1、 / 24- 1 -专题 32：图形的镶嵌与图形的设计一、选择题1. （2012 安徽省 4 分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】A.10 B. C. 10 或 D.10 或5454172【答案】C。【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：如左图： ，点 E 是斜边 AB 的中点，AB=2CE=10
2、 。22CED4+3=5如右图： ，点 E 是斜边 AB 的中点， AB=2CE=22CED4+=5。45因此，原直角三角形纸片的斜边长是 10 或 。故选 C。452. 7. （2012 四川广元 3 分）下面的四个图案中，既可以用旋转来分析整个图案的形成过程，又可以用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有【 】A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【答案】A。【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。【分析】根据旋转、轴对称的定义来分析，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合
3、，就是轴对称图形 1、图形 4 可以旋转 90得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 2、图形 3 可以旋转 180得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 4个。故选 A。3. （2012 贵州铜仁 4 分）如图，第个图形中一共有 1 个平行四边形，第个图形中一共有 5 个平行四边形，第个图形中一共有 11 个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是【 】/ 24- 3 -A54 B110 C19 D109【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类） 。【分析】寻找规律：第个
4、图形中有 1 个平行四边形；第个图形中有 1+4=5 个平行四边形；第个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形；第个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形；第 n 个图形中有 1+2（2+3+4+n）个平行四边形；则第个图形中有 1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109 个平行四边形。故选 D。4. （2012 山东济宁 3 分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是【 】A12 厘米 B16 厘米 C20 厘米 D28 厘米5. （2012 山东枣庄 3 分）如图，从边
5、长为( )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a4）cm 的正方形（ ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙) ，则矩a1a0形的面积为【 】A B C D22(a5)cm2(3a15)cm2(6a9)cm2(6a15)cm【答案】D。【考点】图形的剪拼。【分析】从图中可知，矩形的长是两个正方形边长的和 ，宽是两个正方形边长的差2a53，因此矩形的面积为 。故选 D。2(6a15)cm6. （2012 山东潍坊 3 分）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形，白棋的 5 个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确
6、的是【 】 说明：棋子的位置用数对表示，如 A 点在(6，3)/ 24- 5 -A黑(3，7) ；白 (5，3) B黑(4，7)；白(6 ，2)C黑(2，7)；白(5，3) D黑(3，7)；白(2 ，6)【答案】C。【考点】利用轴对称设计图案。【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：A、若放入黑（3，7） ，白（ 5，3） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；B、若放入黑（4，7） ；白（6 ，2） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；C、若放入黑（2，7） ；白（5 ，3） ，则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；D、若放入
7、黑（3，7） ；白（ 6，2） ，则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。故选 C。7. （2012 广西贵港 3 分）如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是【 】A正三角形 B正四边形 C正六边形 D正八边形【答案】D。【考点】平面镶嵌（密铺） ，多边形内角和定理。【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除 360即可作出判断：A正三角形的一个内角度数为 180360360 ，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B正四边形的一个内角度数为 180360490，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C正六边形的一个内
