1、 二次函数1. （2011 黑龙江绥化，19，3 分）已知二次函数 的图象如图所示，2(0)yaxbc现有下列结论： a0 bo c0 9a+3b+c0,正确；因对对称轴 ，a、b 异号，所以 b0 B、方程 的两根是 x1=1，x 2=3 0cbxa2C、2ab=0 D、当 x0 时 y 随 x 的增大而减小。【解题思路】由图像可知 a0 所以 acl C l D l【解题思路】本题主要考察二次函数图像的性质，因 a=10,所以当 xm 时 随 的增大而减小，当 xm 时 随 的增大而减大，由题意得 m1 ，故选 C.yx【答案】C 【点评】本题主要考察二次函数图像的性质,和变量取值范围结合
2、是一道较好的题目，中等难度5.（山东省威，12,3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速度运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折线 AD-DC-CB 以每秒3cm 的速度运动，到达 B 点时运动同时停止.设AMN 的面积 y（cm 2）,运动时间 x（秒） ，则下列图像中能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）.【解题思路】分三种情况，即 N 在 AD、DC、CB 上分别表示出AMN，即 y 与 x 的关系，结合表达式来判断图形.【答案】B.【点评】分三种情况，点 N 在 AD 上时，y= AMAN= x3x= x2(
3、0x1) ; N 在 DC2131xyO 1 2 31 A1xyO 1 2 31 B1xyO 1 2 31 D1xyO 1 2 31 CBCADNM上时，y= AMAD= x3= x(1x2) ; N 在 CB 上时，y= AMBN= x(9-3x)212321=- x3+ x (2x3).结合三个解析式得到相应图形.难度较小.99 （2011 四川绵阳 12，3）若 x1， x2(x1 x2)是方程( x a)(x b)1(a0，x 20，又因为 x1+x2=4，所以两根应全为正数，即 x10，x 20，所以二次函数图象为 C 选项【答案】C【点拨】本题考查了二次函数 y=ax2+bx+c，
4、与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系解决此题的关键是：一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根是二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点的横坐标难度中等15 （2011 山东德州，6，3 分）已知函数 （其中 ab）的图象如下面)(bxay右图所示，则函数 的图象可能正确的是baxy【解题思路】由二次函数图像，开口向上，a0，再由对称轴得：b0，开口向下，a0，负半轴c y2 B. y1 10)只，可得到每只应降低 0.1(x-10)元，若按最低价购买，则应就降低 20-16=4 元，即有 0.1(x-10)=4；（2）应根据 x 的取值情况分成三种情况，当 050 时，每只
5、售价为 16 元，180x所以 y=16x-13x=3x；（3）由二次函数的性质可求出最大利润。【答案】(1)设一次购买 x 只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50; 答一次至少买 50 只，才能以最低价购买；(2) 220137(01().)8(05)6=(5xxy xx ） （说明：因三段图象首尾相连，所以端点 10、50 包括在哪个区间均可） ；(3)将 配方得 ，所以店主一次卖 40 只时可获得最高2180yx21(40)6yx利润，最高利润为 160 元。 （也可用公式法求得） 。【点评】在实际问题中，要充分借助相应的数量关系列出函数关系式。
6、解本题的关键是对x 的取值进行讨论，从而求出每只计算器的实际售价。难度较大。26（2011 山东滨州，25，12 分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点 O 落在水平面上，对称轴是水平线 OC。点 A、B 在抛物线造型上，且点 A 到水平面的距离 AC=4O 米，点 B 到水平面距离为 2 米，OC=8 米。（1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2） 为了安全美观，现需在水平线 OC 上找一点 P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱 PA、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多
7、少问题暂不考虑）时的点 P？（无需证明）（3） 为了施工方便，现需计算出点 O、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点 O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【解题思路】问题一、建立适当的直角坐标系：以点 O 为原点、射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。只要 A 点的坐标即可求出函数的解析式。问题二、求在 OC 上一点到 A、B 两点距离之和最短，需做 A 关于 OC 的对称点 D，在连接对称点 D 和另外一点 B 与 OC 的交点即为所求。问题三、求 O、P 之间的距离就是直线 DB 与 y 轴交点纵坐标的长度，需要求出 DB 的解析式。【答案】解：
8、（1）以点 O 为原点、射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系1 分设抛物线的函数解析式为 ,2 分2ax由题意知点 A 的坐标为（4，8） 。且点 A 在抛物线上，3 分所以 8=a ，解得 a= ,故所求抛物线的函数解析式为 4 分2121yx（2）找法：延长 AC,交建筑物造型所在抛物线于点 D, 5 分则点 A、D 关于 OC 对称。连接 BD 交 OC 于点 P，则点 P 即为所求。6 分（3）由题意知点 B 的横坐标为 2，且点 B 在抛物线上，所以点 B 的坐标为（2，2）7 分又知点 A 的坐标为（4，8） ，所以点 D 的坐标为（-4，8）8设直线 BD 的函数解析式为
