1、第八章 立体几何初步第 4 课时 平面与平面的位置关系(对 应 学 生 用 书 （文 ）105 107页（理 ）107 109页 )考情分析 考点新知了解平面与平面的位置关系，在判定和证明平面与平面位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义，注意线线关系，线面关系以及面面关系的转化理解面面垂直、面面平行的判定定理和性质定理，进一步掌握线线、线面、面面平行及垂直的相互转化.1. (必修 2P50 习题 1 改编) 设 a、b 为不重合的两条直线，、 为不重合的两个平面，给出下列命题： 若 a 且 b，则 ab； 若 a 且 b ，则 ab； 若 a 且 a，则 ； 若 a
2、且 a ，则 .其中为真命题的是_(填序号)答案：解析：错，a，b，直线 a 与 b 可能相交、平行或异面；错，若 l ，al ， a，a ，则 a ，a.2. (必修 2P49 练习 4 改编)如果平面 平面 ，直线 l平面 ，则直线 l 与平面 的位置关系是_答案：直线 l 与平面 平行或直线 l 在平面 内解析：不要忽略直线 l 在平面 内的情况3. (必修 2P48 习题 12 改编)已知直线 a 和两个不同的平面 、，且 a，a ，则、 的位置关系是_答案：垂直解析：运用两平面垂直的判定方法4. (必修 2P51 习题 16 改编)已知 、 是三个不同的平面，命题“ ，且 ” 是真命
3、题，如果把 、 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是_答案：2解析：若 、 换为直线 a、 b，则命题化为“a b，且 a b” ，此命题为真命题；若 、 换为直线 a、b，则命题化为“a，且 ab b” ，此命题为假命题；若、 换为直线 a、b，则命题化为“a，且 b ab” ，此命题为真命题，故真命题共 2 个5. (必修 2P49 练习 4 改编)a 、b、c 为三条不重合的直线，、 为三个不重合平面，现给出六个命题： ab； ab； ；a c，b c) a ，b ) c ，c ) ； a； a. ， ) c，a c) a )其中正确的命题是_(填序
4、号)答案：解析：错在 a、b 可能相交或异面错在 与 可能相交、错在 a 可能在 内1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行2. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行3. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面备课札记题型 1
5、 两平面的平行例 1 (2013江苏)如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面SBC，AB BC ，ASAB，过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E、G 分别是棱 SA、SC 的中点求证：(1) 平面 EFG 平面 ABC；(2) BCSA.证明：(1) ASAB，AFSB， F 是 SB 的中点 E、F 分别是 SA、SB 的中点， EFAB. EF平面 ABC，AB 平面 ABC， EF平面 ABC.同理 FG平面 ABC. EFFGF，EF、FG 平面 ABC， 平面 EFG平面 ABC.(2) 平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCSB ，AF 平面SAB，AFSB
6、， AF平面 SBC. BC平面 SBC， AFBC. ABBC，ABAFA， AB、AF 平面 SAB， BC平面 SAB. SA 平面 SAB， BCSA.变 式 训 练如图，在四棱锥 PABCD 中，M 、N 分别是侧棱 PA 和底面 BC 边的中点，O 是底面平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点求证：过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行证明： O、M 分别是 AC、PA 的中点，连结 OM，则 OMPC. OM 平面PCD，PC 平面 PCD， OM平面 PCD.同理，知 ONCD. ON 平面 PCD，CD 平面 PCD， ON平面 PCD.又 OMONO， OM、
7、 ON 确定一个平面 OMN.由两个平面平行的判定定理知平面 OMN 与平面 PCD 平行，即过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD平行 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形. 求证：平面 B1AC平面 DC1A1.证明：因为 ABCDA1B1C1D1 是直四棱柱，所以 A1C1AC.又 A1C1平面 B1AC，AC 平面 B1AC，所以 A1C1平面 B1AC.同理，A 1D平面 B1AC. 因为 A1C1、A 1D平面 DC1A1，A 1C1A 1DA 1，所以平面 B1AC平面 DC1A1. 题型 2 两平面的垂直关系例
