1、学优中考网 2011-2012 学年九年级数学（人教版上）同步练习第 22 章第一节 一元二次方程一. 教学内容：一元二次方程教学目标：1. 理解一元二次方程的概念及一般形式。2. 会利用概念的意义判断一个方程是否为一元二次方程。3. 能确定未知数取值范围，能够列出简单的方程解决实际问题，从而体现建立方程模型刻画实际生活的这一思想。二. 重点、难点：重点：一元二次方程的有关概念。难点：对一元二次方程的理解及实际生活中的应用。课堂教学：（一）知识要点：知识点 1：整式方程的概念。等式的左边和右边都是整式，这样的方程称整式方程，以前学过的一元一次方程及本章的一元二次方程都属于整式方程。知识点 2：
2、一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程。如 x220，x 2165x165 20，它属于整式方程。说明：1. “一元”指的是“只含有一个未知数” ， “二次”是指未知数的最高指数是 2，一般的整式方程都用“元”和“次”来定义。2. 判断一元二次方程，先看形式是否为整式，然后化简后再判断是“一元” 、 “二次” ，如，一1x2。3. 举例说明：下列哪些是一元二次方程？（1）x 25x0 （2）9x 262x（2x1） （3）4x 2 x5 （4）3x 27y （5） （6）x（5x2） x（x1）4x 2知识点 3：一元二次方程的一般形式任何一个一元二次方程都可化为
3、ax2bxc0（a ， b，c 为常数，且 a0）说明：1. 不能说可化为 ax2bxc0（a ，b，c 为常数，且 a0）的方程是一元二次方程。2. ax2bxc0 的方程。a0 是一元二次方程，反之已知一元二次方程 ax2bxc0 就隐含 a0 这个条件。3. 一元二次方程的各项系数很重要，三项的排列必须从左到右降幂排列，依次为二次项的系数 a，一次项的系数 b，和常数项 c，等式的右边必须是 0。4. 举例说明：说出 3x（x1）2（x2）8 的 a，b，c。a ；b ；c 知识点 4：一元二次方程的分类。三项都不缺的，如：x 22x30 ，其中 a1；b2；c3缺二项的，如：3x 20
4、，其中 a3；b0；c0缺一项的，如：2x 2x0，其中 a2；b1；c0如：2x 210，其中 a2；b0；c1说明：通过分类更好地理解一般形式，从而确定 a，b，c，为将来的学习打下基础。【典型例题】例 1. 已知方程(m2)x |m|3mx 10 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值。解：由 02m|， 2一m2例 2. 把下列方程中是一元二次方程的序号填在横线上： 。（1）x 29；（2）52x；（3）x(x5) x 2 2x ；（4）5x 20；（5） 012x（6）053； （7）042y答：（1） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7） 例 3. 判定方程 m2 (x
5、2m)2xx(x2m)1 是不是关于 x 的一元二次方程。解：经过整理，得 m2 x2m 32xx 22mx1 (m21)x 22(1m) x(m 31)0当 m1，且 m1 时，有 m210，所以原方程是一元二次方程。当 m1，或 m1 时，有 m210，所以原方程不是一元二次方程。例 4. 关于 x 的方程(m1)x 2(m1)x 2m ，若是一元二次方程，求 m 的值。解：由 m10，得 m1。例 5. 将下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）6x 23x2；（2）x 2a(3x2ab)b 20解：（1）移项，得：6x 23x20，a6
6、；b3；c2（2）x 23ax(2a 2abb 2) 0，a1；b3a；c2a 2ab b 2例 6. 在线段 AB 上，若点 C 在 AB 上且 AB：ACAC：CB，设 ACx，ABm ，则关于 x 的一元二次方程为 学优中考网 解：m：x x：(mx) x 2mxm 20说明：点 C 是线段 AB 的黄金分割点， x0.618m。例 7. 已知关于 x 的方程 1)()3(12 x；（1）当 m 为何值时，原方程是一元二次方程？（2）当 m 为何值时，原方程是一元一次方程？解：（1） 210解得 3m当 3时，原方程是一元二次方程。（2） 0)1(2010m2一一31一一当 m1 或 m
7、 或 m 时，原方程是一元一次方程。例 8. 若 x290，则 一3x652_。解：由 x290，x3，但 x3 时，分母为零；x3原式2)(例 9. 若 xa b3x ab 2 是关于 x 的一元二次方程，试确定 a、b 的值。解： 02a2ba1一一一一解之得： 1ba1ba021b321b3a 543例 10. （1）某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元。若设该校这两年在实验器材的投资上的平均增长率为 x，试列出符合条件的方程。（2）长方形像框是由一个 80cm，宽 60cm 的长方形木板，挖去一个小长方形得到的，像框四周宽为 xcm，且中间小长方形