9、 y=kx+b，9则有 10248kb解得 k=-1,b=4. 故直线 BD 的函数解析式为 y=-x+4，11把 x=0 代入 y=-x+4，得点 P 的坐标为（0，4）两根支柱用料最省时，点 O、P 之间的距离是 4 米。12【点评】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。难度较大。27 （2011 山东泰安，28 ，10 分）某商店经营一种小商品，进价为每件 20 元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件 25 元时，可卖出 105 件，而售价每上涨 1 元，就少卖5 元.（1）当售价定为每件
10、 30 元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【解题思路】 （1）一个月的获利等于该月每件小商品的利润与售出的小商品的数量之积，即：利润=（售价进价）销售量；（2）先构造二次函数，然后通过配方或利用顶点坐标公式求出最值.【答案】 （1）获利：（3020）1055（3025）=800（元） ；（2）设售价为每件 x 元时，一个月的获利为 y 元.由题意，得： y=(x20)1055（ x25）=5 x2+330x4600=5( x33) 2+845当 x=33 时， y 的最大值是 845.故当售价为定价格为 33 元时，一个月获利最大，最大
11、利润是 845 元.【点评】利用二次函数解决最优化问题时，首先要根据题意构建二次函数关系式，然后再求出的其最值. 本题以实际生活中商品买卖为问题情景，考查学生数学建模能力，渗透了数学来源于生活的理念. 难度较小.28.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（-3,0） ，点 B（1,0） ，交 y 轴于点 E（0，-3） ，点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，直线y=-x+m 过点 C，交 y 轴于点 D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 C
12、D 交于点 H，与抛物线交于点G，求线段 HG 长度的最大值；（3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标.【解题思路】第（1）小题用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与 y 轴的交点坐标代入求得 a 的值，得出二次函数的表达式；第（2）小题中，H、G 的横坐标相同，用一字母 t 表示出 H、G 两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于 t 的二次三项式，结合 t 的取值范围，求的 HG 的最大值；第（3）小题要分 AC 是对角线和边两种情况来讨论，AC 为边时，点 M、N 的左右位置不一样，结果又不
13、一样，考虑要周到，运算一定要仔细【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式为 y=a(x-1)(x+3).抛物线交 y 轴于点 E（0，-3） ，将该点坐标代入得 a=1,抛物线的函数表达式为 y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.(2) 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 A 的坐标为（-3,0） ，点 B 的坐标（1,0） ，点 C 的坐标（5,0）.A xB CDHEFGKO xylA B CDHEFGKOyl备用图图将点 C 的坐标代入 y=-x+m,得 m=5，直线 CD 的函数表达式为 y=-x+5.设 K 点的坐标为（t,0）,则 H 点坐标为(t,-t+5),点 G 的
14、坐标为（t,t 2+2t-3）.点 K 为线段 AB 上一动点，-3t1.HG=(-t+5)-(t 2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+ )2+ .341-3t1.当 t=- 时，线段 HG 的长度有最大值 .3（3）点 F 是线段 BC 的中点.点 B（1,） ） ，点 C（5,0） ，点 F 的坐标为（3,0） ，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，直线 l 的函数表达式为 x=3,点 M 在直线 l 上，点 N 在抛物线上，设点 M 的坐标为（3，m）,点 N 的坐标为（n,n 2+2n-3）.点 A（-3,0） ，点 C（5,0）. AC=8.分情况讨论：若线段 AC 是以点
15、A,C,M,N 为顶点的平行四边形的边，则须 MNAC,且 MN=AC=8，当点 N 在点 M 的左侧时，MN=3-n，3-n=8，解得 n=-5，点 N 的坐标为（-5，,1） ；当点 N 在点 M 的右侧时，MN= n-3，n-3=8，解得 n=11，点 N 的坐标为（11，140）.若线段 AC 是以点 A,C,M,N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点 C 是点 A 关于点B 的对称点”知：点 M 与点 N 关于点 B 中心对称，取点 F 关于 B 的对称点 P，则 P 的坐标为（-1,0） ，过 P 作 NPx 轴，交抛物线于点 N，将 x=-1 代入 y=x2+2x-3.得 y=-
