1、第九章 平面解析几何第 7 课时 椭 圆(2) (对 应 学 生 用 书 （文 ）128 131页（理 ）133 136页 )考情分析 考点新知根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 掌握椭圆的简单应用.1. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G 的32两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_答案： 1x236 y29解析：e ， 2a12，a6，b3，则所求椭圆方程为 1.32 x236 y292. 已知 F1、F 2
2、 是椭圆 C： 1(a b0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且x2a2 y2b2 .若PF 1F2 的面积为 9，则 b_. PF1 PF2 答案：3解析：依题意，有 |PF1| |PF2| 2a，|PF1|PF2| 18，|PF1|2 |PF2|2 4c2，)可得 4c2364a 2，即 a2c 29，故 b3.3. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D, 且 2 ，则 C 的离心率为 _BF FD 答案：33解析：(解法 1)如图，|BF| a.作 DD1y 轴于点 D1，则由 2 ，得b2 c2 BF FD ，所以|DD 1|
3、 |OF| c，即 xD ，由椭圆的第二定义得|OF|DD1| |BF|BD| 23 32 32 3c2|FD|e a .又由 |BF|2|FD| ，得 a2a ，即 e .(a2c 3c2) 3c22a 3c2a 33(解法 2)设椭圆方程为 1(ab，b0)，设 D(x2，y 2)，F 分 BD 所成的比为x2a2 y2b22，x F x2 xF c；y F y2 ，代入 0 2x21 2 32 32 b 2y21 2 3yF b2 30 b2 b2 94 c2a2 141 e .b2b2 334. F1，F 2 是椭圆 y 21 的左右焦点，点 P 在椭圆上运动则 的最大值是x24 PF
4、1 PF2 _答案：1解析：设 P(x，y)，依题意得 F1( ，0)，F 2( ，0) ， ( x)( x)3 3 PF1 PF2 3 3y 2x 2y 23 x22. 0x 24， 2 x221. 的最大值是 1.34 34 PF1 PF2 5. 已知 F1、F 2 为双曲线 C：x 2y 21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F 1PF260，则|PF 1|PF2|_答案：4解析：由余弦定理得cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| cos60（|PF1| |PF2|）2 2|PF1|PF2| |F1F2|22|PF1|PF2| ，12 22 2
5、|PF1|PF2| （22）22|PF1|PF2|即|PF 1|PF2|4.1. 椭圆的第二定义平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离的比是常数 e(点 F 不在直线 l 上)的点的轨迹是椭圆定点 F 是焦点，定直线 l 是准线，常数 e 是离心率2. 椭圆的焦半径(1) 对于焦点在 x 轴上的椭圆 1(ab0)，设 P(x，y) 是椭圆上任一点，则x2a2 y2b2|PF1|aex； |PF2|aex (2) 对于焦点在 y 轴上的椭圆 1(ab0) ，设 P(x，y)是椭圆上任一点，则y2a2 x2b2|PF1|aey；|PF 2|aey.题型 1 求综合情况下椭圆的基
6、本量例 1 如图，F 1、F 2 是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，点 M 在 x 轴上，且 x2a2 y2b2 OM ，过点 F2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，且 AMx 轴， 0.32OF2 AF1 AF2 (1) 求椭圆的离心率；(2) 若ABF 1 的周长为 4 ，求椭圆的方程6解：(1) 设 F1(c ，0)，F 2(c，0) ，A(x 0，y 0)，椭圆的离心率为 e，则 M ，x 0(32c，0)c.32 e， |AF 1|aex 0.同理，|AF 2|aex 0.|AF1|x0 a2c 0， AF 1AF 2，AF1 AF2 |AF 1|2|AF 2|2|F 1F2|2，
7、(aex 0)2(aex 0)24c 2, 即 a2e 2x 2c 2.20 x 0 c， a2e 2 c2 2c2, 32 34 1 e42e 2，即 3e48e 240，34 e 2 或 2(舍)， 椭圆的离心率 e .23 63(2) ABF 2 的周长为 4 ， 4a4 ，6 6 a .又 ， c 2, b 22.6ca 63 椭圆方程为 1.x26 y22备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知椭圆的右焦点 F ，左、右准线分别为 l1：x m1，l 2：xm1，且(m， 0)l1、l 2 分别与直线 yx 相交于 A、B 两点(1) 若离心率为 ，求椭圆的方程；22(2) 当 b0
