1、 专题突破(十) 新定义问题 新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门” ，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律新定义题型是北京中考最后一题的热点题型 “该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特北京第 25 题分析 北京第 29 题分析年份 201
2、4 2015考点 新定义问题先学习后判断，函数综合 给出新定义，学习，应用12015 北京 在平面直角坐标系 xOy 中，C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 O 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点 P，满足 CPCP 2r，则称P为点 P 关于C 的反称点，如图 Z101 为点 P 及其关于C 的反称点 P的示意图(1)当O 的半径为 1 时分别判断点 M(2，1) ，N ( ，0) ，T(1， )关于O 的反称点是否存在，若存在，求其32 3坐标；点 P 在直线 yx 2 上，若点 P 关于O 的反称点 P存在，且点 P不在 x 轴上，求点 P 的横坐标
3、的取值范围(2)当C 的圆心在 x 轴上，且半径为 1，直线 y x2 与 x 轴、y 轴分别交于点33 3A，B.若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部，求圆心 C 的横坐标的取值范围图 Z10122014 北京 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0，对于任意的函数值y，都满足My M，则称这个函数是有界函数在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值例如，图 Z102 中的函数是有界函数，其边界值是 1.(1)分别判断函数 y (x0)和 yx1(4a) 的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围；(3)将函数 yx 2
4、(1xm， m0)的图象向下平移 m 个单位长度，得到的函数的边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足 t1?34图 Z10232013 北京 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 C，给出如下定义：若C 上存在两个点 A，B，使得APB60，则称 P 为C 的关联点已知点 D( ， )，E (0，2)，F(2 ，0)12 12 3(1)当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G，使GFO30，若直线 l 上的点 P(m，n)是O 的关联点，求 m 的取值范围；(2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的
5、半径 r 的取值范围图 Z10342012 北京 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1(x1，y 1)与 P2(x2，y 2)的“非常距离” ，给出如下定义：若|x 1x 2|y 1 y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为| x1x 2|；若|x 1x 2|y 1 y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为| y1y 2|.例如：点 P1(1， 2)，点 P2(3，5)，因为|13|2 5|，所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|2 5| 3，也就是图 Z104(a)中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于
6、 x 轴的直线 P2Q 的交点)(1)已知点 A( ，0)，B 为 y 轴上的一个动点12若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标；直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值(2)已知 C 是直线 y x3 上的一个动点，34如图(b)，点 D 的坐标是(0，1) ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标如图(c)，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应的点 E 和点 C 的坐标图 Z10412015 平谷一模 b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的