16、4，过点 N，B 作直线 NB 交直线 l 于点 M，在BPN 与BFM 中，NBP=MBFBF=BPBPN=BFM=90BPNBFM, NB=MB.四边形 ANCM 为平行四边形，坐标为（-1，-4）的点 N 符合条件.当 N 点的坐标为（-5,12） ， （11,140） ， （-1，-4）时，以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.【点评】本题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性它综合考查了用变量 t 表示点的坐标、直线抛物线的解析式的求法、平行四边形的判别及相关情况的讨论重点考查学生审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用
17、转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力由于此题入口比较高，不少学生在第（2）小题中就受到阻力；在第（3）小题中更是“畏缩不前”了，尤其是这一问中 AC 位边为对角线的讨论、AC 为边时点 M、N 位置的考虑，让一些学生思维紊乱，糊涂难做难度较大29、 （2011 年四川省南充市 20 题 8 分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润 y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为 600 元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该
18、厂电价 x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为 x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？x(元/元元)y(元/元元)500300200O【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润 y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：ykxb该函数图象过点 0,35,20 ，解得 52kb1kb305yx当电价 x=600 元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润 （元/1603185y千度）（3）设工
19、厂每天消耗电产生利润为 w 元，由题意得：113005305wmyxm化简配方，得： 2由题意， ，当 时，60050w最 大即当工厂每天消耗 50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润为 5000 元。【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。30. （2011 山东菏泽，21，9 分）如图，抛物线 y x2 bx2 与 x 轴交于 A， B 两点，与12y 轴交于 C 点，且 A(1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判断 的形状，证明你的结论；B（3）点 是 x 轴上的一个动点，当 MC MD 的值最小时，求 m 的值(0)Mm，
20、A BCDxyO（第 21 题图）11【解题思路】 （1）将 A 点坐标代入函数解析式，可求出字母 b 的值，从而求出函数解析，进而求出点 D 的坐标；（2）先由对称性求出 AB 的长，确定点 B 的坐标，利用勾股定理分别求出 , ,由勾股定理的逆定理可确定它是一个直角三角形；（3）作出点 C 关于CBx 轴的对称点 ,连接 ,与 x 轴的交点就是要求的点 M；利用相似三角形的性质或先求出直线 的解析式，都可以求出 m 的值。【答案】 （1）把点 A(1，0)的坐标代入抛物线的解析式 y x2 bx2，整理后解得12，所以抛物线的解析式为 ，顶点 358， ；（2）32b23yD ， ， ，5
21、AB225CO220BCO2ACB是直角三角形；（3）作出点 关于 轴的对称点 ，则 ， x()，连接 交 轴于点 ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，DxM的值最小M设抛物线的对称轴交 轴于点 ECDE 241m。OCE3528【点评】解综合题时，可先钭其划分成若干个小问题，然后采取各个击破的方式来进行。难度较大。ODCBAyx36.（2011 年四川省南充市 22 题 8 分）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A（ m4,0）和B(m,0)，与直线 y= x+p 相交于点 A 和点 C(2m4, m6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上，且以点 P 和
22、A,C 以及另一点 Q 为顶点的平行四边形 ACQP 面积为 12，求点 P,Q 的坐标；（3）在（2）条件下，若点 M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当PQM 的面积最大时，请求出PQM 的最大面积及点 M 的坐标。【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由 A,C 两点在一次函数图象上，求得 m 值，从而得出 A,C 两个点的坐标，进一步确定出 B 的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出 PQ 与 y 轴的交点。结合二次函数求出 P,Q 的坐标。可能有两种情况，分别讨论。（3）PQM
23、中 PQ 一定，只需 PQ 上的高最大则PQM 的面积最大。【答案】解：点 和 在直线 y= x+p 上4,0A24,6C 解得 26mp31mp,03,2,ABC设抛物线 2yaxbcax2,1a抛物线解析式为 3（2）AC= ，AC 所在直线的解析式为： ，BAC=453yx 的面积为 12ACQP 中 AC 边上的高为 123过点 D 作 DKAC 与 PQ 所在直线相交于点 K，DK= ,DN=42 的边 PQ 所在直线在直线 AC 的两侧可能各有一条，ACQPPQ 的解析式为 或3yx5yx 解得 或2yx102方程组无解235yx即 ,10P2,四边形 ACQP 是平行四边形， 1