8、) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，x2a2 y2b2且直线 x4 是它的右准线(1) 求椭圆的方程；(2) 设 P 为椭圆右准线上不同于点(4 ，0)的任意一点，若直线 BP 与椭圆相交于两点B、N，求证：NAP 为锐角(1) 解：依题意，得 解得 从而 b ，故椭圆的方程为 1 .a 2c，a2c 4，) a 2，c 1，) 3 x24 y23(2) 证明：由(1)得 A(2，0)，B(2，0) ，设 N(x0，y 0)， N 点在椭圆上， y (4x )又 N 点异于顶点 A、 B，2034 20 20，y 00， 0，于是NAP 为锐角AN AP 备 选 变 式 （教 师 专 享
9、 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，右顶点x2a2 y2b2为 A，动点 M 为右准线上一点(异于右准线与 x 轴的交点) ，设线段 FM 交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为 ，点 M 的横坐标为 .23 92(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设直线 PA 的斜率为 k1，直线 MA 的斜率为 k2，求 k1k2 的取值范围解：(1) 由已知，得 解得 ca 23，a2c 92，) a 3，c 2，) a2 9，b2 5.)椭圆 C 的标准方程为 1. x29 y25(2) 设点 P(x1， y1)(20)在直线x (a 为长半轴，
10、c 为半焦距 )上a2c(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求以 OM 为直径且被直线 3x4y50 截得的弦长为 2 的圆的方程；(3) 设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，求证：线段 ON 的长为定值，并求出这个定值(1) 解： 由点 M 在准线上，得 2，故 2， c1，从而 a ，所以椭圆a2c 1 c2c 2方程为 y 21.x22(2) 解：以 OM 为直径的圆的方程为 x(x2) y(yt)0，即(x1)2 1，其圆心为 ，半径 r ，因为以 OM 为直径的圆被直线(y t2)2 t24 (1，t2) t24 13x4y50 截得的弦
11、长为 2，所以圆心到直线 3x4y50 的距离 d ，所r2 1t2以 ，解得 t4，所求圆的方程为(x 1) 2(y2) 25.|3 2t 5|5 t2(3) 证明： 设 N(x0，y 0)，则 (x 01，y 0)， (2，t)， (x 02，y 0t)，FN OM MN (x 0，y 0)ON ， 2(x01) ty 00， 2x0ty 02.FN OM ， x0(x02)y 0(y0t)0， x y 2x 0ty 02， | |MN ON 20 20 ON 为定值2变 式 训 练已知椭圆 C： 1(ab0)，点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点，直线 ABx2a2 y2b2与圆
12、 G：x 2y 2 (c 是椭圆的半焦距) 相离，P 是直线 AB 上一动点，过点 P 作圆 G 的两c24切线，切点分别为 M、N.(1) 若椭圆 C 经过两点 、 ，求椭圆 C 的方程；(1， 423) (332， 1)(2) 当 c 为定值时，求证：直线 MN 经过一定点 E，并求 的值(O 是坐标原点) ；OP OE (3) 若存在点 P 使得PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围(1) 解：令椭圆 mx2ny 2 1，其中 m ，n ，得 所以 m ，n1a2 1b2 m 329n 1，274m n 1.) 19，即椭圆方程为 1.14 x29 y24(2) 证明：直线 AB：
13、 1，设点 P(x0，y 0)，则 OP 的中点为 ，所以点x a yb (x02，y02)O、M、 P、N 所在的圆的方程为 ，化简为 x2x 0xy 2y 0y0，(x x02)2 (y y02)2 与圆 x2y 2 作差，即直线 MN：x 0xy 0y .c24 c24因为点 P(x0，y 0)在直线 AB 上，得 1，x0 a y0b所以 x0 0，即(x bay) (by c24) x bay 0，by c24 0，)得 x ，y ，故定点 E ，c24a c24b ( c24a，c24b) .OP OE (x0，bax0 b) ( c24a，c24b) c24(3) 解：由直线 A
