1、第五章 数列第 4 课时 数列的求和( 对应学生用书 (文)、(理)76 78 页)考情分析 考点新知理解数列的通项公式；会由数列的前 n 项和求数列通项公式，及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式掌握等差数列、等比数列前 n 项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等 掌握求数列通项公式的常用方法. 掌握数列求和的常用方法.1. 在数列a n中，若 a11，a n1 a n2(n1) ，则该数列的通项 an_答案：a n2n1解析：由已知a n为等差数列， da n1 a n2， a n2n1.2. 已知数列a n中，a 11，(n 1)a n1 na
2、 n(nN *)，则该数列的通项公式an_答案：a n1n解析： .ana1 anan 1 an 1an 2 a2a1 1n3. (必修 5P44 习题 2(2)改编) 0n=（1+2 n）=_ 答案：441解析：20n=(12n)1(1 21) (122)(1 220)212 441.20（1 20）24. (必修 5P60 复习题 8(1)改编)数列a n的前 n 项和为 Sn，若 an ，则1n（n 1）S4_答案：45解析：a n ， S 41 .1n（n 1） 1n 1n 1 12 12 13 13 14 14 15 455. (必修 5P51 例 3 改编) 数列 1 ，2 ，3
3、，4 ，的前 n 项和是 _12 14 18 116答案：S n 1n（n 1）2 12n解析：S n(1 23n) 1(12 122 12n) n（n 1）2121 (12)n1 12 n（n 1）2.12n1. 当已知数列a n中，满足 an1 a nf(n)，且 f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an.2. 当已知数列 an中，满足 f(n)，且 f(1)f(2)f(n)可求，则可用迭乘法求数an 1an列的通项 an.3. (1) an S1， n 1，Sn Sn 1， n 2.)(2) 等差数列前 n 项和 Sn ，推导方法：倒序相加法n（a1 an）2(3)
4、等比数列前 n 项和 Sn na1， q 1，a1 anq1 q a1（1 qn）1 q ， q 1.)推导方法：错位相减法4. 常见数列的前 n 项和：(1) 123n ；n（n 1）2(2) 2462nn(n 1)；(3) 135(2n1)n 2；(4) 122 23 2n 2 n（n 1）（2n 1）65. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4) 倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导方法6
5、. 常见的拆项公式有：(1) ；1n（n 1） 1n 1n 1(2) ；1（2n 1）（2n 1） 12( 12n 1 12n 1)(3) ；1n（n 1）（n 2） 12 1n（n 1） 1（n 1）（n 2）(4) ( ).1a b 1a b a b题型 1 求简单数列的通项公式例 1 求下列数列a n的通项公式：(1) a11，a n1 a n2n1；(2) a11，a n1 2 nan.解：(1) a nn 2 (2) an2n（n 1）2 变 式 训 练求下列数列a n的通项公式：(1) a11，a n1 2a n1；(2) a11，a n1 ；2an2 an(3) a12，a n1
6、 a .2n解：(1) a n2 n1 (2) an (3) a n22 n12n 1题型 2 分组转化求和例 2 求下面数列的前 n 项和：1 ，3 ，5 ，7 ， 12 14 18 116解：S n1 3 5 7 12 14 18 116 （2n 1） 12n135(2n1) (12 14 18 12n) n 2 1.n1 （2n 1）212(1 12n)1 12 12n备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 an 5n 1， n为 奇 数 ，2n2 ， n为 偶 数 . )(1) 求数列a n的前 10 项和 S10；(2) 求数列a n的前 2k 项和 S2k.解：(1) S 10(
7、616263646)(2 2 22 32 42 5) 192.5（6 46）2 2（1 25）1 2(2) 由题意知数列a n的前 2k 项中，k 个奇数项组成首项为 6，公差为 10 的等差数列，k 个偶数项组成首项为 2，公比为 2 的等比数列 S2k616(10k4)(22 22 k) 5k 2k2 k1 2.k6 （10k 4）2 2（1 2k）1 2题型 3 裂项相消求和例 3 求下面各数列的前 n 项和：(1) ， ， ， ，115 137 159 1711(2) ， ， ， ，2222 1 4242 1 6262 1 8282 1解：(1) a n ( )，1（2n 1）（2n