8、角度数为 1803606120，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D正八边形的一个内角度数为 1803608135 ，不是 360的约数，不能镶嵌平面，符合题意。故选 D。二、填空题1. （2012 四川成都 4 分）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm ，AD=6cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；第
9、三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm【答案】20；12+ 。413【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。/ 24- 7 -【分析】画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2 的示意图，如答图 1 所示。图中，N 1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M
10、2H=2（GM+MH ）=2GH=BC（三角形中位线定理） 。又M 1M2N 1N2，四边形 M1N1N2M2 是一个平行四边形，其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6 为定值，四边形的周长取决于 MN 的大小。如答图 2 所示，是剪拼之前的完整示意图。过 G、H 点作 BC 边的平行线，分别交 AB、CD 于 P 点、Q 点，则四边形PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD 的一半。M 是线段 PQ 上的任意一点，N 是线段 BC 上的任意一点，根据垂线段最短，得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离，即MN 最小值为 4；而 MN 的最大值等于矩形
11、对角线的长度，即 。22PBC4613四边形 M1N1N2M2 的周长=2BC+2MN=12+2MN ，四边形 M1N1N2M2 周长的最小值为 12+24=20；最大值为 12+2 =12+。4132. （2012 贵州遵义 4 分）在 44 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种【答案】8。【考点】利用轴对称设计图案。【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案。如图所示：故一共有 8 种做法。三、解答题1. （2012 山西省 6 分）实践与操作：如图 1 是以正
12、方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图 2 是以图 1 为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形（1）请你仿照图 1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆） ，在图 3 中重新设计一个不同的轴对称图形（2）以你在图 3 中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图 4 中拼成一个中心对称图形【答案】解：（1）在图 3 中设计出符合题目要求的图形： （2）在图 4 中画出符合题目要求的图形：/ 24- 9 -【考点】利用轴对称和旋转设计图案。【分析】此题为开放性试题，答案不唯一。（1）根据轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合作出图形。（2）根据中心对称图形是图形沿对称中心旋
13、转 180 度后与原图重合作出图形。2. （2012 四川广安 8 分）现有一块等腰三角形板，量得周长为 32cm，底比一腰多 2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和【答案】解：如图，等腰三角形的周长为 32cm，底比一腰多 2cm，AB=AC=10，BD=CD=6，AD=8。拼成的各种四边形如下：矩形：BD=10，四边形的两条对角线长的和是 102=20。平行四边形 1：连接 AC，过点 C 作 CEAB 的延长线于点 E， ，22AC=E+1843四边形的两条对角线长的和是 AC+BD= +8。
14、1平行四边形 2：连接 BD，过点 D 作 DEBC 的延长线于点 E， ，22B=E+1673四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+ 。273铮形：连接 BD交 AB 于点 O。易知，ADB DOB。 ，即 。 BO=4.8。BDA6810BD=2BO=24.8=9.6，四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6 。【考点】图形的剪拼，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和。3. （2012 辽宁鞍山 8 分）
15、如图，某社区有一矩形广场 ABCD，在边 AB 上的 M 点和边 BC上的 N 点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在 BD 上（点 B 除外）选一点P 再种一棵景观树，使得MPN=90，请在图中利用尺规作图画出点 P 的位置（要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹） / 24- 11 -【答案】解：如图所示：点 P 即为所求。【考点】作图（应用与设计作图） ，线段垂直平分线的性质，圆周角定理。【分析】首先连接 MN，作 MN 的垂直平分线交 MN 于 O，以 O 为圆心， MN 长为半径12画圆，交 BD 于点 P，点 P 即为所求4. （2012 贵州遵义 4 分）如图，
