1、16:25,CAD与有限元分析,16:25,有限元法及其应用,有限元法（有限单元法、有限元素法） 求解复杂工程问题的一种近似数值分析方法,16:25,有限元网格生成技术,将物体离散成有限个简单单元的组合 是有限元法的主要瓶颈 自动和交互方法,16:25,有限元网格的要求,单元类型： 二维：三角形、四边形 三维：四面体、五面体、六面体 基本要求： 几何逼近 单元合法 密度合理 拓扑相容,16:25,16:25,结构化网格、非结构化网格,16:25,二维网格生成技术,拓扑分解法 节点连元法 网格模板法 映射法 几何分解法 Delaunay法,16:25,映射法,手工划分为简单区域 建立网格模板（参
2、数空间相应的单位正子单元的网格） 网格模板到欧氏空间中子区域的映射 网格剖分、相容,16:25,优点：算法速度快；算法简单； 单元质量好； 密度可以控制； 可生成多种类型的单元； 可以生成结构化网格和非结构化网格。易于实现，网格规整 缺点：手动划分区域、不规则形状不适用 不能满足对网格疏密过渡的要求,16:25,拓扑分解法,根据实体元素的拓扑关系，通过连接相应的顶点将多边形分解成一系列的粗糙的三角形 细化,16:25,对于复杂形状，首先将区域的洞切开，形成单连通域；然后每次切下一个三角形；直到最后只有三个顶点 原理简单，对剖分实体的拓扑结构依赖强,16:25,节点连元法,首先在边界和区域内布节
3、点，然后按照一定规则生成单元 节点生成： 自动 人工,16:25,节点生成： 随机法：边界等距生成；内部区域分成一系列的子区域，随机在子区域插入节点； 扫描线法：,16:25,单元生成 夹角最大 Delaunay法：最小角和最大；外接圆准则 基线法 Watson法 Lawson法,16:25,几何分解法,1）区域递归细分法 分解成凸区域 对每个区域，在边界插入节点 在区域的“最长轴”的中点处加一个分割线划分区域，在分割线上布节点 递归划分两个子区域，直到所得部分均为三角形,16:25,2）单元迭代移去法 跟踪算法 划分边界 从边界移去一个三角形,16:25,网格前沿法 划分边界 边界向内部移动
4、，形成一组单元,16:25,波前法的优点： 节点和单元同时生成，从而可以控制单元形状和尺寸，取得高质量的网格单元，有利于网格的局部加密和网格过渡； 在新生成单元时，要进行大量的相交判断、包含判断，从而进一步的保证了网格单元的质量。,16:25,铺砌法,基本思想是：根据所要划分的网格的密度和大小形成初始化边界节点，这些节点形成一条双向链表。外铺砌边界的节点按逆时针方向排列，内铺砌边界的节点按顺时针方向排列，外边界向里一层层铺砌，内边界向外一层层铺砌，铺砌边界一层层更新，直到铺砌边界只剩六个节点，就对六节点封闭环进行封闭处理,16:25,16:25,铺砌法的优点： 所有网格基本上都是四边形；边界敏
5、感性。由于铺砌法是从边界开始铺砌的，能保证所生成的网格绝对通过边界的节点； 网格的尺寸转化容易。使用这种方法可以容易地改变网格单元尺寸的大小； 方向无关性。旋转和平移对于网格生成的结果没有影响。,16:25,基于栅格法,1）正则栅格法 用正则栅格覆盖区域，删除区域外单元，调整相交单元 2）四叉树法 正方形包围盒 四分包围盒，判断子区域与物体的关系，决定是否继续四分子包围盒 处理相交的小包围盒，逼近物体边界,16:25,16:25,优点： 适用于任何复杂的二维和三维域网格生成； 几何适应性强； 网格密度便于控制。 缺点： 生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格单元密集的地方，其网格质量欠
6、佳； 模型内部有少量大网格单元存在，内部网格和边界网格相容性的问题需要解决； 边界网格质量差。,16:25,三维曲面网格生成,与二维类似,16:25,曲面网格品质评价标准,网格的质量评价应该同时考虑结点、单元和整个曲面网格的质量。结点内角大于150小于2250；每个结点周围的单元数为3或4为宜，若大于6为不规则结点。单元网格质量直接反映单元质量的好坏程度，三角形的质量可以用变形因子值(面积与三边平方和之比)来衡量：,16:25,16:25,基于三角形的变形因子，可以定义四边形的形状参数。一个四边形沿着两条对角线可分为四个三角形，设这四个三角形分别对应四个值，1234,则四边形的变形因子可定义为
