1、学优中考网 第十期:图形变换初中数学中的图形变换,主要包括轴对称变换(翻折变换) 、平移变换、旋转变换、相似变换(位似变换) 。由于图形变换问题常常与图形的“运动”相联系,因此解这类问题要求同学们掌握以下几种策略:一是动中觅静,即在图形运动变化中寻求不变量或不变关系,在运动变化中探索问题中的不变性;二是动静互化,即抓住“静”的瞬间, 使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系;三是以动制动。即建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系一般占 6 分左右。知识点 1:平移变换例 1 :弯弯囡收集了如图欣赏并说明下列各种商标图案,其中哪些是利用
2、平移来设计的?思路点拨:欣赏判断一个图案,其中是否包含平移变换,首先要观察是否包含平移所需的“基本图形” ,然后观察平移的方向或平移的距离,即平移的方式.例 2:在平面直角坐标系中,将二次函数 2xy的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析式为( )A 2xy B 2xy C 2)( D 2)(xy思路点拨:二次函数图象的平移是图形平移的一种特殊情况,熟练掌握公式和口诀,此类问题便不难解决了。对于二次函数的顶点式 2()yaxhk来说, h 值左加右减, k 值上加下减。答案:B例 3:如图,在 5方格纸中,将图中的三角形甲平移到图中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中
3、,正确的是( )A先向下平移 3 格,再向右平移 1 格B先向下平移 2 格,再向右平移 1 格C先向下平移 2 格,再向右平移 2 格D先向下平移 3 格,再向右平移 2 格思路点拨:找图形平移的方向和距离,只要找图形中的某一点和它的对应点之间的平移关(1) (2) (3) (4) (5) (6)图甲 乙图甲乙系就可以了。答案选 D;例 4:如图,把O 1向右平移 8 个单位长度得O 2,两圆相交于 A、B,且 O1AO 2A,则图中阴影部分的面积是( )A.4-8 B. 8-16 C.16-16 D. 16-32思路点拨:此题是平移和圆的综合运用,根据勾股定理可以求出圆的半径,再根据扇形和
4、三角形面积可以求解。答案选 B。练习:1. ABC 在如图所示的平面直角坐标系中,将 ABC 向右平移 3 个单位长度后得2.在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )A B C D3.下列图形中,由原图平移得到的图形是( )原图 A B C D答案:1.D 2.D 3.D最新考题学优中考网 1.(2009广东省广州市)将图 1 所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )2.(2009湖北省襄樊市)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中,将 ABC 向右平移两个单位长度得到 ABC , 则与点 关于 x轴对称的点的坐标是( )A 01, B , C 2, D 1
5、,3.(2009山东省威海市)如图, ABC 和的 DEF 是等腰直角三角形,90CF, 24ABDE, 点 B 与点 D 重合,点 ABE, ( ) , 在同一条直线上,将 沿 方向平移,至点 与点 重合时停止设点 D, 之间的距离为x, 与 重叠部分的面积为 y,则准确反映 y与 x之间对应关系的图象是( )答案:1.A 2.D 3.B.知识点 2:轴对称变换yxO(A)BC图 2例 1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 思路点拨:根据概念求解即可。答案选 D。例 2:如图所示,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D, C 分别落在 D, C的位置若 EFB65,则
6、 AED等于 (A) 70 (B) 65 (C) 50 (D) 25 思路点拨:此题主要考察轴对称的性质及平行线的性质,由 EFB65可知 DEF65,从而 DED=130,所以 AED=50。答案选 C练习:1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2.点 (35)p, -关于 x轴对称的点的坐标为( )A , B (5,3) C (3,5)- D (3,5) 3.如图, C 与 A 关于直线 l 对称,且 784AC, ,则 B 的度数为( )A48 B54C74 D784.在 ABC 中, AB=12, AC=10, BC=9, AD 是 BC 边上的高.将 ABC 按如
7、图所示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则 DEF 的周长为ABC学优中考网 A9.5 B10.5 C11 D15.5答案:1.C 2.D 3.B 4.D。最新考题1.(2009天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线 2yx关于 x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于 y轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A 2yx B 2xC D y 2.(2009河北省)如图 2,等 边 ABC 的 边 长 为 1 cm, D、 E 分 别 是 AB、 AC 上 的 点 , 将 ADE 沿 直 线 DE 折 叠 , 点 A 落 在 点 处 , 且 点 在 ABC