16、将边长为 cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动（不2滑动） ，当正方形连续翻动 6 次后，正方形的中心 O 经过的路线长是 cm （结果保留 ）5. （2012 贵州铜仁 5 分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A、B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半，A、B、C 的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置， （要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）【答案】解：作图如下：M 即为所求。【考点】作图（应用与设计作图） 。【分析】连接 AB，作出线段
17、AB 的垂直平分线，在矩形中标出点 M 的位置（以点 C 为圆心， AB 长为半径画弧交 AB 的垂直平分线于点 M） 。12/ 24- 13 -6. （2012 山东德州 8 分）有公路 l1 同侧、l 2 异侧的两个城镇 A，B ，如下图电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l 2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置 （保留作图痕迹，不要求写出画法）【答案】解：作图如下：C 1， C2 就是所求的位置。【考点】作图（应用与设计作图） 。【分析】根据题意知道，点
18、 C 应满足两个条件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 C 应是它们的交点。（1）作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE；（2）作线段 AB 的垂直平分线 FG。则射线 OD，OE 与直线 FG 的交点 C1，C 2 就是所求的位置。7. （2012 山东济宁 5 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，过点 D 作DEAB，DF AC，分别交 AC、AB 于点 E 和 F（1）在图中画出线段 DE 和 DF；（2）连接 EF，则线段 AD 和 EF 互相垂直平分，这是为什么？【答案】解：（1）如图所示；（2）DEAB，DFAC ，四边形 AEDF 是平行四
19、边形。AD 是ABC 的角平分线，FAD=EAD。ABDE，FAD=EDA。EAD=EDA 。EA=ED。平行四边形 AEDF 是菱形。AD 与 EF 互相垂直平分。【考点】作图（复杂作图） ，平行的性质，菱形的判定和性质。【分析】 （1）根据题目要求画出线段 DE、DF 即可。（2）首先证明四边形 AEDF 是平行四边形，再证明EAD=EDA ，根据等角对等边可得 EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形 AEDF 是菱形，再根据菱形的性质可得线段 AD 和 EF 互相垂直平分。8. （2012 广西桂林 8 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为 A(1，3) 、B(4，2)
20、、C(2，1)(1)作出与ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1，并写出 A1、B 1、C 1 的坐标；(2)以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出A 2B2C2，使 2/ 24- 15 -【答案】解：（1）ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，如图所示：A1（1，3） ，B 1（4，2） ，C 1（2，1） 。（2）根据 A（1，3） 、B（4，2） 、C（2，1） ，以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出 A 2B2C2，使 ，21则 A2（2，6） ，B 2（8，4） ，C 2（4，2） 。在坐标系中找出各点并连接，如图所示：【考点】作图（轴对称变换和位似变换） 。【分析
21、】 （1）根据坐标系找出点 A、B、C 关于 x 轴对应点 A1、B 1、C 1 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1、B 1、C 1 的坐标即可。（2）利用在原点的另一侧画出A 2B2C2，使 ，原三角形的各顶点坐标2都乘以2 得出对应点的坐标即可得出图形。9. （2012 江西南昌 5 分）如图，有两个边长为 2 的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，用这三个图片分别在网格备用图的基础上（只要再补出两个等腰直角三角形即可） ，分别拼出一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形【答案】解：如图所示，【考点】作图（应用与设计作图），网格问题
22、。【分析】拼接三角形，让直角边与正方形的边重合，斜边在同一直线上即可；拼接四边形，可以把两个直角三角形重新拼接成正方形，也可以拼接成等腰梯形，或平行四边形；拼接五边形，只要让两个直角三角形拼接后多出一边即可；拼接六边形，只要让拼接后的图形多出两条边即可。还可以有如下拼接（答案不唯一）：/ 24- 17 -10. （2012 吉林长春 6 分）图、图均为 44 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在网点上按要求在图、图中以 AB 和 BC 为边各画一个四边形 ABCD要求：四边形 ABCD 的顶点 D 在格点上，且有两个角相等（一组或两组角相等均可） ；所画的两个四边形不全等【答案】解：作图
23、如下：【考点】作图（应用与设计作图） ，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】过 C 画 AB 的平行线，过 A 画 BC 的平行线，两线交于一点 D，根据平行四边形的判定定理可得四边形 ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质可知CBA=CDA，BAD= BCD。在网格内画 CD=CB，AD=AB，则BCD 和BAD 是等腰三角形，故CDB=CBD，ADB=ABD ，由此可得CDA=CBA。11. （2012 吉林省 7 分）在平面直角坐标系中，点 A 关于 y 轴的对称点为点 B，点 A 关于原点 O 的对称点为点 C（1）若 A 点的坐标为（1， 2），请你在给出的坐