7、：,16:25,值越大，表明四边形质量越好。凹四边形的值小于0，凸四边形的值在0与1之间，矩形的值为最大1，当四边形退化为三角形时为0。当一个三角形与其相邻的三角形合并为四边形时，按值最大原则进行。,16:25,16:25,锥度（Taper）,它反映四边形网格单元由两对角线形成的四个三角形面积的差异程度,16:25,翘曲度（Warpage）,翘曲度主要用翘曲因子和翘曲角度两种方法来表示，它反映了四边形网格单元的扭曲程度，如图24所示。翘曲因子为四边形网格单元对角线的最短距离与单元面积之比。翘曲角度为网格单元对角线所分割的两三角形垂直矢量的夹角。,16:25,细长比（Aspect Ratio）,
8、细长比为网格单元最长边长与最短边长之比，它映外观边界的差异。对于理想网格单元，该值为1。,16:25,目前大体上有两类定义曲面网格质量的方法， 一类是将网格质量定义为所有单元质量的总和或某种平均值 另一类是以网格中最差的一个单元的质量来表示整个网格的的质量,16:25,为使有限元网格分析结果合理可靠，网格应具备以下要求： 所有单元都应接近理想形状 主要变量变化剃度较大的地方网格需要精整 粗细网格之间应均匀 网格单元之间既不能重叠，也不能存有间隙,16:25,复杂曲面网格划分的基本原则,1、网格数量,16:25,分析类型的影响,静力分析： 如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。 如果需要
9、计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。 动力分析：计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。 在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格， 如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。 热分析：结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。,16:25,2 网格疏密,16:25,16:25,曲面网格生成的常用算法,映射法 Delaunay三角剖分法 波前法,16:25,映射法,映射法是最早使用并在商品化产品中占主导地位的方法，它根据形体边界的参数方程，把一个参考网格通过映射方程从参数域映射到实际的区域上。这个参考网格是预先给定
10、的，基本原理如下：考虑一个区域，其形状接近于四边形，如图2-5所示。假设位于两对边的点的数目相等。给定一个单位正方形，定义正方形的四条边上点的数目与区域对应边上的点的数目相等。,16:25,16:25,设F为真实区域和单位正方形之间的映射函数。目前函数F主要有两种选择，一种是:其中为四边形区域的四个角点的坐标，前面的系数分别为,它生成的网格有时不能精确地模拟区域的边界。,16:25,F的第二种选择为 它生成的网格可以精确地模拟区域的边界。,16:25,映射法的优点在于每一子域内网格生成可以得到相当好地控制,能够用以进行曲面网格的生成。但其最大的弊端在于要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割
11、成一系列可映射的子区域。而这一工作通常需人工来完成,因而自动化程度低,不适合于全自动网格的生成；对于不规则形体产生的网格质量很差，不提供局部修改功能 随着计算机实体造型系统的出现,通过与其它方法相结合,这一类方法的自动化程度也逐渐得到提高。,16:25,Delaunay三角剖分法,点集的Voronoi图（虚线）及其Delaunay三角剖分（实线）,16:25,二维Voronoi图是由一些凸多边形组成，且具有以下性质：1）点集中的任一结点与凸多边形一一对应；2）内部任意点均以为“最近邻” ；3）三个或更多的凸多边形可交于一点，这些点称为Voronoi顶点；4）外部的Voronoi多边形为开的，而
12、内部的多边形均为闭的。如果两个结点相邻，则它们的Voronoi多边形必然相邻。连接所有Voronoi多边形中的结点，即为Delaunay三角剖分。,16:25,Sibson55证明了平面任意给定点集的Delaunary三角剖分的结果具有整体优化的性质，它满足“最大最小角”原则，（即所有三角形的最小内角之和最大）。与“最大最小角”准则等价的条件是“外接圆”准则，即对于Delaunay三角剖分的每个三角形，没有一个结点落到其外接圆的内部，而只能位于其外接圆之上或外部。,16:25,Delaunay算法发展到今天，已经出现了大量的不同算法。一般可将其分为以下三类： 以Bowyer和Green Sib
