1、第九章 平面解析几何第 9 课时 抛 物 线(对 应 学 生 用 书 （文 ）134 136页（理 ）140 142页 )考情分析 考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质. 掌握抛物线的简单应用.1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，3) ，则抛物线的标准方程是 _答案：x 212y解析： 3， p6， x212y.p22. 抛物线 y28x 的准线方程是_答案：x2解析： 2p8， p4，故所求准线方程为 x2.3. 抛物线 yax
2、2 的准线方程是 y2，则 a 的值是_答案：18解析：抛物线的标准方程为 x2 y.则 a0 且 2 ，得 a .1a 14a 184. (选修 11P44 习题 2 改编)抛物线 y24x 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 的横坐标 x_答案：2解析： 2p 4， p2，准线方程 x1.由抛物线定义可知，点 M 到准线的距离为 3，则 x13，即 x2.5. 已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为_答案：y 28x解析：依题意得，OF ，又直线 l 的斜率为 2，可知 AO2
3、OF ，AOF 的面积等a4 a2于 AOOF 4，则 a264.又 a0，所以 a8，该抛物线的方程是 y28x.12 a2161. 抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上) 距离相等 _的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程 y2 2px(p0) y2 2px(p0)图形范围 x 0，yR x 0，yR准线方程 xp2xp2焦点 (p2， 0) ( p2， 0)对称轴 关于 x 轴对称顶点 (0，0)性质离心率 e1标准方程 x22py(p0) x2 2py(p0)图形
4、范围 y0， xR y0， xR准线方程 yp2yp2焦点 (0， p2) (0， p2)对称轴 关于 y 轴对称顶点 (0，0)性质离心率 e1题型 1 求抛物线的基本量例 1 抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是_答案：4解析：由 y22px8x 知 p4，又焦点到准线的距离就是 p，所以焦点到准线的距离为 4.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）抛物线 y28x 的准线方程是_答案：x2解析：2p8，p4，准线方程为 x2.题型 2 求抛物线的方程例 2 (选修 11P44 习题 5 改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 2xy40 上，求抛物线的标准方程解：直线
5、2xy40 与 x 轴的交点是(2，0)，与 y 轴的交点是(0 ，4)由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则若抛物线焦点在 x 轴上，则抛物线的标准方程是y28x；若抛物线焦点在 y 轴上，则抛物线的标准方程是 x216y；故所求抛物线方程为 y28x 或 x216y.变 式 训 练已知 RtAOB 的三个顶点都在抛物线 y22px 上，其中直角顶点 O 为原点，OA 所在直线的方程为 y x，AOB 的面积为 6 ，求该抛物线的方程3 3解： OAOB，且 OA 所在直线的方程为 y x，OB 所在直线的方程为3y x，33由 得 A 点坐标为 ，y2 2px，y 3x，) (2p3，
6、23p3 )由 得 B 点坐标为(6p ，2 p)，y2 2px，y 33x，) 3 OA |p|，OB4 |p|，43 3又 SOAB p26 ， p .833 3 32 该抛物线的方程为 y23x 或 y23x.题型 3 抛物线的几何性质探究例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A(2，2) ，其焦点F 在 x 轴上(1) 求抛物线 C 的标准方程；(2) 求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；(3) 设过点 M(m，0)(m0)的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 f(m)，求 f(m)关于 m 的表达
7、式解：(1)由题意，可设抛物线 C 的标准方程为 y22px.因为点 A(2，2) 在抛物线 C 上，所以 p1.因此抛物线 C 的标准方程为 y22x.(2)由(1)可得焦点 F 的坐标是 ，又直线 OA 的斜率为 1，故与直线 OA 垂直的(12，0) 22直线的斜率为1，因此所求直线的方程是 xy 0.12(3)(解法 1)设点 D 和 E 的坐标分别为 (x1，y 1)和(x 2，y 2)，直线 DE 的方程是 yk(xm)，k0.将 x m 代入 y22x，有 ky22y2km 0，解得 y1， 2 .yk 1 1 2mk2k由 ME2DM 知 1 2( 1) ，化简得 k2 .1
8、2mk2 1 2mk24m因此 DE2(x 1x 2)2(y 1y 2)2 (y1y 2)2 (m24m)，(1 1k2) (1 1k2)4（1 2mk2）k2 94所以 f(m) (m0)32m2 4m(解法 2)设 D ，E .(s22，s) (t22，t)由点 M(m，0)及 2 ，得 t2m2 ，t 02(0s)因此ME DM 12 (m s22)t2s ，ms 2.所以 f(m)DE (m0)(2s2 s22)2 （ 2s s）2 32m2 4m备 选 变 式 （教 师 专 享 ）抛物线 y22px 的准线方程为 x2，该抛物线上的每个点到准线 x2 的距离都与到定点 N 的距离相等
9、，圆 N 是以 N 为圆心，同时与直线 l1：yx 和 l2：yx 相切的圆，(1) 求定点 N 的坐标；(2) 是否存在一条直线 l 同时满足下列条件： l 分别与直线 l1 和 l2 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 E(4，1) ； l 被圆 N 截得的弦长为 2.解：(1) 因为抛物线 y22px 的准线方程为 x2.所以 p4，根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点，所以定点 N 的坐标为(2，0) (2) 假设存在直线 l 满足两个条件，显然 l 斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x4) ，k1.以 N 为圆心，同时与直线 l1：yx 和 l2：yx 相切的圆 N 的半径