7、实数 x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b 对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值y 满足：当 m xn 时，有 myn，我们就称此函数是闭区间m，n 上的“闭函数” 如函数 yx4，当 x1 时， y3；当 x3 时，y1，即当 1x3 时，有 1y3，所以说函数 y x4 是闭区间 1，3上的“闭函数” (1)反比例函数 y 是闭区间1，2015 上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；2015x(2)若二次函数 yx 22x k 是闭区间1 ，2上的“闭函数” ，求 k 的值；(3)若一次函数 ykxb(k0) 是闭区间m ，n 上的“闭函数 ”，求此函数的解析式(用含m，n 的代
8、数式表示)22015 东城一模 定义符号 min 的含义为：当 ab 时，min b；当a， b a， bab 时，min a.如： min 2，min 1.a， b 1， 2 1， 2(1)求 min ；x2 1， 2(2)已知 minx22xk，33，求实数 k 的取值范围；(3)已知当2x3 时，min x22x15，m( x1)x 2 2x15.直接写出实数 m 的取值范围32015 海淀二模 如图 Z105(a) ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，0)，B( 1，1) ，C(1，0)，D(1，1) ，记线段 AB 为 T1，线段 CD 为 T2，点 P 是坐标系内一点给
9、出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 与 T1，T 2 都有公共点，则称点 P 是 T1T 2 联络点例如，点 P(0， )是 T1T 2 联络点12(1)以下各点中，_是 T1T 2 联络点(填出所有正确的序号 )；(0，2)；(4，2)；(3，2)(2)直接在图(a)中画出所有 T1T 2 联络点所组成的区域，用阴影部分表示(3)已知点 M 在 y 轴上，以 M 为圆心，r 为半径画圆，M 上只有一个点为 T1T 2 联络点，若 r1，求点 M 的纵坐标；求 r 的取值范围图 Z10542015 门头沟一模 如图 Z106，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线yax 2bxc(a0)的顶
10、点为 M，直线 ym 与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A 和点 B，如果AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A、B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点 M 称为碟顶，线段 AB 的长称为碟宽图 Z106(1)抛物线 y x2 的碟宽为_，抛物线 yax 2(a0)的碟宽为_12(2)如果抛物线 ya(x1) 26a(a0)的碟宽为 6，那么 a_(3)将抛物线 yna nx2b nxc n(an0)的准蝶形记为 Fn(n1，2，3，)，我们定义F1，F 2，F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比如果 Fn与 Fn1 的相似比为 ，12且 Fn的碟顶是
11、 Fn1 的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为F1.求抛物线 y2 的函数解析式请判断 F1，F 2，F n的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式；如果不是，说明理由图 Z10752015 朝阳一模 定义：对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ 和点 M，在MPQ中，当 PQ 边上的高为 2 时，称 M 为 PQ 的“等高点” ，称此时 MPMQ 为 PQ 的“等高距离” (1)若 P(1，2)，Q(4，2) 在点 A(1，0)，B( ，4)，C(0，3) 中，PQ 的“等高点”是_；52若 M(t，0) 为 PQ 的“等高点”
12、 ，求 PQ 的“等高距离” 的最小值及此时 t 的值(2)若 P(0，0)，PQ2，当 PQ 的“等高点”在 y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点 Q 的坐标图 Z10862015 通州一模 如图 Z109，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，3)，B(6 ，3)，连接 AB.若对于平面内一点 P，线段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ1，则称点 P 是线段 AB的“邻近点” (1)判断点 D( ， )是否是线段 AB 的“邻近点” _(填“是”或“否”)；75 195(2)若点 H(m，n)在一次函数 yx1 的图象上，且是线段 AB 的“邻近点” ，求 m 的取值范围；(3)若
13、一次函数 yxb 的图象上至少存在一个邻近点，直接写出 b 的取值范围图 Z10972015 海淀一模 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(a，b)和点 Q(a，b)，给出如下定义：若 b 则称点 Q 为点 P 的限变点例如：点 的限变点的坐b， a 1， b， a2)的图象上，其限变点 Q 的纵坐标 b的取值范围是5b 2，求 k 的取值范围(3)若点 P 在关于 x 的二次函数 yx 22txt 2t 的图象上，其限变点 Q 的纵坐标 b的取值范围是 b m 或 bn，其中 mn.令 sm n，求 s 关于 t 的函数解析式及 s 的取值范围图 Z101082015 西城一模 给出如