14、B 与圆 G：x 2y 2 (c 是椭圆的焦半距)相离，则 ，即c24 aba2 b2 c24a2b2c 2(a2b 2)，4a 2(a2c 2)c 2(2a2c 2)，得 e46e 240.因为 0e1，所以0e 23 .连结 ON、OM、OP，若存在点 P 使PMN 为正三角形，则在 RtOPN5中，OP2ON2rc ，所以 c，a 2b2c 2(a2b 2)，a 2(a2c 2)c 2(2a2c 2)，得aba2 b2e43e 210.因为 0e 1，所以 e 21 .3 52由得 e 23 ，所以 e .3 52 5 5 12 10 22【示例】(本题模拟高考评分标准，满分 14 分)
15、已知曲线 C：(5m)x 2(m2)y 28(mR )(1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；(2) 设 m4，曲线 C 与 y 轴的交点为 A，B(点 A 位于点 B 的上方) ，直线 ykx4与曲线 C 交于不同的两点 M，N ，直线 y1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G ，N 三点共线学生错解：解：(1) 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，当且仅当 解得5 m0，m 20， )2m5，所以 m 的取值范围是(2，5) (2) 当 m4 时，曲线 C 的方程为 x22y 28，点 A，B 的坐标分别为(0，2) ，(0，2)由 得(12k 2)x216k
16、x240.y kx 4，x2 2y2 8， )设点 M，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y1kx 1 4，y 2kx 24，x 1x 2，x 1x2 . 16k1 2k2 241 2k2直线 BM 的方程为 y2 x，点 G 的坐标为 .y1 2x1 ( 3x1y1 2， 1)因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN ，k AG ，所以 kANk AGy2 2x2 y1 23x1 k k 0.y2 2x2 y1 23x1 kx2 2x2 kx1 63x1 43 2（x1 x2）x1x2 432 16k1 2k2241 2k2即 kANk AG.故 A，G，
17、N 三点共线审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆；(2) 证明三点共线的常用方法规范解答： 解：(1) 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，当且仅当 (3 分)5 m 0，m 2 0，85 m 8m 2， )解得 m5，所以 m 的取值范围是 .(4 分)72 (72， 5)(2) 当 m4 时，曲线 C 的方程为 x22y 28，点 A，B 的坐标分别为(0，2) ，(0，2)(5 分 )由 得(12k 2)x216kx240.(6 分)y kx 4，x2 2y2 8， )因为直线与曲线 C 交于不同的两点，所以 (16k) 24(12k 2)240，即 k2 .(732分
18、)设点 M，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y1kx 1 4，y 2kx 24，x1x 2 ，x 1x2 .(8 分) 16k1 2k2 241 2k2直线 BM 的方程为 y2 x，y1 2x1点 G 的坐标为 .(9 分 )(3x1y1 2， 1)因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN ，k AG ，(11 分)y2 2x2 y1 23x1所以 kANk AG k ky2 2x2 y1 23x1 kx2 2x2 kx1 63x1 43 2（x1 x2）x1x2 430.2 16k1 2k2241 2k2即 kANk AG.(13 分)故 A，G，N
19、三点共线(14 分)错因分析： 易忽视焦点在 x 轴上，漏掉 这一条件，从而失误联立消元85 m 8m 2后易忽视 0 这一前提条件1. 已知直线 l 经过点(1，0)且一个方向向量 d(1 ，1)椭圆 C： 1(m1)的x2m y2m 1左焦点为 F1.若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，满足 0，求实数 m 的值F1A F1B 解：由已知可得直线 l 的方程： yx1，左焦点 F1(1，0)，设点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)， 整理得：(2m1)x 22mx2mm 20.当 m1 时，y x 1，x2m y2m 1 1，)4m(2m 24m2)0 恒成立因为 (x 11
