1、学优中考网 第 12 章 轴对称(第五课时)等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质，利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.点击一: 等腰三角形性质性质 1 两个底角相等(简写为 “等边对等角”)性质 2 底边的中线、高及顶角平分线三线合一.性质 3 等边三角形各内角都等于 60.点击二: 等腰三角形判定定理若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.推论 1 三个角相等的三角形是等边三角形.推论 2 有一个角是 60的
2、等腰三角形是等边三角形.推论 3 直角三角形中，若有一个锐角为 30，则该角所对的直角边为斜边的一半.点击三：辅助线(一)为什么要添线解证几何题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探究新的、未知结果，一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化，实现这一转化，要具体问题具体分析，而添设辅助线，正是创造转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁.(二)添辅助线的目的总目的在于沟通解题思路，创设由已知条件向所求结论过渡的条件，不可生硬 地机械照搬，而是随着解题思路而展开，某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去
3、添线，这正是理解添设辅助线方法的精髓.(三)添线的原则、手段(1)化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知的有关几何元素相对集中到同一个或几个相关基本几何图形中去，使之产生联系.(2)化整体为部分，就是通过添线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问题化繁为简.(3)化不规则为规则，即通过添线将不规则几何图形化为规则几何图形，使问题化难为易.添线的常用手段是平移、旋转、对称、截取、延长等.类型之一:证明型例 1 求证：等腰三角形两腰的中线相等。学优中考网 【解析】要证 BD=CE，可考虑证ABD ACE，而A 为公共角，AB=AC，所以只需证明 AD=AE 即能达到证明目的.【解答】
4、已知：ABC 中 AB=AC，BD、CE 为中线，求证 BD=CE.证明：AB=AC, AE=EB, AD=DCAE=AD.在ABD 和 ACE 中，AB=AC ，A=A AD=AEABDACE BD=CE.类型之二:运用等腰三角形的性质与方程综合求角的度数例 2等腰三角形一个外角为 100,求三内角度数.【解析】本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解.【解答】等腰三角形两底角相等，设顶角为 x，底角为 y，则 x+2y=180(1)当顶角的外角为 100时，顶角的外角等于两底角之和2y=1
5、00求得 508y(2)当底角的外角为 100时，底角 y=180-100=80求得 802yx三内角为 80,50,50或 20，80，80类型之三:比较角的大小例 3ABC 中，AC AB.求证：BC.【解析】本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大，(简写为“大边对大角”)这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系.【解答】证明： ACAB 在 AC 上取 AD=AB，连 BD，ADBC.且ABD=ADB 又ABCABD ABCC.学优中考网 1等腰三角形的一个内角是 80，求它的另外两个角.【解析】用分类讨论的思想方法来思考
6、本题.若顶角是 80，则设底角为 ，由三角形内角和得 2 80=180，=50.若底角是 80则设项角为 ，由三角形内角和得280 =180，=20.【答案】若顶角是 80，设底角为 ，则有280=180，=50.若底角是 80，设顶角为 ，则有802 =180，=20。这个等腰三角形的另外两个角是 50，50或 80，20.2. 等腰三角形的底角与顶角的度数之比为 21，则顶角为( )A.72 B.36 C.36或 72 D.18【解析】设顶角为 ，则底角为 2，由三角形的内角和可知， 22=180，5=180，=36，这个三角形的顶角为 36，故正确答案为 B 项.【答案】B3等腰三角形一
