EF=HG 。四边形 EFGH 是平行四边形。【考点】新定义，三角形中位线定理，平行四边形的判定。【分析】
41、（1）根据四边形的形状及三角形中位线的性质可判断出四边形 EFGH 是平行四边形。（2）连接 AC、利用三角形的中位线定理可得出 HG=EF、EFGH，从而可判断出四边形 EFGH 的形状。13. （2012 湖南张家界 8 分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是abcd =adbc例如： =1423= 2， =（2）543=22abcd1 2341 435（1）按照这个规定，请你计算 的值；5678（2）按照这个规定，请你计算：当 x24x+4=0 时， 的值x+123 【答案】解：（1） =5876=2。5678 （2）由 x24x+4=0 得（x2） 2=4，x=2。 =31
42、 41=1。+134= 1【考点】新定义，实数的运算，解一元二次方程。【分析】 （1）根据符号 的意义得到abcd5876，再进行实数的运算即可。（2）解方程 x24x+4=0 得 x=2，代入 ，然后根据符号 的意义得x+123abcd 到 3141，再进行实数的运算。14. （2012 湖南郴州 10 分）阅读下列材料：我们知道，一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，而 y=kx+b 经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式： Ax+Bx+C=0（A、B、C 是常数，且 A、B 不同时为 0） 如图 1，点 P（m ，n）到直线 l：Ax+By+C=0 的距离（d）计算公式是：d= 2m
43、nC例：求点 P（1，2）到直线 的距离 d 时，先将 化为5yx125yx125x12y2=0，再由上述距离公式求得 d= 21 =3解答下列问题：如图 2，已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线4y3上的一点 M（3，2） yx45（1）求点 M 到直线 AB 的距离（2）抛物线上是否存在点 P，使得PAB 的面积最小？若存在，求出点 P 的坐标及PAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）将 化为 4x3y12=0，由上述距离公式得：4yx3/ 33- 30 -d= 。243130 =65点 M 到直线 AB 的距离为 6。（2）存在。设 P（x，
44、），则点 P 到直线 AB 的距离为：245d= 。231 由图象，知点 P 到直线 AB 的距离最小时 x0， 0，24x5d= 。224x35138+7313 =+54当 时，d 最小，为 。=当 时， ，P（ ， ）。4x322413x5=5=394139又在 中，令 x=0，则 y=4。B（0，4）。y令 y=0，则 x=3。A（3，0）。AB= =5。24PAB 面积的最小值为 。1365=2【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）按例求解即可。（2）用二次函数的最值，求出点 P 到直线 AB 的距离最小值，即可求出答案。15. （2012 湖南张家界 8 分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是abcd =adbc例如： =1423= 2， =（2）543=22abcd1 2341 435（1）按照这个规定，请你计算 的值；5678（2）按照这个规定，请你计算：当 x24x+4=0 时， 的值x+123