14、下规定：两个图形 G1 和 G2，点 P 为 G1 上任一点，点 Q为 G2 上任一点，如果线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1 和 G2 之间的距离在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点(1)点 A 的坐标为 A(1，0)，则点 B(2，3) 和射线 OA 之间的距离为_，点C(2，3) 和射线 OA 之间的距离为_(2)如果直线 yx 和双曲线 y 之间的距离为 ，那么 k_(可在图kx 2Z1011(a) 中进行研究 )(3)点 E 的坐标为(1， )，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 60，得到射线 OF，在坐3标平面内所有和射线 OE，OF 之间的距离
15、相等的点所组成的图形记为图形 M.请在图(b) 中画出图形 M，并描述图形 M 的组成部分；( 若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)将射线 OE，OF 组成的图形记为图形 W，抛物线 yx 22 与图形 M 的公共部分记为图形 N，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离图 Z1011参考答案北京真题体验1.解：(1)点 M(2，1)关于 O 的反称点不存在点 N( ，0)关于O 的反称点存在，反称点 N( ，0)32 12点 T(1， )关于O 的反称点存在，反称点 T(0，0) 3如图，直线 yx 2 与 x 轴、y 轴分别交于点 E(2，0)，点 F(0，2) 设点 P 的横坐标为
16、x.(i)当点 P 在线段 EF 上，即 0x2 时，0OP2，在射线 OP 上一定存在一点 P，使得 OPOP2，点 P 关于O 的反称点存在，其中点 P 与点 E 或点 F 重合时，OP 2，点 P 关于O 的反称点为 O，不符合题意，0x2.(ii)当点 P 不在线段 EF 上，即 x0 或 x2 时，OP2，对于射线 OP 上任意一点 P，总有 OPOP2，点 P 关于O 的反称点不存在综上所述，点 P 的横坐标 x 的取值范围是 0x 2.(2)若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部，则 1CP2.依题意可知点 A 的坐标为(6， 0)，点 B 的坐
17、标为(0，2 )，BAO30.3设圆心 C 的坐标为(x，0) 当 x6 时，过点 C 作 CHAB 于点 H，如图，0CHCP2，0CA4，06x4，2x 6，并且，当 2x6 时，CB2，CH2，在线段 AB 上一定存在点 P，使得 CP2，此时点 P 关于C 的反称点为 C，且点 C 在C 的内部，2x6.当 x6 时，如图.0CACP2，0x62，6x 8.并且，当 6x8 时，CB2，CA 2，在线段 AB 上一定存在一点 P，使得 CP2，此时点 P 关于C 的反称点为 C，且点 C 在C 的内部，6x8.综上所述，圆心 C 的横坐标 x 的取值范围是 2x8.2解：(1)y (x
18、0)不是有界函数1xyx1(4x 2)是有界函数，边界值为 3.(2)对于 yx1，y 随 x 的增大而减小，当 xa 时，ya12，a1，当 xb 时，yb1. 2 b 1 2，b a， )1b3.(3)由题意，函数平移后的表达式为yx 2m(1xm，m0) 当 x1 时，y 1m；当 x0 时，ym；当 xm 时，ym 2m.根据二次函数的对称性，当 0m1 时，1mm 2m.当 m1 时，1mm 2m.当 0m 时，1mm.12由题意，边界值 t1m.当 t1 时，0m ，34 140m .14当 m1 时，1mm.12由题意，边界值 tm.当 t1 时， m1，34 34 m1.34当
19、 m1 时，由题意，边界值 tm ，不存在满足 t1 的 m 值34综上所述，当 0m 或 m1 时，满足 t 1.14 34 343解：(1)如图(a) 所示，过点 E 作O 的切线，设切点为 R.O 的半径为 1，RO1.EO2，OER30，根据切线长定理得出O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于 30，E 点是O 的关联点D( ， )，E(0，2)，F(2 ，0)，12 12 3OFEO ，DOEO ，D 点一定是O 的关联点，而在O 上不可能找到两点与点 F 的连线的夹角等于60，故在点 D，E，F 中，O 的关联点是 D，E.由题意可知，若 P 刚好是C 的关联点，则点 P 到C
20、的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60，由图(b)可知APB 60，则 CPB 30.连接 BC，则 PC 2BC2r，BCsin CPB若点 P 为C 的关联点，则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0d2r.由上述证明可知，考虑临界点位置的 P 点，则点 P 到原点的距离 OP212，如图(c)，过点 O 作 l 轴的垂线 OH，垂足为 H，GFO30，OGF 60 ，OG2，可得点 P1 与点 G 重合过点 P2 作 P2Mx 轴于点 M，可得P 2OM30，OM OP2cos30 ，3从而若点 P 为O 的关联点，则 P 点必在线段 P1P2 上，0m .3(2)若线段 EF
