1、三角形全等的证明【知识梳理】（一）三角形概述：1定义（包括内、外角）2性质：三角形的边角关系：角与角：内角和及推论;外角和;n 边形内角和;n 边形外角和。边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。角与边：在同一三角形中 3三角形的主要线段（1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线（2）线的交点- 三角形的心及性质4特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质等腰三角形：定理：等腰三角形的两个底角相等， （简称：“等边对等角” ）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合， （简称：“三线合一” ）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角
2、所对的边也相等， （简称“等角对等边” ） 。等边三角形的性质及判定：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形5全等三角形全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS：注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即 AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即 SSA。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。寻找对应元素的方法：（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三
3、角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1） ，BOC EOD，BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO 翻折 180得到的；等边 等角大边 大角小边 小角图 1 图 2 图 3旋转 如图（2） ，COD BOA，COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180得到的；平移 如图（3）
4、，DEF ACB，DEF 可以看成是由ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。6三角形的面积一般计算公式性质：等底等高的三角形面积相等。7重要辅助线截长、补短;倍长中线;添加辅助平行线8证明方法综合法（执因索果） 、分析法（执果索因）证面积关系：将面积表示出来证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理）证线段倍分关系：加倍法、折半法证线段和差关系：截长法、补短法小练习：1、如果等腰三角形的周长为 12，一边长为 5，那么另两边长分别为_。2、如果等腰三角形有两边长为 2 和 5，那么周长为_。3、如果等腰三角形有一个角等于 50，那么另两个_。4、如果等腰三角形有一个角等
5、于 120，那么另两个角_。（二）全等三角形的判定及应用：（1） 证明线段（或角）相等例 1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC（2）证明线段平行例 2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为 E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接CD 和 CE. 求证：CD=2CE(4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关
6、系和位置关系分别如何？证明你的结论。DCBAEFCBAOED例 1 例 2 例 3 例 4(三)特殊方法证明线段间的数量关系1、截长补短法：证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等。（补短）(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。（截长）例 1： 如图， ABC 中， C2 B，12。求证： AB AC CD例 2、已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判断ABC60BDCEABC.BDCEO、 、 的数量关系
7、，并加以证明ED例 3、如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作 ，射MA 60MN线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?N NM2、倍长中线法：倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法（1）证明线段不等例 1 如图 1，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线求证： AB+AC2 AD（2） 、证明线段相等EB D CA图 1A2 3GB E D CF1H图 2DOECBANEBMADNHGFE2B D C1 MA3例 2 如图 2，在 ABC 中， AB AC， E 为 BC 边的
8、中点， AD 为 BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G求证： BF=CG例 3如图 3 所示，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF。求证：AC=BF。（3） 、证明线段倍分例 4 如图 4， CB， CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 的中线，且 AC=AB求证： CE=2CD图 3（4） 、证明两直线垂直例 5 如图 5，分别以 ABC 的边 AB， AC 为一边在三角形外作正方形 ABEF 和 ACGH， M 为 FH 的中点求证： MA BC3、面积法根据面积公式，求解论证线段数量关系的特殊方法。例 1、求证：从等腰三角形底边上不同于两顶点的任一点向两腰作垂线，两条垂线段之和，等于一腰上的高。例 2、求证：从等边三角形内任一点向三边作垂线，三条垂线段的和等于等边三角形的高。FA D B EC图 4图 5