10、为 .因为 l 被2圆 N 截得的弦长为 2，所以圆心到直线的距离等于 1, 即 d 1，解得 k0 或 ，|2k 1|1 k2 43当 k0 时，显然不合 AB 中点为 E(4，1)的条件，矛盾， 当 k 时，l 的方程为434x3y130.由 ，解得点 A 的坐标为 (13，13)；由 ，4x 3y 13 0y x ) 4x 3y 13 0y x )解得点 B 的坐标为 .显然 AB 中点不是 E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直(137， 137)线 l. 1. 抛物线 yx 2 上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是_答案：43解析：设抛物线 yx 2 上一点为(m，m 2
11、)，该点到直线 4x3y80 的距离为，当 m 时，取得最小值 .|4m 3m2 8|5 23 432. 已知双曲线 C1： 1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0) 的焦x2a2 y2b2点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 _答案：x 216y解析： 双曲线 C1： 1(a0，b0)的离心率为 2， 2， x2a2 y2b2 ca a2 b2ab a， 双曲线的渐近线方程为 xy0， 抛物线 C2：x 22py(p0)的焦点3 3到双曲线的渐近线的距离为 2， p8. 所求的抛物线方程为(0，p2) | 30p2|2x216y.3.
12、已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y 0)若点M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 OM_答案：2 3解析：依题意，设抛物线方程是 y22px(p0) ，则有 2 3，得 p2，故抛物线方p2程是 y24x，点 M 的坐标是(2 ，2 )，OM 2 .2 22 8 34. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C： 1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合x216 y215(1) 求抛物线 D 的方程；(2) 过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点 若直线 l 的斜率为 1，求 MN 的长； 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直
13、径的圆 E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由解：(1) 由题意，可设抛物线方程为 y22px(p0) 由 a2b 2431，得 c1， 抛物线的焦点为(1，0)， p2. 抛物线 D 的方程为 y2 4x.(2) 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2) 直线 l 的方程为 yx4，联立 整理得 x212x160，即y x 4，y2 4x，)M(62 ，22 )，N(62 ，22 )， 5 5 5 5 MN 4 .（x1 x2）2 （y1 y2）2 10 设存在直线 m：xa 满足题意，则圆心 E ，过 E 作直线 xa 的垂线，(x1 42 ，y12)
14、垂足为 E，设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G.可得|EG| 2|EG| 2|EE| 2，即|EG|2 |EA|2 |EE| 2 y a(x 14)(x1 42 a)21421 （x1 4）2 （x1 4）24a 2x 14x 1 a(x14)a 2(a3)x 14a a 2.当 a3 时，|EG| 23，此时直线 m 被以AM 为直径的圆 E 所截得的弦长恒为定值 2 ，因此存在直线 m：x3 满足题意35. 如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 ，且其三个顶点均在抛物线 E：x 22py(p0)3上(1) 求抛物线 E 的方程；(2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线
15、 y1 相交于点 Q.证明：以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点解：(1) 依题意， OB8 ，BOy30.设 B(x，y) ，则 xOBsin3034 ， yOBcos3012.因为点 B(4 ，12)在 x22py 上，所以(4 )22p12，解得3 3 3p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.(2) 由(1)知 y x2，y x.设 P(x0，y 0)，14 12则 x00，y 0 x ，且 l 的方程为 yy 01420x0(xx 0)，即 y x0x x .12 12 1420由 得所以 Q 为 .设 M(0，y 1)，令 0 对满足MP MQ y0 x (x00)的 x0，y
16、 0 恒成立1420由于 (x 0， y0y 1)，MP ，MQ 由 0，得 y 0y 0y1y 1y 0，MP MQ 21即(y y 12) (1 y 1)y00.(*)21由于(*)式对满足 y0 x (x0 0)的 y0 恒成立，1420所以 解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)1. (文) 已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_答案：相切解析：设抛物线焦点弦为 AB，中点为 M，准线为 l，A 1、B 1 分别为 A、B 在直线 l 上的射影，则|AA 1|AF|，|BB 1|BF|，于是 M 到 l 的距离 d (|