8、2 如图，三棱锥 A-BCD 中，BCD90，BCCD 1，AB平面BCD，ADB60，E ，F 分别是 AC，AD 上的动点，且 (01) AEAC AFAD(1) 求证：不论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC；(2) 当 为何值时，平面 BEF平面 ACD.(1) 证明： AB平面 BCD， ABCD. CDBC，且 ABBC B ， CD平面 ABC. (01)，AEAC AFAD 不论 为何值，恒有 EFCD. EF平面 ABC，EF 平面 BEF. 不论 为何值恒有平面 BEF平面 ABC.(2) 解：由(1)知，BEEF， 平面 BEF平面 ACD， BE平面 ACD. BEA
9、C. BCCD 1，BCD90，ADB60， BD ， AB tan60 .2 2 6 AC .AB2 BC2 7由 AB2AEAC ，得 AE . .67 AEAC 67故当 时，平面 BEF平面 ACD.67备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2013 江宁高中期中)如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D、E 分别是棱 BC、AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 ABAC，AA 13，BCCF2.(1) 求证： C1E平面 ADF；(2) 设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM 平面 ADF?(1) 证明：连结 CE 交 AD 于 O，连结 OF.因为
10、 CE，AD 为ABC 中线，所以 O 为ABC 的重心， .CFCC1 COCE 23从而 OF/C1E.OF平面 ADF，C 1E平面 ADF，所以 C1E平面 ADF.(2) 解： 当 BM1 时，平面 CAM平面 ADF.在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，由于 B1B平面 ABC，BB 1平面 B1BCC1，所以平面B1BCC1平面 ABC.由于 ABAC，D 是 BC 中点，所以 ADBC.又平面 B1BCC1平面ABCBC, 所以 AD平面 B1BCC1.而 CM平面 B1BCC1，于是 ADCM.因为 BM CD 1，BC CF2，所以 RtCBMRt FCD ，所以 CMD
11、F. DF 与 AD 相交，所以 CM平面 ADF.CM平面 CAM，所以平面 CAM平面 ADF.当 BM1 时，平面CAM平面 ADF.题型 3 平行与垂直的综合问题例 3 如图，E、F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点，B 90，沿EF 将三角形 ABC 折成如图所示的锐二面角 A1EFB，若 M 为线段 A1C 中点求证：(1) 直线 FM平面 A1EB；(2) 平面 A1FC平面 A1BC.证明：(1) 取 A1B 中点 N，连结 NE、NM，则 MN= BC，EF= BC，所以 MN=FE，12 12所以四边形 MNEF 为平行四边形，所以 FMEN，因为 FM
12、平面 A1EB，EN 平面 A1EB，所以直线 FM 平面 A1EB.(2) 因为 E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，所以 A1FFC，所以 FMA 1C.同理，ENA 1B.由(1)知，FMEN，所以 FMA 1B.因为 A1CA 1BA 1，所以 FM平面 A1BC.因为 FM平面 A1FC，所以平面 A1FC平面 A1BC.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图，E、F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点，B 90，沿 EF 将三角形 ABC 折成如图所示的锐二面角 A1EFB，若 M 为线段 A1C 的中点求证：(1) 直线 FM平面 A1EB；(2) 平面
13、A1FC平面 A1BC. 证明：(1) 取 A1B 中点 N，连结 NE、NM ，则 MN= BC，EF= BC，所以12 12MN= FE，所以四边形 MNEF 为平行四边形，所以 FM EN.又 FM 平面 A1EB，EN平面 A1EB，所以直线 FM平面 A1EB.(2) 因为 E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，所以 A1FFC，所以 FMA 1C.同理，ENA 1B.由(1) 知 FMEN，所以 FMA 1B.又 A1CA 1BA 1，所以 FM平面 A1BC.因为FM平面 A1FC，所以平面 A1FC平面 A1BC.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 14 分)如图，在多面
14、体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB2EF2， EFAB，EFFB，BFC90，BF FC，G、H 分别为 DC、BC 的中点(1) 求证：平面 FGH平面 BDE；(2) 求证：平面 ACF平面 BDE.学生错解： 证明：(1) 如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连结 OE、OH.由已知 EF AB，得 EF AB.12 12 OH= AB， EF=OH ，12 四边形 OEFH 为平行四边形， FHEO. G、H 分别为 DC、BC 的中点， GHDB. 平面 FGH 平面 BDE.(2) 由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC.又 EFAB ， EFBC，而 E
