1、小专题( 七) 旋转中的计算与证明类型 1 基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例 1)当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了总结此类问题解题的思路即是：半角信息带形旋转轴对称的全等三角形【例 1】 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于 O.设 E，F 分别是 AB 上不同的两个点，且EOF45，请你用等式表示线段 AE，BF 和 EF 之间的数量关系，并证明【思路点拨】 将OFB 绕点 O 顺时针旋转 90，得OH
2、A.连接 HE，利用条件可证EOHEOF，从而得EHEF.然后在 RtAEH 中，利用勾股定理得 EH2AH 2AE 2，进而得出结论1已知在ABC 中，AB AC，D，E 是 BC 边上的点，将ABD 绕点 A 旋转，得到ACD，连接 DE.(1)如图 1，当BAC 120 时，DAE 60时，求证：DEDE；(2)如图 2，当 DEDE 时， DAE 与BAC 有怎样的数量关系？请写出，并说明理由(3)如图 3，在(2)的结论下，当BAC 90，BD 与 DE 满足怎样的数量关系时，DEC 是等腰直角三角形？( 直接写出结论，不必说明理由)类型 2 基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边
3、三角形内的一个小三角形，旋转 60 度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决【例 2】如图，点 P 为等边ABC 内一点，且 PA2，PB1，PC ，求APB 的度数3【思路点拨】 将APC 绕点 A 顺时针旋转 60，得ADB.连接 DA，DP，DB，得ADAP，DBPC ，DAP 60.从而可证ADP 为等边三角形，所以 DPAP2，DPA60.在3DPB 中，利用勾股定理逆定理可得DBP 90，DPB60.从而可得APB120.2如图所示，点 P 是等边ABC 内一
4、点，PB2，PC1，BPC150，求 PA 的长3如图所示，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角BDC120的等腰三角形，以 D 为顶点作一角等于 60.角的两边分别交 AB、AC 于 M、N，连接 MN，构成一个AMN ，求AMN 的周长参考答案【例 1】 AE 2BF 2EF 2.证明：将OFB 绕点 O 顺时针旋转 90，得OHA. 连接HE，OH OF，AHBF，BOF AOH，HOF 90.四边形 ABCD 是正方形，DAB90，AOB90.EOF45，AOEBOFAOBEOF 904545.AOE AOH EOH45.EOHEOF.在 EOH 和EOF 中，OHOF，
5、EOHEOF， OEOE，EOH EOF(SAS)EF EH. 在 RtAEH 中，由勾股定理得EH2AH 2AE 2，AH BF，AE 2BF 2EF 2. 1.(1)证明：ABD 绕点 A 旋转得到ACD，ADAD，CADBAD.BAC120，DAE 60， DAE CADCAEBADCAEBACDAE 1206060.DAE DAE.在ADE 和ADE 中，ADAD ，DAEDAE，AE AE，ADEADE(SAS)DEDE.(2)DAE BAC.理由如下：在ADE 和ADE 中，AD AD，AEAE，DE DE，ADE12ADE(SSS) DAE DAE.BADCAECADCAEDAE
6、DAE. DAE BAC.12(3)BAC90，ABAC，B ACB ACD45.DCE454590.DEC 是等腰直角三角形，DE CD.由(2)可得 DEDE，ABD 绕点 A 旋转得到2ACD，BD CD.DE BD. 2【例 2】 ABC 为等边三角形，ABAC，BAC60.将APC 绕点 A 顺时针旋转 60，得ADB.连接 DA，DP，DB，得 ADAP2，DB PC ，DAP60.ADP 为等边三角形，所以3DPAP2，DPA60.在DPB 中，DB ，BP 1，DP 2，DP 2BP 2DB 2.DBP90，3DPB 60.APB DPBDPA6060 120. 2.将APC
7、绕点 C 按逆时针旋转 60，使 CA 移至 CB 处，PC 移到 PC ，PA 移到 PB.PCP60，PCP是等边三角形PPC60，PPPC1. BPC150，BPP90.在 RtBPP 中，BP2， PPPC 1，由勾股定理得 PB PA.PA . 22 1 5 53.因为ABC 为等边三角形，DBC 为等腰三角形，BDC120，所以以 D 为旋转中心，按顺时针方向将DBM 旋转 120如图，且 N、C 、E 三点在同一条直线上所以 DMDE，CEBM，BDMCDE.因为MDN60，所以BDMNDC60.所以NDE60.在DMN 和DEN 中，DMDE，MDNEDN，DNDN，所以DMNDEN.所以 NEMN. 所以AMN 的周长AMMN ANAMNEANAMNCCEANAM NCMB AN.即AMN 的周长ABAC.因为ABAC1，故AMN 的周长为 2.