17、AA1|BB 1|) (|AF|BF|)12 12 |AB|半径，故相切12(理)下图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m水位下降1 m 后，水面宽_ m.答案：2 6解析：设抛物线的方程为 x22py，则点(2，2) 在抛物线上，代入可得 p1，所以x22y.当 y3 时，x 26，即 x ，所以水面宽为 2 .6 62. (文)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，P、Q 是抛物线上的两个点，若PQF 是边长为 2 的正三角形，则 p 的值是_答案：2 3解析：依题意得 F ，设 P ，Q (y1y 2)由抛物线定义及 PFQF，得(p2，0) ，所以
18、 y y ，所以 y1y 2.又 PQ2，因此|y 1|y 2|1，点 P .p2 p2 21 2 (12p，1)又点 P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得 PF 2，由此解得 p2 .12p p2 3(理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，并x2a2 y2b2与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为 ，求拋物线与双曲线方程(32， 6)解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c，设拋物线方程为 y24cx.拋物线过点 ，64c .c1，故拋物线方程为 y24x.又双曲线 1(32，6) 32 x2a2 y2b2过点 ，
19、1.又 a2b 2c 21， 1.a 2 或 a29(舍)(32，6) 94a2 6b2 94a2 61 a2 14b 2 ，故双曲线方程为 4x2 1.34 4y233. (文)如图，过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C.若|BC| 2|BF|，且|AF| 3，则此抛物线的方程为_答案：y 23x解析：由抛物线定义，|BF|等于 B 到准线的距离由|BC|2|BF|，得 BCM 30.又|AF|3，从而 A .(p2 32，332)由 A 在抛物线上，代入抛物线方程 y22px，解得 p .32(理)如图所示，直线 l1 和 l2 相交
20、于点 M，l 1l 2，点 Nl 1，以 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM| ，|AN|3，且|NB| 6，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程17解：以直线 l1 为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点设曲线段 C 的方程为 y22px(p0)(x Axx B，y0) ，其中 xA、x B 为 A、B 的横坐标，p|MN|，M 、( p2，0)N .由|AM| ，|AN| 3，得 2
21、px A17，(p2，0) 17 (xA p2)22px A9.(xA p2)2 联立，解得 xA ，代入式，并由 p0，解得 或 AMN 为4p p 4，xA 1) p 2，xA 2.)锐角三角形， x A.p2 由点 B 在曲线段 C 上，得 xB|BN| 4.p 4，xA 1.) p2综上，曲线 C 的方程为 y2 8x(1x4，y0)4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程(1) 过点(3， 2)；(2) 焦点在直线 x2y40 上解：(1) 设所求抛物线的方程为 y22px 或 x22py(p 0)过点(3，2)，42p(3) 或 92p2.p 或 p
22、.所求抛物线的方程为23 94y2 x 或 x2 y，前者的准线方程是 x ，后者的准线方程是 y .43 92 13 98(2) 令 x0 得 y2，令 y0 得 x4，抛物线的焦点为(4 ，0)或(0，2) 当焦点为(4，0)时， 4，p8，此时抛物线的方程为 y216x ；焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线的方程为 x28y.所求抛物线的方程为 y216x 或p2x28y，对应的准线方程分别是 x4，y2.(理)已知定点 F(0，1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C.(1) 求动点 C 的轨迹方程；(2) 过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点
23、 P、Q，交直线 l1 于点 R，求 的最小值RP RQ 解：(1) 由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l 1 为准线的抛物线所求轨迹的方程为 x24y.(2) 由题意直线 l2 的方程为 ykx1，与抛物线方程联立消去 y，得 x24kx40.记 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 x1x 24k，x 1x24.由直线 PQ 的斜率 k0，易得点 R 的坐标为 ，( 2k， 1) RP RQ (x1 2k，y1 1) (x2 2k，y2 1) (kx 12)(kx 22)(x1 2k)(x2 2k)(1k 2)x1x2 (x1x 2) 4(2k 2k) 4k24(1k 2)4k 44 8.(2k 2k) 4k2 (k2 1k2)k 2 2，当且仅当 k21 时取到等号1k2 42816，即 的最小值为 16.RP RQ RP RQ 1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线) 的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线( 焦点)的距离问题求解2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求 p，但要注意判断标准方程的形式3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用请 使 用 课 时 训 练 （B）第 9课 时 （见 活 页 ）.备课札记