21、上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段 EF 的中点考虑临界情况，如图(d)，即恰好点 E，F 为K 的关联点时，则 KF2KN EF2，12此时，r1，故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径 r 的取值范围为 r1.4解：(1)点 B 的坐标是(0 ，2)或(0，2) 点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 .12(2)C 是直线 y x3 上的一个动点，34设点 C 的坐标为(x 0， x03)，34x 0 x02，34此时，x 0 ，87点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为 ，87此时 C( ， )87 157E( ，
22、)35 45 x 0 x03 ，35 34 45解得 x0 ，85则点 C 的坐标为( ， )，85 95点 C 与点 E 的“非常距离” 的最小值为 1.北京专题训练1.解：(1)反比例函数 y 是闭区间1，2015 上的“闭函数” 理由如下：2015x反比例函数 y 在第一象限，y 随 x 的增大而减小，2015x当 x1 时，y2015；当 x2015 时，y 1，即图象过点(1，2015)和(2015，1) ，当 1x2015 时，有 1y2015，符合闭函数的定义，反比例函数 y 是闭区间1，2015 上的“闭函数” 2015x(2)由于二次函数 yx 22x k 的图象开口向上，对
23、称轴为直线 x1，二次函数 yx 22x k 在闭区间1，2 内，y 随 x 的增大而增大当 x1 时，y1，k 2.当 x2 时，y2，k 2.即图象过点(1，1)和(2 ，2)，当 1x2 时，有 1y 2，符合闭函数的定义，k2.(3)因为一次函数 ykxb 是闭区间 上的“闭函数” ，(k 0) m， n根据一次函数的图象与性质，有：()当 k0 时，图象过点 (m，m )和( n，n)， mk b m，nk b n， )解得 k 1，b 0， )yx.()当 k r，F(0， )12在 RtAOF 中，AOF90，AO1，OF ，12AF ，sinAFO .AO2 OF252 AOA
24、F 2 55在 RtFEM 中，FEM90，FMFO OMr ，sinEFMsin AFO ，12 2 55MEFMsinEFM .5（2r 1）5 r.又r0，5（2r 1）50r 2.54解：(1)4 2a(2)13(3)F 1 的碟宽F 2 的碟宽21， .2a1 2a2 21a 1 ，a 2 .13 23又由题意得 F2 的碟顶坐标为(1，1) ，y 2 1.23(x 1)2F 1，F 2，F n的碟宽的右端点在一条直线上；其解析式为 yx 5.5解：(1)A、B(2)如图，作点 P 关于 x 轴的对称点 P，连接 PQ，P Q 与 x 轴的交点即为“等高点”M，此时 “等高距离”最小
25、，最小值为线段 PQ 的长P(1，2) ， P(1，2)设直线 PQ 的函数解析式为 ykxb，根据题意，有解得k b 2，4k b 2， ) k 43，b 103.)直线 PQ 的函数解析式为 y x .43 103当 y0 时，解得 x ，52即 t .52根据题意，可知 PP4，PQ3，PQ PP，PQ 5.PP 2 PQ2“等高距离”最小值为 5.(3)Q( ， )或 Q( ， )4 55 2 55 4 55 2 556解：(1)是(2)点 H(m，n)是线段 AB 的“邻近点” ，点 H(m，n) 在直线 yx1 上，nm1.直线 yx1 与线段 AB 交于 (4，3)当 m4 时，
26、有 nm13.又 ABx 轴，此时点 H(m，n)到线段 AB 的距离是 n3，0n31，4m5.当 m4 时，有 nm1，n3.又 ABx 轴，此时点 H(m，n)到线段 AB 的距离是 3n，03n1，3m4，综上所述，3m5.(3)如图，3 b1 .2 27解：(1)( ，1) 点 B3(2)依题意，yx3( x2)的图象上的点 P 的限变点必在函数 y的图象上 x 3， x 1，x 3， 2 x1)b2，即当 x1 时，b取最大值 2.当 b2 时，2x3.x5.当 b5 时，5x3 或5x3.x2 或 x8.5b2，由图象可知，k 的取值范围是 5k8.(3)yx 22txt 2t(
27、xt )2t ，顶点坐标为(t，t)若 t1，b的取值范围是 bm 或 bn，与题意不符若 t1，当 x 1 时，y 的最小值为 t，即 mt；当 x1 时，y 的值小于(1t )2t ，即 n(1t )2tsmnt(1t) 2tt 21.s 关于 t 的函数解析式为 s t21( t1) 当 t1 时，s 取最小值 2.s 的取值范围是 s2.8解：(1)3 13(2)1(3)如图，过点 O 分别作射线 OE，OF 的垂线 OG，OH ，则图形 M 为：y 轴正半轴，GOH 的边及其内部的所有点( 图中的阴影部分) 说明：(图形 M 也可描述为：y 轴正半轴，直线 y x 下方与直线 y x 下方重叠33 33的部分( 含边界) .43
