1、第八章 立体几何初步第 1 课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系(对 应 学 生 用 书 （文 ）97 99页（理 ）99 101页 )考情分析 考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系了解公理 1、2、3 及公理 3 的推论1、2、3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角.1. (原创) 已知点 P、Q，平面 ，将命题“P ，Q PQ”改成文字叙述是_答案：若点 P 在平面 内，点 Q 不在平面 内，则直线 PQ 不在平面 内解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面
2、之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化2. (原创) 有下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线，则此四点共面；空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中正确的命题是_( 填序号)答案：解析：只须四点共面，任何三点不必共线；正确；错误3. (必修 2P28 习题 1 改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与 AD1 平行的对角线有_条. 答案：1解析：与 AD1 平行的对角线仅有 1 条，即 BC1.4. (必修 2P31 练习 12 改编)如图所示，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是
3、棱AB，BC ，CD，DA 的中点，则(1) 当 AC，BD 满足条件_ 时，四边形 EFGH 为菱形；(2) 当 AC，BD 满足条件_ 时，四边形 EFGH 是正方形答案：ACBD AC BD 且 ACBD解析：易知 EHBDFG，且 EH BDFG，同理 EFACHG，且12EF ACHG ，显然四边形 EFGH 为平行四边形要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足12EFEH，即 ACBD；要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EFEH 且 EFEH，即ACBD 且 ACBD.5. (必修 2P24 练习 3 改编)设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线， 、 表示两个平面，给出下列四
4、个命题，其中正确的命题是_(填序号) Pa，P a； abP，b a ； ab，a ，Pb，P b； b，P，P Pb.答案：解析：当 aP 时，P，P，但 a， 错；aP 时，错；如图， ab，P b， Pa， 由直线 a 与点 P 确定唯一平面 .又 ab，由 a 与 b确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 P， 与 重合， b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确1. 公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有
5、一个平面推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系位置关系 共面情况 公共点个数相交直线 在同一平面内 1平行直线 在同一平面内 没有异面直线 不同在任何一个平面内 没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等备课札记题型 1 平面的基本性质例 1 画一个正方体 ABCDA1B1C1D1，再画出平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线，并且说明理由
6、解：FCD 1、 F平面 ACD1、EAC、E平面 ACD1、EBD、E平面BDC1、FDC 1、F平面 DC1B，则 EF 为所求备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在长方体 ABCDA1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示，其中 P 点不在对角线 B1D1)上(1) 过 P 点在空间作一直线 l，使 l直线 BD，应该如何作图？并说明理由；(2) 过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 角，其中 ，这(0， 2)样的直线有几条，应该如何作图？解：(1) 连结 B1D1，BD ，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 lB 1D1，则 l 即
7、为所求作的直线，如图(a) B 1D1 BD，l B 1D1， l直线 BD.图(a)(2) BDB 1D1， 直线 m 与直线 BD 也成 角，即直线 m 为所求作的直线，如图(b)由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 .(0，2当 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 时，这样的直线 m 有两条2 2图(b)题型 2 共点、共线、共面问题,例 2) 如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC= AD，BE = FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点12 12(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形(2) C、 D、F、E 四点是
8、否共面？为什么？(1) 证明：由已知 FGGA，FHHD，可得 GH= AD.又 BC= AD， 12 12GH=BC. 四边形 BCHG 为平行四边形(2) 解：( 解法 1)由 BE= AF，G 为 FA 中点知，BE = FG， 四边形 BEFG 为平12行四边形 EFBG.由(1)知 BGCH ， EFCH， EF 与 CH 共面又DFH ， C、D、F、E 四点共面(解法 2)如图，延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M、M， BE= AF， B 为12MA 中点 BC= AD， B 为 MA 中点 M 与 M重合，即 FE 与 DC 交于点12M(M) C、D、F、E 四点共面
9、变 式 训 练如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC、BD交于点 M，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点求证：(1) C1、 O、M 三点共线；(2) E、C、D 1、F 四点共面证明：(1) C1、O、M 平面 BDC1，又 C1、O 、M平面 A1ACC1，由公理 2 知，点 C1、 O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上， C1、O、M 三点共线(2) 连结 EF，A、B、C、D， E、F 分别是 AB，A 1A 的中点， EFA 1B. A1BCD 1， EFCD 1. E、C 、D 1、F 四点共
