1、第二章 函数与导数第 6 课时 二 次 函 数( 对应学生用书 (文)、(理)18 19 页)考情分析 考点新知 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题. 以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点 掌握二次函数的概念、图象特征. 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值. 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力., 1. (必修 1P54 测试 7)函数 f(x)x 22x3，x0，2的值
2、域为_答案：3，5解析：由 f(x) (x1) 24，知 f(x)在0，2 上单调递增，所以 f(x)的值域是 3，52. 二次函数 yx 22mxm 23 的图象的对称轴为 x20，则 m_，顶点坐标为_，递增区间为_，递减区间为_答案：2 (2，3) ( ，2 2，)3. (必修 1P45 习题 8 改编)函数 f(x)(x1)(xa)是偶函数，则 f(2)_答案：3解析：由 f(x)f(x) ，得 a1， f(2)3.4. (必修 1P44 习题 3)函数 f(x) 的单调增区间是x2 2x 1， x 0， ）， x2 2x 1， x （ ， 0）)_答案：R解析：画出函数 f(x)的图
3、象可知5. 设 abc0，二次函数 f(x)ax 2bxc 的图象可能是_(填序号)答案：解析：若 a0，则 b、c 同号，两图中 c0，正确；若b2aa0， 0，不符合，中 c0，则 b0，函数图象开口向上，函数在区间( ， 上是单调减函数，在b2a ， ) 上是单调增函数，当 x 时，y 有最小值，y min b2a b2a 4ac b24a(2) 当 a0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1，0) ，M 2(x2，0)，则 M1M2 |a|题型 1 求二次函数解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1, f(1)1，且 f(x)的最大值为 8，求二次函数f(x)的解析式解：
4、(解法 1：利用一般式)设 f(x)ax 2bxc(a0)， 解得4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8， )a 4，b 4，c 7，) 所求二次函数为 f(x) 4x24x7.(解法 2：利用顶点式)设 f(x) a(xm) 2n， f(2)f( 1)， 抛物线对称轴为 x ，即 m ；又根据题意，函数最大值 ymax8，2 （ 1）2 12 12 n8， f(x)a 28. f(2)1， a 81，解得 a4.(x 12) (2 12)2 f(x) 4 284x 24x7.(x 12)(解法 3：利用两根式)由题意知 f(x)10 的两根为 x12，x 21，故可设 f(
5、x)1a(x 2)(x1)，即 f(x) ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即 8，解得 a4 或 a0( 舍)， 所求函数的解析式为 f(x)4x 2(4)4a（ 2a 1） a24ax2( 4) 14x 24x7.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知二次函数 f(x)ax 2bxc 图象的顶点为( 1，10)，且方程 ax2bxc0 的两根的平方和为 12，求二次函数 f(x)的表达式解：由题意可设 f(x)a(x 1) 210，即 f(x)ax 22ax a10； b2a，ca 10，设方程 ax2bxc 0 的两根为 x1、x 2，则 x x 12，21 2即(x 1x
6、 2)22x 1x212， 2 12.( ba)2 ca又 b2a，ca 10， 2 12，解得 a2，( 2aa)2 a 10af(x) 2x2 4x8.题型 2 含参变量二次函数的最值例 2 函数 f(x)2x 22ax 3 在区间 1，1上最小值记为 g(a)(1) 求 g(a)的函数表达式；(2) 求 g(a)的最大值解：(1) 当 a2 时，函a2 (a2) a22数 f(x)的对称轴 x 1，则 g(a)f(1) 52a.a2综上所述，g(a)2a 5（a2）. )(2) 当 a2 时，g(a)0，g（2） 1 b 1，g（3） 3a b 1 4，) a 1，b 0，) 得 (舍)
7、 a1) a1，b0，g(x)x 22x1，f(x)x 2.1x(2) 不等式 f(2x)k2 x0，即 2x 2k2 x，12x k 2 1.(12x)2(12x)设 t ，则 kt 22t1， x1，1，12x故 t .12，2记 h(t)t 22t1， t ， h(t) max1，12，2故所求 k 的取值范围是( ，1 变 式 训 练已知函数 f(x) x2mxn 的图象过点(1 ，3)，且 f(1 x)f(1x)对任意实数都成立，函数 yg(x) 与 yf(x) 的图象关于原点对称(1) 求 f(x)与 g(x)的解析式；(2) 若 F(x)g(x)f(x)在(1，1上是增函数，求实
