1、第三节 等腰三角形与直角三角形,河北8年中考命题规律)年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分2016 16 等边三角 形判定已知特殊角平分线上一定点，在角两边或符合条件的总度数与定点构成等边三角形2 22015 20 等腰三角 形性质以等腰三角形为背景，求角度3 32013 13 等边三角形的性质以两个等边三角形与正方形结合为背景，考查平行线性质及三角形内角和性质求两角度之和3 32012 14 直角三角形的性质以直角三角形为背景，结合余角的性质求角度3 32011 9 直角三角形的性质以直角三角形为背景，将三角形折叠，求折痕长3 32009 17 等边三角形的性质以等边三角形为背景，将三角
2、形折叠，求阴影部分图形的周长3 32014、2010年未考查命题规律对于本课时内容中考中一般设置1道题，分值为3分，题型为选择、填空题分析近8年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有：(1)等边三角形的相关计算(在选择题中考查1次，在填空题中考查1次)；(2)直角三角形的相关计算(在填空题中考查3次)；(3)找符合条件的等边三角形(考查1次) 命题预测纵观河北8年中考，2017年本节重点考查内容为直角三角形的相关计算，题型以填空题为主.,河北8年中考真题及模拟)等边三角形判定和的相关计算1(2016河北16题2分)如图，AOB 120，OP 平分 AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB
3、上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有( D )A1个 B2个C3个 D3个以上2(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 350，则12( B )A90 B 100 C130 D180(第2题图)(第3题图)3(2009河北17题3分)如图，等边ABC的边长为1 cm，D，E 分别是 AB，AC 上的点，将ABC沿直线DE折叠，点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_3_cm.4(2015河北20题3分)如图，BOC9，点A 在OB上，且OA1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交 OC于点A 1，得第1条线段AA 1；
4、再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交 OB于点A 2，得第2条线段A 1A2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交 OC于点A 3，得第3条线段A 2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n_9_直角三角形的相关计算5(2011河北9题3分)如图，在ABC中，C90，BC6，D，E分别在AB，AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A 处，若A 为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( B )A. B2 C 3 D412(第5题图)(第6题图)6(2016邢台金华中学一模)如图，在ABC中，C90，B30，AD 是ABC的角平分线，DE AB，垂足为点E，DE1
5、，则BC的长是( C )A. B2 C3 D. 23 37(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( B )A4，5，6 B1.5，2，2.5C2，3，4 D1， ，328(2016秦皇岛二模)如图，在ABC中，ABAC，A120，BC 6 cm，AB 的垂直平分线交 BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC 于点N ，交AC于点F，则MN的长为( C )A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm(第8题图)(第12题图)9(2016河北唐山五十四中一模 )若等腰三角形的顶角为80 ，则它的底角度数为( B )A80 B 50 C40 D2010(2016河北唐
6、山友谊中学一模 )已知等腰三角形ABC的两边长分别为 2和3，则等腰三角形ABC的周长为( D )A7 B8C6或8 D7或811(2016保定育德中学二模 )一直角三角形的两边长分别为 3和4，则第三边的长为( D )A5 B. 7C. D5或5 712(2012河北14题3分)如图，AB，CD相交于点O，AC CD于点C ，若BOD 38，A等于_52_13(2016唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC ，AC上，且DE AB，过点E作EFDE，交BC 的延长线于点F.(1)求F的度数；(2)若CD 2，求 DF的长解：(1)ABC是等边三角形，B60，DEA
7、B，EDCB60.来源:gkstk.ComEFDE，DEF90，F90EDC30；(2)ACB60，EDC 60，EDC是等边三角形，EDDC2.DEF90，F 30，DF 2DE4.,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1等腰三角形定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即ABAC)；(2)等腰三角形的两底角_相等_(即B_C_)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积： S ABC BCAD12判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中
8、，两个相等的 角所对的边相等( 简称“_等角对等边_”)2.等边三角形来源:学优高考网定义 三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等 (即ABBCAC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于_60_( 即ABC _60_)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S ABC BCAD12判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定( 高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.