15、FFB， EF平面 BFC. FH 平面 BFC， EF FH. ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点， FHBC， FH平面 ABCD. FHAC. 又 FHEO， ACEO.又 ACBD ， AC 平面 BDE.又 AC平面 ACF， 平面 ACF平面 BDE.审题引导： (1) 探索求解过程的关键是弄清线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直；不要跳步造成错误，如本例(1) ，易出现由线线平行直接推得面面平行，从而导致证明过程错误(2) 正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理，特别注意将条件写完整，不可遗漏，如本例(2)在证明线、面垂直
16、时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成导致证明过程不严谨规范解答： 证明： (1) 如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连结 OE、OH ，由已知EF AB，得 EF AB.(2 分)12 12 OH= AB， EF=OH ，12 四边形 OEFH 为平行四边形， FHEO.(4 分) FH 平面 BDE，EO 平面 BDE， FH平面 BDE. G、H 分别为 DC、BC 的中点， GHDB. GH 平面 BDE，DB 平面 BDE， GH平面 BDE.又 FHGHH， 平面 FGH 平面 BDE.(6 分)(2) 由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC.又 EFAB ， EF
17、BC，(8 分)而 EFFB，BCFBB， EF 平面 BFC.FH平面 BFC， EF FH.(10 分) ABFH，又 BFFC，H 为 BC 的中点， FHBC，ABBCB， FH 平面 ABCD. FHAC ，又 FHEO， ACEO.(12 分)又 ACBD ，EOBDO， AC平面 BDE.又 AC平面 ACF，平面 ACF平面 BDE.(14 分)错因分析：证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理，并将相应的条件写全本题(1)直接由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，导致证明过程不严谨(2)在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；导致证题过程
18、不正确1. (2013常州调研)给出下列命题： 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，真命题是_(填序号)答案：解析：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直
19、线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直，即正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故正确因此真命题是.2. 下列命题错误的是_(填序号) 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 ； 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ； 如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么 l平面 ； 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 .答案：3. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中
20、，PA 底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DMPC(或 BMPC 等)解析：由已知条件可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面MBD.而 PC 属于平面 PCD， 平面 MBD平面 PCD.4. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点如图，将ABE 沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连结 BC、BD，F 是CD 的中点，P 是棱 BC 的中点求证：(1) AE BD；(2) 平面 PEF平面 AEC
21、D.图 图证明：(1) 取 AE 中点 M，连结 BM、DM、DE. 在等腰梯形 ABCD 中，ADBC ，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点， ABE 与 ADE 都是等边三角形， BMAE，DMAE. BMDM M，BM，DM 平面 BDM， AE平面 BDM. BD平面 BDM， AEBD.(2) 连结 CM 交 EF 于点 N，连结 PN. MEFC，且 MEFC， 四边形 MECF 是平行四边形， N 是线段 CM 的中点 P 是线段 BC 的中点， PNBM. BM平面 AECD， PN平面AECD. PN平面 PEF， 平面 PEF平面 AECD.5. 如图，在直四棱柱