8、 外 部 , 则 阴 影 部 分 的 周 长 为 cm答案:1. C 2. 3知识点 3:旋转变换例 1:如图,P 是正ABC 内一点,若将PBC 绕点 B 旋转到PBA,则PBP的度数是()A45 B60 C90 D120AB C图 2DEACB DAE FCB D(A)A思路点拨:在旋转过程中,如果某条线段绕旋转中心旋转一定的度数,那么其它的点或线段也绕旋转中心旋转相同的度数。答案:B例 2:设矩形 ABCD 的长与宽的和为 2,以 AB 为轴心旋转一周得到一个几何体,则此几何体的侧面积有( )A、最小值 4 B、最大值 4C、最大值 2 D、最小值 2思路点拨:此题考核平面图形通过旋转得
9、到立体图形的相关知识。可以设矩形的其中一边为 x,通过列式配方求最大值即可。答案:C练习:1.如图,Rt ABC 中, ACB=90, A=50,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A处,折痕为 CD,则 DB( )A40 B30 C20 D102.将 RtABC(其中B34 0,C90 0)绕 A 点按顺时针方向旋转到 AB 1 C1的位置,使得点 C、A、B 1 在同一条直线上,那么旋转角最小等于( )A.56 0 B.68 0 C.124 D.180答案:1. D 2.C最新考题1.(2009陕西省)如图, 903AOB, , AOB 可以看作是由 绕点 顺时针旋转 角度得到的若点 在
10、上,则旋转角 的大小可以是( ) A 30 B 45 C 6 D 92.(2009河南省)如图所示,在平面直角坐标系中,点 A、 B 的坐标分别为(2,0)和(2,0).月牙绕点 B 顺时针旋转 900得到月牙,则点 A 的对应点 A的坐标为( ) ABDAC34 0B1CBAC1A OB 学优中考网 (A) (2,2) (B) (2,4) (C)(4,2) (D)(1,2)3.(2009山东省潍坊市)如图,已知 RtABC 中,903023cmABCA, ,将 绕顶点 C 顺时针旋转至的位置,且 C、 、 三点在同一条直线上,则点 A经过的最短路线的长度是( )cmA8 B 43C 32D
11、8答案:1.C 2.B. 3.D。知识点 4:位似变换例 1.下列说法不正确的是( )A位似图形一定是相似图形 B.相似图形不一定是位似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行思路点拨:本题考查位似图形与相似图形的关系以及位似图形的性质。答案选 D例 2.下列说法正确的是() A.分别在 ABC 的边 AB,AC 的反向延长线上取点 D,E,使 DEBC,则 ADE 是 ABC 放大后的图形 B.两位似图形的面积之比等于位似比C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比D.位似图形的周长之比等于位似比的平方思路点拨:位似图形一定
12、是相似图形,所以位似图形具备相似图形的一切性质正确的是 C练习:1.如果两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm,且较小图形周长为 30cm,则较大图形BCAA周长为 . 2.已知 ABC,以点 A 为位似中心,作出 ADE,使 ADE 是 ABC 放大 2 倍的图形,这样的图形可以作出 个。他们之间的关系是 .3 如图,点 DEF,分别是 ()BCA 各边的中点,下列说法中,错误的是( )A 平分 BA B 12 C EF与 互相平分 D FE 是 AB 的位似图形 答案:1. 50cm 2. 2 个 全等 3. A最新考题:(2009福建省宁德市)如图, ABC 与 DEF 是似
13、图位似比为 23,已知 AB4,则 DE 的长为 _答案:8.过关检测一、选择题1.下列四副图案中,不是轴对称图形的是2.在下图右侧的四个三角形中,不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是( )3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )CODEFABABEFC. . . .ABC(A) (B) (C) (D)学优中考网 A B. C. 4.把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角,那么打开以后的形状是( )A六边形 B八边形 C十二边形 D十六边形5如图, C 是等腰直角三角形, B是斜边,将 ABP 绕点 逆时针旋转后,能与 P 重合,如果 3A,那么 P的长等于(
14、)A 32BC 4D6.在下列四种图形变换中,本题图案不包含的变换是( )A位似 B旋转 C轴对称 D平移 7.如图,下列分子结构模型平面图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A1 B2 C3 D48.如图,数轴上 , 两点表示的数分别为 1 和 3,点 B关于点 A的对称点为点 C,则点 C所表示的数是( )A 31B 3第 4 题图A BC0C 23D 329.已知:如图 ABC 的顶点坐标分别为 (43)A, , (0)B, , (21)C, ,如将 B点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 1B点,若设 AC 的面积为 1S,1AC的面积为 S,则 12, 的大
15、小关系为( )A 2SB C 12SD不能确定二、填空题10.在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(5,0) ,点 Q 的坐标为(0,3) ,把线段 PQ 向右平移 4 个单位,然后再向上平移 2 个单位,得到线段 P1Q1,则点 P1的坐标为 ,点 Q1的坐标为 13.(2009辽宁省铁岭市)如图所示,在正方形网格中,图经过 变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称” )可以得到图;图是由图经过旋转变换得到的,其旋转中心是点 (填“ A”或“ B”或“ C”) 14.如图,ABC 为等边三角形,边长为 2cm,D 为 BC 的中点,AEB 是ADC 绕点 A 顺时针旋转 60得到的,则 BE=