9、求线段长度；3.求周长结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度3直角三角形定义 有一个角等于90的三角形叫做直角三角形性质来源:学优高考网(1)直角三角形的两个锐角之和等于 _90_；(2)直角三角形斜边上的_中线_等于斜边的一半(即BD AC)；12(3)直角三角形中_30_角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB AC)；12(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a 2b 2c 2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30判定(1)有一个角为 90的三角形是直角三角形；(2
10、)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.等腰直角三角形定义 顶角为90的等腰三角形是等腰直角三角形性质 等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45判定 (1)用定义判定；(2) 有两个角为45的三角形来源:学优高考网,中考重难点突破)等腰三角形的相关计算【例1】在ABC中，AB AC ，AB 的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B _.【学生解答】70或20【点拨】在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论此题的两种情况如图所示：1
11、(2016湘西中考)一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( C )A13 cmB14 cmC13 cm 或14 cmD以上都不对2如图，在等腰ABC中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN交AC于点D，且DBC15，则A_50_等腰三角形、等边三角形的判定与性质【例2】如图，在ABC中，ABAC，D，E是ABC内的两点，AD平分BAC，EBCE60，若BE6 cm ，DE2 cm，则BC _cm.【解析】如图，延长AD交BC于点M，由ABAC，AD是BAC 的平分线可得AM BC ，BMMC BC，12延长ED 交BC于点 N，则BEN 是等边三角形，从
12、而求出DN 的长，利用在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值【学生解答】83(2016沧州八中二模)如图，在ABC中，A 36，ABAC，BD是ABC 的角平分线，若在边AB上截取BEBC，连接 DE，则图中等腰三角形共有 ( D )A2个 B 3个 C4个 D5个(第3题图)(第4题图)4(2016漳州中考)如图，在ABC中，ABAC5，BC8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C )A5个 B 4个 C3个 D2个直角三角形的性质判定和勾股定理【例3】如图，在RtABC 中， ABAC，A90，
13、D为BC上任意一点，DFAB于点F ，DE AC于点E，M为BC 的中点，连接EM，FM ，给出以下五个结论：AF CE；AEBF；EFM是等腰直角三角形；S 四边形AEMF SABC ；EFBMMC.当点D 在BC 上运动时 (点D不与B，C 重合) ，上述结论中始终正确的有( )12A2个 B 3个 C4个 D5个【解析】连接AM，易证AEDFBF，AFDE CE，AMEBMF，MEMF，AMEBMF ，EMF是等腰直角三角形S 四边形AEMF S AFM S AEM S AFM S BFM S ABM SABC ，但是EF与BM不一12定相等，只有四边形AFME为矩形时，EFBM.【学生
14、解答】C5(2016株洲中考)如图，以直角三角形a、b、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四各情况的面积关系满足S 1S 2S 3图形个数有( D )A1个 B 2个 C3个 D4个6(2016苏州中考)如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为45，则调整后的楼梯AC的长为( B )A2 m B2 m3 6C(2 2)m D(2 2)m3 67如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB5，BC12，AD9，CD5 ，求四边形ABCD的面积10解：连接AC，ABBC，B90，AC 13，AB2 BC2
15、52 122在ACD中，AC 2AD 2 1329 216981250，CD 2(5 )2250，10AC 2AD 2CD 2，DAC90，S 四边形ABCD SABC S ACD BCAB ADAC12 12 125 91312 12 .1772中考备考方略)1(2016秦皇岛二模)若实数x，y满足|x 4| 0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( D y 8)A12 B16 C16或20 D202(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆 PA的高度与拉绳PB 的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC(BC 为水平线 )，测角仪BD 的高度为