10、面题型 3 空间直线位置关系问题例 3 已知 A 是BCD 平面外的一点，E，F 分别是 BC， AD 的中点(1) 求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2) 若 ACBD，ACBD，求 EF 与 BD 所成的角(1) 证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B 、C 、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2) 解 ：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所
11、成的角在 RtEGF 中，由 EGFG AC，求得12FEG 45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面的射影恰好是底面菱形 ABCD 的两条对角线的交点，若 AB3，PB4，则 PA 长度的取值范围为_ 答案：( ，5)7解析：由题意知 PO平面 ABCD，AB3，PB4，设 POh，OBx，则PA2h 29x 216x 2x 29252x 2，因为 0x3，所以 7252x 225，所以PA5.71. (2013福州检测)给出下列四个命题： 没有公共点的两条直线平行； 互相垂直的两条直线是相交直线； 既
12、不平行也不相交的直线是异面直线； 不同在任一平面内的两条直线是异面直线其中正确命题是_(填序号)答案：解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题、正确2. 下列命题错误的是_(填序号) 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 ； 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ； 如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么直线 l平面 ； 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 .答案：解析：根据长方体模型可知，是错的3. 如图是正
13、四面体的平面展开图，G ，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中： GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的是_(填序号)答案：解析：还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN成 60角，DEMN.4. 若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则下列命题正确的是 _(填序号) 内的所有直线与 l 异面； 内不存在与 l 平行的直线； 内存在唯一的直线与 l 平行； 内的直线与 l 都相交答案：5. 从正方体 ABCDA 1B1C1D1
14、 的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点，这 4 个顶点可能是：(1) 矩形的 4 个顶点；(2) 每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点；(3) 每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点；(4) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的 4 个顶点其中正确的结论有_个答案：4解析：四边形 ABCD 适合(1)，四面体 ACB1D1 适合(2)，DB 1C1D1 适合(3)，DA 1C1D1适合(4)，因此正确的结论有 4 个1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件(填“充分不必要 ”、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “
15、既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点2. (2013南昌模拟)若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则下列命题中假命题的是_(填序号) 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行； 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直； 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交； 过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面答案：解析：是假命题，因为过点 P 不存在一条直线与 l、m 都平行；是真命题，因为过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；
16、是假命题，因为过点 P 也可能没有一条直线与 l、m 都相交；是假命题，因为过点 P可以作出无数条直线与 l、m 都异面，这无数条直线在过点 P 且与 l、m 都平行的平面上3. 如图，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB 的延长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K.求证： M、N、K 三点共线证明： MPQ ，直线 PQ平面 PQR，MBC，直线 BC平面 BCD， M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点，即 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线 l 上同理可证：N、K 也在 l 上 M 、N 、K 三点共线4. 已知：a、b
17、、c 、d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d 共面证明：证法 1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a、b、c 相交于一点A， 直线 d 和 A 确定一个平面 .又设直线 d 与 a、b、c 分别相交于 E、F、G ，则 A、E 、 F、G . A、E ，A 、Ea， a .同理可证 b，c . a、b、c、d 在同一平面 内证法 2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相交直线 a、b 确定一个平面 .设直线 c 与 a、b 分别交于点 H、K，则 H、K. 又H、Kc， c.同理可证 d. a、b、c、d 四条直线在同一平面 内1. 证明点
18、线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是两个平面的一条交线3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理( 过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是 以及两条直线垂直的定义，平移(0， 2法是解决此类问题的关键请 使 用 课 时 训 练 （B）第 1课 时 （见 活 页 ）.备课札记