8、3） 14 12n 1 12n 3 Sn (1 ) (1 14 15 13 17 15 19 12n 3 12n 1 12n 1 12n 3 14 13 12n 1) .12n 3 n（4n 5）3（2n 1）（2n 3）(2) a n 1（2n）2（2n 1）（2n 1） 1（2n 1）（2n 1）1 ，12( 12n 1 12n 1) S nn .12(1 12n 1) 2n（n 1）2n 1备 选 变 式 （教 师 专 享 ）求 1 .11 2 11 2 3 11 2 3 n解：a k2 ，S n .(1k 1k 1) 2nn 1题型 4 倒序相加求和例 4 设 f(x) ，求 f(12
9、) f(11)f( 10)f(0)f(11) f(12)13x 3f(13)的值解： f(x) f(1x) ， 原式 .33 133 3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）一个等差数列前 4 项之和为 26，最末 4 项之和为 110，所有项之和为 187，则它的项数为_答案：11解析：a 1a 2a 3a 426，a na n1 a n2 a n3 110，a 1a n 34.26 1104又 Sn 187，n 11.n（a1 an）2题型 5 错位相减求和例 5 在各项均为正数的等比数列a n中，已知 a22a 13，且 3a2，a 4，5a 3 成等差数列(1) 求数列a n的通项公式；
10、(2) 设 bnlog 3an，求数列a nbn的前 n 项和 Sn.解：(1) 设a n公比为 q，由题意得 q0，且 即a2 2a1 3，3a2 5a3 2a4，) a1（q 2） 3，2q2 5q 3 0，)解得 或 (舍 )，a1 3，q 3) a1 65，q 12)所以数列a n的通项公式为 an33 n1 3 n，nN (2) 由(1)可得 bnlog 3ann，所以 anbnn3 n.所以 Sn13 23233 3n3 n，所以 3Sn13 223 333 4n3 n1 ，两式相减得，2S n3(3 23 33 n)n3 n1 (33 23 33 n)n3 n 1 n3 n1 ，
11、3（1 3n）1 3 3 （2n 1）3n 12所以数列a nbn的前 n 项和 Sn .3 （2n 1）3n 14备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知数列a n的前 n 项和为 Sn3 n1.(1) 求数列a n的通项公式；(2) 若 bnlog (Sn1) ，求数列b nan的前 n 项和 Tn.13解：(1) 当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 (3 n1)(3 n1 1) 23 n1 ，综上所述，a n23 n1 .(2) bnlog (Sn1) log 3nn，1313所以 bnan2n3 n1 ，Tn2143 163 22n3 n1 ，3Tn23
12、143 22(n1) 3n1 2n3 n，相减，得2T n2123 123 223 n1 2n3 n2(13 13 23 n 1)2n3 n，所以 Tn(1 3 13 23 n1 )n3 n n3 n1 3n1 3 ，nN *.（2n 1）3n 121. 数列a n的首项为 3，b n为等差数列且 bna n1 a n(nN )若b32，b 1012，则 a8_答案：3解析：已知 bn2n8，a n1 a n2n8，由叠加法(a 2a 1)(a 3a 2)(a 8a 7)64202460 a8a 13.2. (2013大纲)等差数列 an中， a74，a 192a 9.(1) 求a n的通项公
13、式；(2) 设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn.1nan解：(1) 设等差数列a n的公差为 d，则 ana 1(n 1)d，因为 所以a7 4，a19 2a9，) a1 6d 4，a1 18d 2（a1 8d）.)解得 a11，d .12所以a n的通项公式为 an .n 12(2) bn ，1nan 2n（n 1） 2n 2n 1所以 Sn (21 22) (22 23) (2n 2n 1) .2nn 13. (2013湖南)设 Sn 为数列a n的前 n 项和，已知 a10， 2ana 1S 1Sn，nN (1) 求 a1，a 2，并求数列a n的通项公式；(2) 求数列na