24、标系中画出ABC设 AB 与 y 轴的交点为 D，则=_;OABCS（2）若点 A 的坐标为（a，b） （ab0） ，则ABC 的形状为 _.【答案】解：（1）画图如下：。14（2）直角三角形。/ 24- 19 -12. （2012 黑龙江绥化 6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的顶点均在格点上，O、M 也在格点上（1）画出ABC 关于直线 OM 对称的A 1B1C1；（2）画出ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90后所得的A 2B2C2；（3）A 1B1C1 与A 2B2C2 组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，
25、请画出对称轴【答案】解：（1）如图所示，A 1B1C1 即为所求。（2）如图所示，A 2B2C2 即为所求。（3）如图所示，OC、A 1 A2 即为所求。【考点】作图（旋转和轴对称变换） 。【分析】 （1）根据轴对称的性质，作出各对应点即可得出图象。（2）将 A，B，C，沿点 O 顺时针旋转 90 度即可得出对应点，画出图象即可；（3）利用轴对称图形性质，画出对称轴即可。13. （2012 黑龙江哈尔滨 6 分）图 l、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1点 A 和点 B 在小正方形的顶点上（1）在图 1 中画出ABC(点 C 在小正方形的顶点上)，使
26、ABC 为直角三角形(画一个 即可)；（2）在图 2 中画出ABD(点 D 在小正方形的顶点上) ，使ABD 为等腰三角形( 画一个即可)；【答案】解：（1）如图 1、2，画一个即可：（2）如图 3、4，画一个即可：【考点】网格问题，作图（应用与设计作图） 。【分析】 （1）利用网格结构，过点 A 的竖直线与过点 B 的水平线相交于点 C，连接即可，或过点 A 的水平线与过点 B 的竖直线相交于点 C，连接即可。/ 24- 21 -（2）根据网格结构，作出 BD=AB 或 AB=AD，连接即可。14. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边
27、形，如图，在一个 9 X 9 的正方形网格中有一个格点 ABC设网格中小正方形的边长为 l 个单位长度(1)在网格中画出ABC 向上平移 4 个单位后得到的A lBlCl(2)在网格中画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 900 后得到的 AB 2C2(3)在(1)中ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域的面积【答案】解：（1） 、 （2）如图所示：（3）ABC 向上平移 4 个单位后得到的A 1B1C1， ABC 向上平移过程中，边 AC 所扫过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形， 边 AC 所扫过区域的面积=42=8。【考点】作图（旋转和平移变换） ，平行四边形的判定和性质
28、。【分析】 （1）根据图形平移的性质画出平移后的A 1B1C1 即可。（2）根据图形旋转的性质画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 90后得到的AB 2C2。（3）根据ABC 向上平移 4 个单位后得到的A 1B1C1， ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。15. （2012 黑龙江龙东地区 6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将ABC 向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度，画出两次平移后的A1B1C1;
29、（2）写出 A1、C 1 的坐标；（3）将A 1B1C1 绕 C1 逆时针旋转 90，画出旋转后的 A2B2C1，求线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积(结果保留 )。【答案】解：（1）两次平移后的A 1B1C1 如图所示：（2）由A 1B1C1 在坐标系中的位置可知， A1（0，2） ；C 1（2，0） 。（3）旋转后的图形如图所示：/ 24- 23 -由勾股定理可知， ，21BC417。29017S 364形线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积为 。174【考点】作图（旋转和平移变换） ，扇形面积的计算。【分析】 （1）根据图形平移的性质画出两次平移后的A 1B1C1 即可。（2）根据A
30、1B1C1 在坐标系中的位置写出 A1、C 1 的坐标；（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的A 2B2C1，再根据勾股定理求出 B1C1 的长，由扇形的面积公式即可计算出线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积。16. （2012 黑龙江牡丹江 6 分）已知一个等腰三角形的腰长为 5，底边长为 8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线【答案】解：能拼成 3 种平行四边形，如图：图 1 中，对角线的长为 5；图 2 中，对角线的长为 3 和 ；7图 3 中，对角线的长为 4 和 21【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】根据平行四边形的性质拼图。图 1 中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图 2 中，一条对角线的长为 3，另一条对角线的长为 ；图 2 中，一条对角23+8=7线的长为 3，另一条对角线的长为 。24+6=513