24、,02,3AC当 时，13,16,3Q当 时，25P2满足条件的 P,Q 点是 , 或 ,10P16325P21Q（3）设 ，过点 M 作 y 轴的平行线，交 PQ 所在直线点 T，则2,3Mtt，,Tt22 T=6t过点 M 作 MSPQ 所在直线于点 S，=22S=6t2158t当 时， ，PQM 中 PQ 边上高的最大值为1t15 ,4 2【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。37 （2011 四川广安，30，12 分）如图 9 所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形， BC AD， BAD
25、= 90， BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点， A、 B、 D 三点的坐标分别是 A（-10） ， B( -1.2)， D( 3.0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 O/V，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、 M、 N。（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA= PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q 在什么位置时有 最大？并求出最大值。CAB CDOEN Mxy图9【解题思路】1）待定系数法求二次函数解析式2）求线段 AC 垂
26、直平分线与抛物线的交点3）为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题【答案】 （1）解：由题意可得 M（02） ， N（-32） 293cab解得：132bc y= 2193x（2） PA= PC P 为 AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（-12） （10） 所在的直线为 y= x+1293yx解得： 1xy23xy P1（ ） P2（ ）3,2（3）D 为 E 关于对称轴 x=1.5 对称CD 所在的直线 y= x+3 yQ=4.5 Q（-1.54.5）最大值为 QC= =QEC2.5【点评】本题综合性较强。为难题38 （2011 四川内江，加 7，12 分）如图
27、，抛物线 y x2 mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点，31与 y 轴交与点 C（0，-1）且对称轴是 x=1.（1）求抛物线解析式及 A， B 两点的坐标；（2）在 x 轴下方抛物线上是否存在点 D，使四边形 ABDC 的面积是 3？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由（使用图 1） ；（3）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q、 P、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点 P 的坐标（使用图 2）.【思路分析】 （1）根据对称轴公式可求解 m,代入 C 点坐标可求解 n；（2）将四边形分割成三角形 AOC、 OCD、 OBD，三角形 A
28、OC 面积可求，三角形 OCD、 OBD，的底已知，高分别为点 D 的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是 3 列方程求解；（3）通过画图可观察以 Q、 P、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形时，点 Q 只能在 y 轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ AB ,即已知点 P 横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标【答案】解：（1） x= =1, m= ， y x2 x+n.把 C（0，-1）代入得312-31n= -1,求抛物线解析式是 y x2 x-1；令 0 x2 x-1，得 x=3 或-1， A， B 两点的坐标分别是（-1,0） （3,0） ；31（2）存在.xx=1A B
29、CyO图 1xx=1A BCyO图 2设 D 的坐标是（ x， y） ，则 y x2 x-1，连接 AC、 CD、 OD、 BD.31S AOC + SOCD + S OBD=3， 11+ 1x+ 3(-y)=3,21 + x+ 3( x2+ x+1)=3,21解得 x=2 或 1，所以 y=-1 或- ， D 的坐标是（2，-1） 、 （1, - ）.3434（3） （3）1当 AB 为边时：设 PQ =AB=4 , PQ AB ,则 P 点的横坐标是 4 或-4，把x=4 代入 y x2 x-1 得 y= ;把 x= -4 代入 y x2- x-1 得 y=7，即当 P 的坐标是531（4
30、， ）或（-4，7）时以 Q、 P、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形.352当 AB 为对角线时，则 AB 与 PQ 互相平分，线段 AB 中点是 G，PQ 过 G 与 y 轴交于Q 点，过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于 H，则 PHG QOC，所以 OG=GH，又因为点 G 的横坐标是 1，所以点 P 的横坐标是 2，把 x=2 代入 y x2- x-1 得 y= -1，即当 P 的坐标是31（2，-1） ，即当 P 的坐标是（2，-1） ）时以 Q、 P、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形. 综上，当 P 的坐标是（4， ） 、 （-4，7）或（2，-1） ）时以 Q、 P、
