1、第五章 数列第 3 课时 等 比 数 列(对应学生用书(文) 、(理)7475 页)考情分析 考点新知理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能用有关知识解决相应的问题 理解等比数列的概念. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. 了解等比数列与指数函数的关系.1. (必修 5P55 习题 2(1)改编)设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和，若 a11，a 632，则S3_答案：7解析：q 5 32，q2，S 3 7.a6a1 1（1 23）1 22. (必修 5P49 习题 1 改编) an为等比数列，a 26，a 5162，则a n的通项公式an_答案：a n2
2、3 n1解析：由 a26，a 5162，得 所以 a12，q 3.a1q 6，a1q4 162，)3. (必修 5P49 习题 6 改编) 等比数列a n中，a 10，a 2a42a 3a5a 4a636，则a3a 5_答案：6解析：a 2a42a 3a5a 4a6(a 3a 5)236，又 a10， a 3，a 50， a 3a 56.4. (必修 5P49 习题 7(2)改编) 已知两个数 k9 和 6k 的等比中项是 2k，则k_答案：3解析：由已知得(2k) 2(k9)(6k)，kN *， k3.5. (必修 5P51 例 2 改编)等比数列a n中，S 37，S 663，则 an_答
3、案：2 n1解析：由已知得 a11，q2； a n2 n1 .1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列(2) 符号语言： _q(nN ，q 是等比数列的公比)an 1an2. 等比数列的通项公式设a n是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则第 n 项 ana 1qn1 推广：a na mq(nm)3. 等比中项若 a，G，b 成等比数列，则 G 为 a 和 b 的等比中项且 G ab4. 等比数列的前 n 项和公式(1) 当 q1 时，S nna 1(2) 当 q1 时，S n a1（1 qn）1 q a
4、1 anq1 q5. 等比数列的性质(1) ana mqnm (2) 等比数列a n中，对任意的 m、n、p、qN *，若 mnpq，则 amana paq特殊的，若 mn2p，则 amana 2p(3) 等比数列 an中依次每 m 项的和仍成等比数列，即 Sm、S 2mS m、S 3mS 2m、仍成等比数列，其公比为 qm(q1)备课札记题型 1 等比数列的基本运算例 1 等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S 3，S 2 成等差数列(1) 求a n的公比 q；(2) 若 a1a 33，求 Sn.解：(1) S1，S 3，S 2 成等差数列， 2S3S 1S 2，即 2(a1a
5、 2a 3)a 1a 1a 2， 2a3a 2， q .a3a2 12(2) a3a 1q2 a1， a1 a13， a14，14 14 Sn .41 ( 12)n 1 12 83 83( 12)n 变 式 训 练已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，且 2an1 S n2(nN )(1) 求 a2，a 3 的值，并求数列a n的通项公式；(2) 解不等式 Sn(nN )ni 13ai解：(1) 2a 2S 12a 123， a 2 .32 2a 3S 22a 1a 22 ， a 3 .92 94 2an1 S n2， 2anS n1 2(n2) ，两式相减，得 2an1 2a nS
6、 nS n1 . 2an1 2a na n.则 an1 an(n2) a 2 a1， a n1 an(nN ) a 110，32 32 32 ，即a n为等比数列，a n n1 .an 1an 32 (32)(2) 3 n1 ， 数列 是首项为 3，公比为 的等比数列数列 的前 5 项3an (23) 3an 23 3an为：3，2， .an的前 5 项为：1， ， .4389 1627 3294278 8116 n1，2，3 时， Sn 成立；而 n4 时， S n； n5 时，ni 13aini 13ai1，a n1， S n.3an ni 13ai 不等式 Sn(nN )的解集为 1，2
7、，3ni 13ai题型 2 等比数列的判定与证明例 2 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，3S na n1(nN )(1) 求 a1，a 2；(2) 求证：数列a n是等比数列；(3) 求 an 和 Sn.(1) 解：由 3S1a 11，得 3a1a 11， a1 .12又 3S2a 21，即 3a13a 2a 21，得 a2 .14(2) 证明：当 n2 时，a nS nS n1 (an1) (an1 1) ，得 ，所以a n13 13 anan 1 12是首项为 ，公比为 的等比数列12 12(3) 解：由(2)可得 an n，( 12)Sn .( 12)1 ( 12)n 1 ( 12
8、) 131 ( 12)n 备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在数列a n中， a12，a n1 4a n3n1，nN *.(1) 求证：数列a nn是等比数列；(2) 求数列a n的前 n 项和 Sn；(3) 求证：不等式 Sn1 4S n 对任意 nN *皆成立(1) 证明：由题设 an1 4a n3n1，得 an1 (n 1)4(a nn)，nN *.又 a111，所以数列a n n是首项为 1，公比为 4 的等比数列(2) 解：由(1)可知 ann4 n1 ，于是数列a n的通项公式为 an4 n1 n，所以数列a n的前 n 项和 Sn .4n 13 n（n 1）2(3) 证明：对任
9、意的 nN *，S n1 4S n 44n 1 13 （n 1）（n 2）2 (3n2n4) 0，所以不等式 Sn 14S n 对任意 nN *皆成立4n 13 n（n 1）2 12题型 3 等比数列的性质例 3 已知等比数列a n中， a232，a 8 ，a n1 0 时，求数列a n的最小项(1) 证明： bna nn 2， bn1 a n1 (n1) 22a n (n1) 24(n1) 2(n1)22a n2n 22b n(n2)由 a12a1，得 a24a，b 2a 244a4， a 1， b 20，即b n从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列(2) 解：由(1)知 bn a，n
10、1，（4a 4）2n 2，n 2.)Sna 3a4(2a2)2 n，当 n2 时， （4a 4）（2n 1 1）2 1 SnSn 12 .（2a 2）2n 3a 4（2a 2）2n 1 3a 4 3a 4（a 1）2n 1 3a 4 S n是等比数列， (n2) 是常数， 3a 40，即 a .SnSn 1 43(3) 解：由(1)知当 n2 时，b n(4a 4)2 n2 (a1)2 n， a n 2a 1，n 1，（a 1）2n n2，n 2，) 数列a n为 2a1，4a，8a1，16a，32a 7，显然最小项是前三项中的一项当 a 时，最小项为 8a1；(0，14)当 a 时，最小项为
11、 4a 或 8a1；14当 a 时，最小项为 4a；(14，12)当 a 时，最小项为 4a 或 2a1；12当 a 时，最小项为 2a1.(12， )1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项 a1 和公比 q.2. 运用等比数列求和公式时，要对 q1 和 q1 进行讨论3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：方程的思想：等比数列中有五个量a1，q，n，a n，S n，一般可以“知三求二” ，通过列方程组求关键量 a1，q；分类的思想：当 a10，q1 或者 a10，01 时，等比数列a n递减；当 q0 时，等比数列为摆动数列；当 q1 时，等比数列为常数列；函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前 n 项和公式4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要请 使 用 课 时 训 练 （A）第 3课 时 （见 活 页 ）.