22、ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱 AB 上是否存在一点 F，使平面 C1CF平面 ADD1A1？若存在，求点 F 的位置；若不存在，请说明理由解：存在这样的点 F，使平面 C1CF平面 ADD1A1，此时点 F 为 AB 的中点，证明如下： ABCD，AB2CD， AF 綊 CD， 四边形 AFCD 是平行四边形 ADCF.又 AD 平面 ADD1A1，CF 平面 ADD1A1， CF平面 ADD1A1.又 CC1DD 1， CC1 平面 ADD1A1，DD 1平面 ADD1A1， CC1平面 ADD1A1.又 CC1、CF 平面 C1CF
23、，CC 1CFC ， 平面 C1CF平面 ADD1A1.1. 在如图所示的多面体中，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 2，四边形ABDC 是菱形(1) 求证：平面 ADC1平面 BCC1B1；(2) 求该多面体的体积(1) 证明：由正三棱柱 ABC A1B1C1，得 BB1AD.而四边形 ABDC 是菱形，所以 ADBC.又 BB1平面 BB1C1C，BC 平面 BB1C1C，且 BCBB 1B ，所以 AD平面BCC1B1.又由 AD 平面 ADC1，得平面 ADC1平面 BCC1B1.(2) 解：因为正三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为V1S ABC AA12 ，3四
24、棱锥 D B1C1CB 的体积为V2 S 平面 BCC1B1 ，13 (12AD) 433所以该多面体的体积为 V .10332. 如图，正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直EFBD，AB EF.求2证：(1) BF平面 ACE；(2) BFBD.证明： (1) AC 与 BD 交于 O 点，连结 EO.正方形 ABCD 中， BOAB，又因为 AB EF，2 2 BOEF ，又因为 EFBD ， EFBO 是平行四边形 BF EO，又 BF 平面 ACE，EO 平面 ACE， BF 平面 ACE.(2) 正方形 ABCD 中，AC BD，又因为正方形 ABCD 和三角形 A
25、CE 所在的平面互相垂直，BD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ACEAC ， BD平面 ACE， EO平面ACE BDEO， EOBF ， BFBD.3. 如图，在正三棱柱 ABCDEF 中，AB2，AD1.P 是 CF 的延长线上一点，FPt.过 A、B 、P 三点的平面交 FD 于 M，交 FE 于 N.(1) 求证：MN平面 CDE；(2) 当平面 PAB平面 CDE 时，求 t 的值(1) 证明： 因为 ABDE，AB 在平面 FDE 外，所以 AB平面 FDE.又 MN 是平面PAB 与平面 FDE 的交线，所以 ABMN ，故 MNDE.因为 MN 平面 CDE，DE 平面CD
26、E，所以 MN平面 CDE.(2) 解：取 AB 中点 G、DE 中点 H，连结 GH，则由 GHPC 知 P、C、G、H 在同一平面上，并且由 PAPB 知 PGAB.而与(1) 同理可证 AB 平行于平面 PAB 与平面 CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线又平面 PAB平面 CDE，所以 PG平面 CDE，所以PG CH，于是 CGHPCG ，所以 ，即 ，解得 t2.PCCG CGGH 1 t3 314. (2013徐州三模 )如图，AB、CD 均为圆 O 的直径，CE圆 O 所在的平面，BFCE.求证：(1) 平面 BCEF平面 ACE；(2) 直线 DF平面 ACE.证明：
27、(1) 因为 CE圆 O 所在的平面，BC 圆 O 所在的平面，所以 CEBC.因为 AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，所以 ACBC，因为 ACCEC，AC ，CE 平面 ACE，所以 BC平面 ACE，因为 BC平面 BCEF，所以平面 BCEF平面 ACE.(2) 由(1)ACBC ，又因为 CD 为圆 O 的直径，所以 BD BC，因为 AC、BC、BD 在同一平面内，所以 ACBD，因为 BD平面 ACE，AC 平面 ACE，所以 BD平面 ACE.因为 BFCE，同理可证 BF平面 ACE，因为 BDBFB，BD、BF 平面 BDF，所以平面 BDF平面 ACE，因为
28、DF 平面 BDF，所以 DF平面 ACE.1. 判断或证明面面平行的常用方法：(1) 利用两个平面平行的定义；(2) 利用两个平面平行的判定定理(a， b ，a bA， a，b )2. 判定面面垂直的方法：(1) 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；(2) 利用平面与平面垂直的判定定理(l，l ) 3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用：(1) 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；(2) 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的请 使 用 课 时 训 练 （A）第 4课 时 （见 活 页 ）.