20、，y 1)， (x 21，y 2)，F1A F1B 所以(x 11)(x 21)y 1y20.(*)因为 y1x 11，y 2x 21，所以(*)式化简得：x 1x210.由此可得 10，(m1)，由此解得 m2 .2m m22m 1 32. 如图，已知椭圆 1(ab0) 的离心率为 ，且过点 A(0，1) x2a2 y2b2 32(1) 求椭圆的方程；(2) 过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点 M、N，求证：直线 MN 恒过定点P .(0， 35)(1) 解：由题意知：e ，b1，a 2c 21，解得 a2，所以椭圆的标准方程为ca 32y 21.x24(2) 证明：设直线 AM
21、的方程为 ykx1(k0) ，由方程组 得(4k 21)y kx 1，x24 y2 1，)x28kx0，解得 x1 ，x 20，所以 xM ，y M .用 代替上面8k4k2 1 8k4k2 1 1 4k24k2 1 1k的 k，可得 xN ，y N .因为8kk2 4 k2 4k2 4kMP ，k NP ，所以 kMPk NP，因为1 4k24k2 1 35 8k4k2 18 8k25 8k k2 15kk2 4k2 4 358kk2 4 8k2 858k k2 15kMP、 NP 共点于 P，所以 M、N 、P 三点共线，故直线 MN 恒过定点 P .(0， 35)3. 如图，在平面直角坐
22、标系 xOy 中，已知 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1(ab0) 的x2a2 y2b2左、右焦点，A，B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，且 5 0.AF2 BF2 (1) 求椭圆 E 的离心率；(2) 已知点 D(1，0) 为线段 OF2 的中点，M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B)，连结MF1 并延长交椭圆 E 于点 N，连结 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q，连结 PQ，设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1、k 2，试问是否存在常数 ，使得 k1k 20 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解：(1) 5 0， 5 . ac5(a c)，化简得 2
23、a3c，故AF2 BF2 AF2 F2B 椭圆 E 的离心率为 .23(2) 存在满足条件的常数 ， .点 D(1，0)为线段 OF2 的中点， c2，从而47a3，b ，左焦点 F1(2，0)，椭圆 E 的方程为 1，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，5x29 y25P(x3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则直线 MD 的方程为 x y1，代入椭圆方程 1，整x1 1y1 x29 y25理得， y2 y40. y1y 3 ， y3 .从而 x3 ，x1 1y1 y1（x1 1）x1 5 4y1x1 5 5x1 9x1 5故点 P .同理，点 Q . 三点 M、F 1、N 共线，
24、 (5x1 9x1 5，4y1x1 5) (5x2 9x2 5，4y2x2 5) y1x1 2，从而 x1y2x 2y12(y 1y 2)从而 k2 y2x2 2 y3 y4x3 x44y1x1 5 4y2x2 55x1 9x1 5 5x2 9x2 5 ，故 k1 0，从而存在满足条件的常数x1y2 x2y1 5（y1 y2）4（x1 x2） 7（y1 y2）4（x1 x2） 7k14 4k27 .474. 如图，正方形 ABCD 内接于椭圆 1(ab0) ，且它的四条边与坐标轴平行，x2a2 y2b2正方形 MNPQ 的顶点 M、N 在椭圆上，顶点 P、Q 在正方形的边 AB 上，且 A、M
25、 都在第一象限(1) 若正方形 ABCD 的边长为 4，且与 y 轴交于 E、F 两点，正方形 MNPQ 的边长为 2. 求证：直线 AM 与ABE 的外接圆相切； 求椭圆的标准方程；(2) 设椭圆的离心率为 e，直线 AM 的斜率为 k，求证：2e 2k 是定值(1) 证明： 依题意：A(2，2) ，M(4 ，1) ，E(0， 2)， (2 ，1)，AM (2， 4)， 0， AMAE.AE AM AE AE 为 RtABE 外接圆直径， 直线 AM 与ABE 的外接圆相切 解：由 解得椭圆标准方程为 1.4a2 4b2 1，16a2 1b2 1，) x220 y25(2) 证明：设正方形 ABCD 的边长为 2s，正方形 MNPQ 的边长为 2t，则 A(s，s) ，M(s2t ，t) ，代入椭圆方程 1，x2a2 y2b2得 即s2a2 s2b2 1，（s 2t）2a2 t2b2 1，) 1a2 s ts2（s 3t），1b2 4ts2（s 3t），) e21 .b2a2 5t s4t k ，t s（s 2t） s t s2t 2e2k2 为定值