7、边长为 8，另一边长为 4，则它的周长为 _.【解析】题中给出等腰三角形的两边长分别是 8 和 4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：若腰是 8，底是 4，则另一腰是 8，有 4 88，满足三角形三边关系，82+4=20；若腰是 4，底是 8，则另一腰是 4，有 4+4=8，不满足三角形三边关系，这种情况不存在.这个三角形的周长为 20.【答案】204. ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD=CE，DE 交 BC 于 P，求证：DP=EP.【解析】构造等腰三角形及全等三角形，利用它们的性质及判定来证明线段相等.是本题的基本思路，设法构造一
8、个与PCE 全等的三角形(或与BDP 全等的三角形)，并使 DP 与PE 成为对应边，是着手证本题的基本考虑.【答案】证明：过 D 作 DFAC 交 BC 于 F,FDP=E DFB=ACB学优中考网 AB=AC，B= ACB=DFB.BD=DF 又 BD=CE，DF=CEDFPECP（AAS ）DP=PE1周长为 21，边长都为整数的等腰三角形共有( )A.4 个 B.5 个 C.8 个 D.10 个【解析】设底边为 x,腰长为 y，x+2y=21.2y 为偶数，21 为奇数 x 为奇数.又三角形两边之和大于第三边 x2y.x+2y2x 2x21 x10.5.x 为奇数 x=1，3，5，7，
9、8 共 5 个 注 x=7 时，y=7 为等边三角形，属特殊等腰三角形.【答案】B2如图，D、E 在ABC 的边 BC 上，且 AD=AE=BD=DE=EC.则BAC 是EAC 的几倍？【解析】从等边ADE 入手，得 ADE= AED=60,再利用ABD 和AEC 为等腰三角形，且顶角的外角ADE=AED=60 .求出EAC 再求BAC.【解答】 AD=AE=DE ADE 为等边三角形ADE=AED=DAE=60 又 AE=EC，AD=DBBAD=B= ADE=30EAC=C= AED=302121BAC=120 BAC 是EAC 的 4 倍.3如图，MB=2MA，MC=BC，1=2，求证 M
10、AAC.【解析】利用 MB=2MA，可考虑取 MB 中点 D，利用等腰三角形性质.可知 CDMB,再利用三角形全等证A=MDC=90 .【解答】证明：作MCB 的中线 CD.MB=2MA MA=MD又1=2 MC=MC MACMDC. A=MDC学优中考网 又 MC=BC，CD 为MCB 中线 CDMB CDM=90A=90 MAAC.1. 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，DA=DB，DBP=DBC.BP=BC，求P 的度数.【解析】正三角形内角为 60，可考虑将P 与三角形内角进行联系，借用内角 60以达解题目的，连 DC 后易得PBDCBD，从而将求P 转化为求DCB.【解答】连 D
11、C BP=BC PBD= CBD BD=BDPBD CBD.P=DCB. 又 BD=AD CD=CD AC=BCBCDACD BCD=ACD= ACB= 60=3021 P=302ABC 中 AB=AC，P 为形内一点，且 PBPC.如图, 求证APCAPB 。【解析】这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与形内一点相关的问题.常利用适当的旋转.使等边重合.将该点与三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解决问题.【解答】AB=AC 将ABP 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合得APC，连 PP由作图ABPACPAP=AP，BP=CP1=2 APB=AP C.
12、PC=BPPC.在PPC 中，PCPC 34 1+34+2.APC APC APCAPB.课时作业：学优中考网 A 等级1 在等腰三角形中，顶角的平分线与底边的关系是_。2 等腰三角形的两底角的平分线_；等腰三角形底边的中点到两腰的距离之比为_3 若等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，则其周长为_；若等腰三角形的两边长分别为 m 和 n，且 m2n，则其周长为_4 等腰三角形有一底角的外角为 105o，那么它的顶角的度数为（ ）A30 o B40 o C45 o D60 o5 已知 D 是ABC 的边 BC 上一点，且 AB=AC=BD，那么ADB 和CAD 的关系为（ ）AADB=2 CA
13、D B2ADB+CAD=180 o CADB+2CAD=180 o D3ADB CAD=180 o6 等腰三角形中的一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A顶角的一半 B底角的一半C90 o 减去顶角的一半 D90 o 减去底角的一半7 在等腰三角形中，如果一腰上的高等于腰长的一半，那么其顶角的度数为_8 在ABC 中，AB=AC，BAC=120 o，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，且 BD=5cm，则 DC=_.9 在ABC 中，A=80 o，点 D,E,F 分别在边 BC,AB,AC 上, BD=BE，CD=CF ，则EDF 的度数为_.10 如图，在ABC 中， AB=AC，A=30