14、n的前 n 项和解：(1) S1a 1. 当 n1 时，2a 1a 1S 1S1 a10，a 11.当 n1 时，a nS nS n1 2a n2a n1 an2a n12an a1S1 2an 1 a1S1 an是首项为 a11 公比为 q2 的等比数列，a n2 n1 ，nN *.(2) 设 Tn1a 12a 23a 3 na n qTn1qa 12qa 23qa 3 nqa n qTn1a 22a 33a 4 na n1 ，上式左右错位相减：(1q)T na 1a 2a 3a nna n1 a 1 na n1 2n1n2 n1 qn1 q Tn(n1)2 n1，nN *.4. 已知等差数
15、列a n前三项之和为 3，前三项积为 8.(1) 求等差数列a n的通项公式；(2) 若 a2，a 3，a 1 成等比数列，求数列 |an|的前 n 项和解：(1) 设公差为 d，则 3a1 3d 3，a1（a1 d）（a1 2d） 8，)解得 或a1 2，d 3) a1 4，d 3. ) an3n5 或 an3n7.(2) 当 an3n5 时，a 2，a 3，a 1 分别为1，4，2 不成等比数列；当 an3n7 时，a 2，a 3，a 1 分别为1，2，4 成等比数列，满足条件当|a n|3n7| 3n 7，n 1，2，3n 7，n 3. )n1，S 14；n2 时，S 25；当 n3 时
16、，S n|a 1|a n| n2 n10.32 112又 n2 满足此式， Sn 4（n 1），32n2 112n 10（n 1）.)1. 已知数列 an 求 a1a 2a 3a 4a 99a 100 的值n 1， n为 奇 数 ，n， n为 偶 数 ， )解：由题意得a1a 2a 3a 4a 99a 1000224498 981002(24698)1002 1005 000.49（2 98）22. 已知各项均为正数的数列a n的前 n 项的乘积 Tn (nN *)，b nlog 2 an，则(14)n2 6n数列b n的前 n 项和 Sn 取最大时，n_答案：3解析：当 n1 时，a 1T
17、14 52 10，当 n2 时，a n TnTn 1 (14)n2 6n （n 1）2 6（n 1）2 144n ，此式对 n1 也成立，所以 an2 144n ，从而 bnlog 2an144n，可以判(14)2n 7断数列b n是首项为 10，公差为4 的等差数列，因此 Sn2n 212n，故当 n3 时，S n有最大值3. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，对一切正整数 n，点 Pn(n，S n)都在函数 f(x)x 22x 的图象上，且在点 Pn(n，S n)处的切线的斜率为 kn.(1) 求数列a n的通项公式；(2) 若 bn2k nan，求数列b n的前 n 项和 Tn.解：
18、 (1) 点 Pn(n，S n)在函数 f(x)x 22x 的图象上， Snn 22n(nN *)，当 n2 时，a nS nS n1 2n1，当 n1 时，a 1S 13 满足上式，所以数列a n的通项公式为 an2n1.(2) 由 f(x)x 22x，求导得 f(x)2x2. 在点 Pn(n， Sn)处的切线的斜率为 kn， k n2n2， b n2k nan4(2n1)4 n， Tn434454 2474 34(2n 1)4n，用错位相减法可求得Tn 4n2 .6n 19 1694. 已知等差数列a n是递增数列，且满足 a4a715，a 3a 88.(1) 求数列a n的通项公式；(2
19、) 令 bn (n2)，b 1 ，求数列b n的前 n 项和 Sn.19an 1an 13解：(1) 根据题意： a3a 88a 4a 7，a 4a715，知： a4，a 7 是方程 x28x150的两根，且 a4a7，解得 a4 3，a 75，设数列a n的公差为 d，由 a7a 4(7 4)d，得 d .故等差数列a n的通项公式为23ana 4(n 4)d 3 (n4) .23 2n 13(2) 当 n2 时，b n 19an 1an 19(23n 13)(23n 13) .1（2n 1）（2n 1） 12( 12n 1 12n 1)又 b1 ，13 12(1 13) S nb 1b 2b n12(1 13 13 15 12n 1 12n 1) .12(1 12n 1) n2n 11. an 的两种常见变形ana 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )(累加法)ana 1 (累乘法)a2a1 a3a2 anan 12. 数列求和的方法技能 倒序相加 错位相减 分组求和 拆项相消3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到广泛应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究是解决数列综合问题的最基本思维方法请 使 用 课 时 训 练 （B）第 4课 时 （见 活 页 ）.备课札记