16、cm若连接 DE, 则ADE 为 三角形。 A B CxOy1231QP2P1Q1学优中考网 三、解答题 15 如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为 1(1)观察图、中所画的“L”型图形,然后各补画一个小正方形,使图中所成的图形是轴对称图形,图中所成的图形是中心对称图形;(2)补画后,图、中的图形是不是正方体的表面展开图:(填“是”或“不是” )答:中的图形 ,中的图形 16.已知:如图,在正方形 ABCD 中,G 是 CD 上一点,延长 BC 到 E,使 CE=CG,连接 BG 并延长交 DE 于 F(1)求证:BCGDCE;(2)将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE,判断四边形
17、 EBGD 是什么特殊四边形?并说明理由17.两人轮流在一个桌面(长方形或正方形或圆形)上摆上硬币,规则是每人每次摆一个,硬币不能互相重叠,也不能有一部分在桌面边缘外,摆好之后不能移动,这样经过多次摆放,知道谁最先摆不下硬币谁就认输,按照这个规则你用什么办法才能取胜呢?18.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形, ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点) 画出 绕点 O 逆时针旋转 90后的 ABC ACBO19.如图,直角梯形 ABCD 中, BCAD , 90,且2tan2CDAB,过点 D 作 AE ,交 BCD的平分线于点 E,连接BE(1)求证
18、: ;(2)将 E 绕点 C,顺时针旋转 90得到 G ,连接 EG.求证: CD 垂直平分 EG.(3)延长 BE 交 CD 于点 P求证: P 是 CD 的中点20.已知正方形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F,连接 DF, G为 DF 中点,连接 EG, CG(1)求证: EG=CG;(2)将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45,如图所示,取 DF 中点 G,连接EG, CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 (3)将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的
19、结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)21.一条抛物线经过原点 O与 (40)A, 点,顶点 B在直线 2(0)ykx上将这条抛物线先向上平移 ()m个单位,再向右平移 m个单位,得到的抛物线的顶点仍然在直线 2ykx上,点 移动到了点 (1)求 值及原抛物线的表达式;A DGECB学优中考网 (2)求使 AOB 的面积是 6032 的 m值答案1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A;7.C 8.C 9.B10.(9,2) , (4,5) 11. 6012.4 13.平移;A 14.1, 等边15.(1)如图(2)图1(不是)或图2(是) ,图(是) 能在对称位
20、置上放下一枚,因此失败绝对轮不上你。18.【答案】19.证明:(1)延长 DE交 BC于 FAB, ,F,在 RtC 中, tanta2A,2,即 DAB, FC12FD,即 C(2) E平分 B, E由(1)知 DC, , BCE , BD由图形旋转的性质知 GDG, , C,都在 的垂直平分线上, 垂直平分 (3)连接 B由(2)知 E, 12ADE 3 3ACBOA DGECB FP学优中考网 ADBC , 4DB由(1)知 C, 4BDP又 , AP , A2, 12 是 的中点20.解:(1)证明:在 Rt FCD 中, G 为 DF 的中点, CG= FD同理,在 Rt DEF 中
21、, EG= 12FD CG=EG (2) (1)中结论仍然成立,即 EG=CG连接 AG,过 G 点作 MN AD 于 M,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG 与 DCG 中,在 Rt AMG 与 Rt ENG 中, AM=EN, MG=NG, AMG ENGFBA DCEGMNN图 (一) AG=EG EG=CG (3) (1)中的结论仍然成立,即 EG=CG其他的结论还有: EG CG21.解:(1)已知原抛物线经过原点 O(0,)与 A(4,)点,因此可设原抛物线的表达式为 yax配方得 2()4yax,则其顶点 B 的坐标为 (2,)a 因为顶点 B 在直线 (0)k上,将 4代入可得 k由题意可知平移后得到的抛物线的顶点 的坐标为 (,)m,即(2,4)mk因为 B点仍然在直线 2ykx上,则 4(2)kk,整理得 k,因为 0m,所以 1, 则 1a,所以原抛物线的表达式为 ()yx (或 24yx)(2)方法一:由(1)知,点 B的坐标为 2,4m,由题意,点 A的坐标为 (4,), 作 CB垂直于 y 轴于 C,作 D垂直于 y 轴于 D,因为 0m,所以 BO的面积 的面积梯形 A的面积 O的面积 421 m2421 41 83, 60m,解得 08m FBA DCE图G学优中考网 138(4)386022mm解得 0