14、o，BE=CD，BD=CF，则 EDF 的度数为（ ）A80 o B75 o C65 o D60 oB 等级11. 在 ABC 中，ABC=2ACB ，BD 平分ABC，AD BC，如图，则图中等腰三角形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个12. 如图， ABC 中，B 与C 的平分线相交于 O 点，过 O 点作 MNBC 交 AB。AC学优中考网 分别于 M、N，若 AB=12，AC=18，BC=24 ，则AMN 的周长为（ ）A30 B36 C 39 D4213D 为等边三角形 ABC 边 AC 上一点，ACE=ABD，CE=BD.则ADE 是( )A.钝角三角形 B.直角
15、三角形C.任意等腰三角形 D.等边三角形14AD 为ABC 的角平分线，AB+BD=AC，则B C 值为( )A.21 B.31 C.41 D.5115ABC 中，A= C=55,形内一点 P 使PAC=PCA，则ABP 为( )A.30 B.35 C.40 D.4516ABC 中，AB=AC， BAC=120,D 为 BC 上一点，DAAB，AD=24 则 BC=( )A.24 B.36 C.72 D.9617等腰直角三角形斜边长为 a，则面积为( )A. a2 B. a2 C.a2 D.2a241118如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是( )A.等边三角形
16、 B.等腰三角形C.直角三角形 D.斜三角形19ABC 中C=2B，则( )A.AB2AC B.AB=2ACC.AB2AC D.AB 与 2AC 关系不确定.20如图,ABC 中 AB=AC， A=36,BD、CE 为角平分线，交于 O，则图中等腰三角形共有( )A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个学优中考网 C 等级21三角形一个外角平分线平行三角形一边，则这个三角形是 .22等腰三角形一个外角为 130，则顶角为 .23三内角都相等的三角形是 三角形，每个内角都等于 .24ABC 中，AB=5 ，AC=7，B ，C 的平分线交于 O，直线 MN 过 O 点交 AB 于M，AC
17、于 N，若 MNBC，则AMN 周长为 .25ABC 中，高 AD、BE 交于 H,且 BH=AC，则ABC= .26ABC 中，C=2B，AC=4，则 AB 的取值范围 AB .271.ABC 中，AB=AC， A=20,D 为 AB 上一点，且 AD=BC，求BDC.28ABC 中，AB=AC，BD、CE 为角平分线，AHCE 于 F 交 BC 于 H，AG BD 于 G.求证(1)AC=CH (2)AF=AG.29AD 为ABC 的角平分线，M 为 BC 中点，MEAD 交 BA 延长线于 E，交 AC 于 F.求证 BE=CF= (AB+AC)2130Rt ABC 中，AC=BC，D
18、为形内一点，满足DCB=DBC=15 .求证 AC=AD.A 等级答案 1垂直且平分底边2相等，1：1316 或 17 ，m+2n4A5D6A71.30 o 或 150 o 810cm95010BB 等级答案11D12A13D 14A15B16C17A18B19A20C学优中考网 C 等级答案21等腰三角形 2250或 8023等边，6024122538 7.45264AB827作正ACE A=20 连 DE DAE= B=80 AD=BC AE=ABABCEAD DE=AC=CE，AED=A=20 DEC=40 DCE=70DCA=10 BDC=3028AHCF CF 平分ACH ACH 为
19、等腰三角形 AC=CH.AB=AC ABC=ACB BD,CE 为角平分线 ABD=ACE= 21ABC= ACB Rt AGB RtAFC AG=AF2129延长 EM 到 G，使 MG=MF，连 BG，则BMGCMF BG=FC ，G=CFM又 AD 平分BAC ADME, E=BAD=DAC=MFC=G. BE=BG=FC2BG=AB+AE+CF=AB+AF+CF=AB+AC BE=CF= (AB+AC)2130在ACD 内作正CDP.连 AP，DCB=15 PCD=60 ACP=DCB=15 PC=CD BC=AC ACP BCD CAP=DBC=15 APC=150 CPD=60 APD=150 APC=APD PA=PA PC=PDPAC PAD AC=AD学优中考网 学优 中考#，网