16、1 m，则旗杆PA的高度为( A )A. m B. m11 sin 11 sinC. m D. m11 cos 11 cos3(2016泰安中考)如图，在PAB中，PAPB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AMBK，BNAK，若MKN44，则P的度数为( D )A44 B 66 C88 D92(第3题图)(第4题图)4(2016沧州八中模拟)如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是边BC ，AB上的高，垂足分别是D ，E，AD，CE相交于点O，若B 60，则AOE的度数是( A )A60 B 50 C70 D805(2016保定十七中模拟)在ABC中，若AC15，BC13，AB
17、边上的高CD12，则ABC的周长为( D )A32 B 42C40或42 D32或426(2016宜昌中考)任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH ，HF，FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是( B )AEGH为等腰三角形BEGF为等边三角形C四边形EGFH为菱形DEHF为等腰三角形7具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是( D )AABCBABCCAB C12 3DAB3C8(2016深圳中考)如图，已知ab，直角三角板的直角顶点在直线b上，若160，则下列结论错误的是( D )A260B360C4120D5409(2016杭州中考)已知直角三角形纸片
18、的两条直角边分别为 m和n(mn)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( C )Am 22mnn 20 Bm 2 2mnn 20Cm 22mn n20 Dm 22mnn 2010(2016东营中考)在ABC中，AB10，AC2 ， BC边上的高AD6，则另一边BC 等于( C )10A10 B 8 C6或10 D8或1011(2016齐齐哈尔中考)有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30，则以它的腰长为边的正方形的3面积为_20 或20_312在等边ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ECED.(1)当BEAE
19、 时，求证：BDAE ；(2)当BEAE 时，“BDAE ”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明证明：(1)如图(1) ，在等边ABC 中，ABCACB60.BEAE，ACEECB30.又CEDE，DECD 30.DEB30，BEBD，BDAE；(2)BD AE还成立理由如下：如图(2)，过点E作EFAC交BC于点F.易证 EFB为等边三角形EFFBBE.EFB EBF.CFEEBD.CEDE，ECDD. EBDEFC(AAS)，CFBD.ABBC，AB BEBFCF ，即AECF， BDAE.13(2016威海中考)如图，已知ABACAD，CBD
20、2BDC，BAC44，则CAD的度数为( B )A68 B 88 C90 D112,(第13题图) ,(第15题图)14(2016内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点 P到三边的距离之和为( B )A. B. C. D不能确定32 332 3215(2016连云港中考)如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S 2、S 3；如图，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 116，S 245， S511，S 6 14，则S 3S 4( C )A86 B 64 C54 D4
21、816(2016随州中考)如图，在ABC中，ACB90，M，N 分别是AB，AC 的中点，延长BC至点D，使CD BD，连接DM，DN，MN.若AB6，则DN_3_13(第16题图)(第18题图)17(2016潍坊中考)已知AOB 60，点P 是AOB 的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM 4，则点P到点M 与到边 OA的距离之和的最小值是 _2 _318(2016武汉中考)如图，在四边形ABCD中，ABC 90，AB3，BC4，CD10，DA5 ，则BD5的长为_2 _4119(2016邯郸十一中一模)如图，ABC90，D ，E 分别在BC ，AC上，AD DE，且ADDE，点F是A
22、E的中点，FD与 AB相交于点M.(1)求证：FMCFCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由证明：(1)ADE是等腰直角三角形， F是AE中点，DFAE，DF AFEF.又ABC90，DCF ，AMF都与MAC互余，DCF AMF，又DFC AFM90，DFC AFM，CFMF.FMCFCM；来源:学优高考网(2)ADMC.理由：由(1)知MFC90，FD FE，FMFC.FDEFMC45.DECM，由题意得 AD DE，ADMC.20(2016北京中考)如图，在四边形ABCD中，ABC 90，ACAD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN ， BN.(1)求证：BMMN；(2)若BAD 60，AC平分BAD，AC2，求BN的长解：(1)在ACD中，M，N分别是AC ，CD的中点，MNAD且MN AD.12在Rt ABC 中， M 是AC的中点BM AC.又 ACAD， MNBM；12(2)BAD 60且AC平分BAD.BACDAC30.由(1)知，BM ACAMMC.12BMC BAMABM2BAM60.MNAD，NMCDAC 30.BMNBMCNMC90.BN 2BM 2 MN2.而由(1)知，MNBM AC 21，BN .12 12 2