8、数 的取值范围解：(1) 因为函数 f(x)满足 f(1x) f(1x)对任意实数都成立，所以图象关于 x1 对称，即 1，即 m2.m2又 f(1) 1mn3，所以 n0，所以 f(x)x 22x.又 yg(x)与 yf(x) 的图象关于原点对称，所以g(x)( x)22(x)，所以 g(x)x 22x.(2) 由(1)知，F(x)(x 22x)(x 22x) (1)x 2(22)x.当 10 时，F(x)的对称轴为 x ，2 22（ 1） 1 1因为 F(x)在(1，1上是增函数，所以 或1 0，1 1 1，)所以 0，32a 6，) 14实数 a 的取值范围是 0a .142. 已知函数
9、 f(x)x 23xm，g(x)2x 24x，若 f(x)g(x)恰在 x1，2 上成立，则实数 m 的值为_答案：2解析：由题意，x 23xm 2x24x，即 x2xm 0 的解集是 1，2，所以 m2.3. (2013南通三模) 已知函数 f(x) 是偶函数，直线 yt 与函ax2 2x 1， x 0，x2 bx c， x 0 )数 yf(x) 的图象自左向右依次交于四个不同点 A、B、C、D. 若 ABBC ，则实数 t 的值为_答案：74解析：根据偶函数的定义得 a1，b2，c1，f(x) x2 2x 1，x 0，x2 2x 1，x 0，)xD 3xC，xC xD 2，)所以 xC ，
10、则 t 2 1 .12 (12)212 744. (2013新课标 )若函数 f(x)(1 x 2)(x2axb)的图象关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_答案：16解析：因为点(1，0)，( 1，0) 在 f(x)的图象上，且图象关于直线 x2 对称，所以点(5， 0)，( 3，0)必在 f(x)的图象上，所以 f(5) (125)(255ab) 0，f(3)(19)(9 3ab)0，联立，解得 a8，b15，所以 f(x)(1x 2)(x28x15)，即 f(x)(x 1)(x 1)(x3)(x5) (x 24x3)(x 24x5)令 tx 24x(x 2)244，则 f(x)(
11、t3)(t5) (t1) 216，当 t1 时，f(x) max16.1. 已知函数 f(x)e x1，g(x)x 24x3，若有 f(a)g(b) ，则 b 的取值范围为_答案：(2 ，2 )2 2解析：易知，f(a)e a1 1，由 f(a)g(b)，得 g(b)b 24b31，解得2 b2 .2 22. 已知函数 f(x)x 2ax b(a、bR)的值域为0 ， )，若关于 x 的不等式 f(x)c的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_答案：9 解析：根据函数 f(x)x 2axb 的值域为0 ，)，得到 a24b0.又关于 x 的不等式 f(x)c，可化为 x2ax b c0，它的
12、解集为(m，m 6)，设函数 f(x)x 2axbc 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1、x 2，则|x 2x 1|m6m6，从而(x 2x 1)236，即(x 1 x2)24x 1x236.又 x1x2bc，x 1x 2a ，代入得到 c9.3. 设函数 f(x)x 21，对任意 x ，f 4m 2f(x)f(x 1)4f(m) 恒成立，32， ) (xm)则实数 m 的取值范围是_ 答案： ( ， 32 32， )解析：由题意知 14m 2(x21) (x1) 214(m 21)在 x 上恒成立，x2m2 32， )4m 2 1 在 x 上恒成立，当 x 时，函数 y 1 取1m2
13、 3x2 2x 32， ) 32 3x2 2x得最小值 ，53所以 4m 2 ，即(3m 21)(4m 23)0，1m2 53解得 m 或 m .32 324. 已知函数 f(x)mx3，g(x)x 22xm.(1) 求证：函数 f(x)g(x)必有零点；(2) 设函数 G(x)f(x)g(x)1，若|G(x)| 在1，0上是减函数，求实数 m 的取值范围(1) 证明：f(x)g(x)(mx3)(x 22xm)x 2(m2)x(3 m)由 1(m2) 24(3m) m 28m 16(m4) 20，知函数 f(x)g(x)必有零点(2) 解：|G(x)| |x 2(m2)x(2 m)| |x 2
14、(m2)x(m2)|， 2(m2) 2 4(m2)(m2)(m6) ， 当 20，即 2m6 时，|G(x)|x 2(m2)x(m2)，若|G(x)|在1，0上是减函数，则 0，即 m2，所以 2m6 时，符合条件m 22 当 20，即 m2 或 m6 时，若 m2，则 0，要使|G(x)|在1，0 上是减函数，则 1 且 G(0)0，m 22 m 22所以 m0；若 m6，则 2，要使|G(x)|在1，0 上是减函数，则 G(0)0，所以 m6.m 22综上，m0 或 m2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论( 三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴 )，此类问题是考查的重点3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次” ，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体请 使 用 课 时 训 练 （A）第 6课 时 （见 活 页 ）.备课札记