13、sons为代表的计算Voronoi图方法； 以Watson为代表的空外接圆法 以Lawson为代表的对角线方法。,16:25,Lawson算法特别适用于二维Delaunay三角化，它不存在象Watson算法出现的退化现象，对约束情况同样适用，计算效率高。 步骤如下： 1.假定已生成了连接若干个结点的Delaunay三角网格； 2.加入一新结点，找出所有外接圆包含该结点的三角形；,16:25,3.将第二步所得的三角形删除，形成一空腔，将空腔内的结点与新结点连接，形成新的Delaunay三角形； 4.调整数据结构，新生成的三角形的数据先填充被删除的三角形的数据，余者添加到数组的尾部； 5.返回到第
14、二步，直到所有的结点都加入为止；,16:25,16:25,上面的算法需要一个初始网格，通常选择一个覆盖所有结点的矩形（矩形的四个顶点为辅助结点），然后将此矩形沿对角线划分为两个三角形，得到我们需要的初始网格。加点过程结束后，删除以辅助结点为顶点的三角形单元，便得到最终网格。,16:25,但在三维的情况下，对角线交换的推广变成了对角面的交换，而对角面的交换可能改变区域体积或外边界，因此Lawson算法不能直接推广到三维情况。,16:25,Delaunay算法的最大优点之一就是它自动避免了生成小内角的长薄单元，特别适用于有限元网格的生成。虽然Delaunary三角化方法在2D平面区域中取的相当的成
15、功，但在3D情形，基于最大最小角判别的对角线交换规则不再成立，而基于外接圆的Delaunay三角化一般也不再能保证生成的网格质量。,16:25,虽然Delaunay三角化提供了一种较好的方法将空间点集三角化，但Delaunay判决本身并不能指导怎样在空间布点。因此，必须寻找一种较好的布点方法，即要求点的分布满足密度控制要求，又要求三角化的形状尽可能好。目前，基于Delaunay三角化理论的3D网格生成技术仍然是活跃的研究课题，许多学者正对此进行深入地研究。,16:25,四叉树法,首先将目标区域用一个尽可能小的正方形圈定，然后将次正方形分解成四个大小相同的子区域，对每一个子域，测试其是否完全在目
16、标域外面或者是否满足密度控制的要求，若满足所给定的条件则停止对此子域的细分，否则将之细分，该过程迭代执行下去直至达到预定的离散要求。这样目标区域被一些相互不重叠的各种大小的方形子域拼成的图形所逼近，这些子域是由最初的正方形分解而成，但目标区域本身自始至终并不被分解。,16:25,直接将其用作有限元网格生成器有其弊端2870： 1) 物体内部（即目标区域内）可能由少量的大元素组成； 2) 相邻的正方形可能细分的层次不同，因此必须特别关注元素间的连续性； 3) 因为物体由许多正方形拼合而成，所以所有非水平方向和非垂直方向上的边界将由一系列逼近此边界的正方形的角表示； 对大多数边界而言，要想达到令人
17、满意的几何表示，且达到通常的求解精度，需要更多的元素。,16:25,曲面四边形网格划分算法-铺砌法,基本思想：根据所要划分的网格密度形成初始化边界节点，初始化的边界节点数必须为偶数以确保生成完全的四边形网格。以这些节点构造一条双向链表，外边界采取逆时针排列，内边界节点采取顺时针排列。在铺砌边界上选取一边作为起始边，在区域内形成一个四边形单元，随着单元的产生，新的节点形成新的铺砌边界，这时的边界又称为当前边界。当第一层单元的生成结束后，再以当前边界上的节点向区域内生成第二层单元，依此类推，直至网格布满整个区域。铺砌边界不断更新，向区域内铺进，若铺砌边界只剩下六个节点，则进行封闭环处理。,16:2
18、5,16:25,网格单元生成步骤, 终 止 节 点 节点角度 120 边节点节点角度 120240 角节点：节点角度 240300 转节点：节点角度 300360,16:25,以终止节点为基点的算法,16:25,以边节点为基的算法,16:25,以角节点为基的算法,16:25,以转节点为基的算法,16:25,冲突检测,16:25,16:25,16:25,16:25,特征处理,16:25,线约束,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,16:25,体网格,16:25,常规的结构化六面体网格自动生成方法主要有映射法、填充法、拓扑分析法、结构分解法、旋转和平移法,16:25,映射法,16:25,单元转化法,16:25,扫掠法,16:25,栅格法,16:25,中轴面分解法,16:25,16:25,