8、的面积为大长方形的面积的一半，请写出符合题意的方程。解：（1）今年的投资额为 2(1x) 万元，明年的投资额为 2(1x) 2 万元根据题意，得 2(1x)2(1x) 28即 x23x20（2）小长方形的长和宽分别是：802x，602x根据题意，得（802x） （602x）16080即 x270x6000例 11. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字和十位数字对调后所得的新数与原数的积是 736，若设原数的十位数字为 x，请写出符合题意的方程：解：由题意得方程：10x(5 x)10(5 x) x736例 12. 两个正方形的面积和是 89 cm2,它们的周长差是 12
9、cm，设较小正方形的边长为 x，试写出符合题意的方程。解：（3x） 2x 289例 13. 关于 x 的方程 a2x2 2x(2x1) ax1， （1）在什么条件下它是一元二次方程？（2）在什么条件下，它是一元一次方程？解：（1）a2 且 a2；（ 2）a2【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 选择题：1. 如果(a 1)x 2ax a 210 是关于 x 的一元二次方程，那么必有（ ）A. a0 B. a1 C. a1 D. a 12. 某种产品原来每件的成本是 100 元，由于连续两次降低成本 ，现在的成本是 81 元，设平均每次降低成本的百分率为 x，则所得方程为（ ）A. 100
10、(1x) 281 B. 100(1x) 281 C. 81 (1x) 2100 D. 81(1x) 21003. 若 abc 0，则一元二次方程 ax2bxc0 有一根是（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 14. 若 ax25x30，是一元二次方程，则不等式 3a60 的解集是（ ）A. a2 B. a2 且 a0 D. a 25. 一元二次方程 3x22x1 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 3,2,1 B. 3,2,1 C. 3,2, 1 D. 3,2,1二. 填空题：6. 关于 x 的一元二次方程(ax1)(ax2) x 22x6 中，a 的取值范围是 7. 已知关
11、于 x 的方程 mx|m2| 2(m1)x30 是一元二次方程，则 m 8. k 为何值时，(k 29)x 2(k5)x 30 不是关于 x 的一元二次方程？9. 已知 9|5| ba，关于 x 的方程 ax2bx5x 24 是一元二次方程，则5x22x1 三. 解答题：10. k 为何值时，(k 21)x 2(k1)x 20；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？ 11. 已知一元二次方程 ax2bxc0 的一个根是 1，且 a、b 满足等式一一cy4,3aab2。12. 根据题意列出方程。学优中考网 （1）长 5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是 3m，如果梯子底端向右滑动
12、的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设为 xm，求梯子滑动的距离。（2）已知，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是 19m，如果花园的面积是 24m2，求花园的长和宽。（3）有 n 支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛 2 场，联赛的总场次为 132 次，问共有多少支球队参加联赛？（4）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年 14400 台提高到 16900 台，求每年的增长率 x 是多少？【试题答案】1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. a17. 4 8. k3 9. 110. 解：（1）当 02，即 k1 时，原方程为一元一次方程，（2）依据题意，有 k210，k1，即 k1，原方程为一元二次方程。11. 由题意得：a 2，b3ax 2bxc 0 的一个根是 1abc0 c (a b) 2310y4,y41一，解得：y 12，y 2212. （1）(4x) 2(3 x) 25 2；（2）设花园的宽为 xm， x(192x)24；（3）n(n1)132；（4）14400(1x) 216900学优。中考，网