31、 A、 B 为顶点的四边35形是平行四边形.【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误39 （2011 四川绵阳 24，12）(本题满分 12 分）已知抛物线： y x2 2x+m1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点，如图，设它的顶点为 B(1)求 m 的值；(2)过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证 ABC 是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线 C，且与 x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如图，
32、请在抛物线 C上求点 P，使得 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形 【解题思路】(1)由抛物线与 x 轴只有一个交点，则 b24ac0，得出关于 m 的方程，求出 m 的值(2)求出点 A、B 的坐标，得出 OAOB，再根据 ACx 轴，得出BAC45，根据点 C 和点 A 是关于抛物线对称轴的对称点，得出 ABBC，则ABC 为等腰直角三角形或分别计算出 AB、AC、BC 的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形(3)由平移规律，得出抛物线 C的解析式，得出点 E、F 的坐标；待定系数法求出直线 EF 的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点 E、F 的 EF
33、的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点 P 的坐标【解】 （1）抛物线与 x 轴只有一个交点，b 24ac2 241(m1)0，解得 m2（2）方法一：m2，抛物线的解析式为 yx2x+1把 x0 代入 yx2x+1，得 y1，点 A 的坐标为（0，1） 把 y0 代入 yx2x+1，得 x1，点 B 的坐标为（1，0） AOB 是等腰直角三角形又 ACOB，BACOAB45A，C 是对称点，ABBC，ABC 是等腰直角三角形方法二：m2，抛物线的解析式为 yx2x+1把 x0 代入 yx2x+1，得 y1，点 A 的坐标为（0，1） 把 y0 代入 yx2x+1，得
34、 x1，点 B 的坐标为（1，0） ACx 轴，点 C 的纵坐标为 1把 y1 代入 yx2x+1，得 x10，x 22点 C 的坐标为(2，1)AC2，AB ，BC 2()+22(1)+0ABBC又AB 2+BC2 + 2+24AC 2，ABC 是等腰直角三角形2()（3）平移后解析式为 yx 22x3，可知 F(0，3)把 y0 代入 yx 22x3，得 x11，x 23又点 E 在 x 轴得左半轴上，E(1，0)设直线 EF 的解析式为 ykx3，把 E(1，0)代入 ykx3，得 k3，EF 的解析式为：y3x3平面内互相垂直的两条直线的系数 k 值相乘等于1，过 E 点或 F 点的直
35、线为 y +bx把 E 点和 F 点分别代入可得 b 或3， 或 y 313y=x1x解方程 解得 x11，x 2 x 1是 E 点横坐标，舍去2yx.， 03把 x2 代入 ，得 y ，P 1（ ， ） 103=939同理，解方程 解得 x10(舍去)，x 2 2yx.， 7把 x2 代入 ，得 y ，P 2( ， )73=09309【点评】b 24ac0 二次函数 yax 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点；对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减” ；平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘
36、积等于1 30 （2011 四川眉山，26，11 分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1） ，B（-4，4） ，将点 B 绕点 A 顺时针方向 90得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值【解题思路】 （1）设抛物线的解析式：y=ax 2，把 B（-4，4）代入即可得到 a 的值；过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 C 作 C
37、Dy 轴于 D，易证 RtBAERtACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到 C 点坐标（3，5） ；（2）设 P 点坐标为（a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，则有 d1= a2，又4AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在 RtPAF 中，利用勾股定理得到 PA=d2= 41a2+1，即有结论 d2=d1+1；41（3）PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到PAC 的周长=PC+PH+6，要使 PC+PH 最小，则 C、P、H 三点共线，P 点坐标为（3， ） ，此时 PC+PH=5，得到PAC 的周长的
38、最小值49=5+6=11【答案】 （1）设抛物线的解析式：y=ax 2，拋物线经过点 B（-4，4） ，4=a4 2，解得 a= ，1所以抛物线的解析式为：y= x2； 过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 C 作 CDy 轴于 D，如图，点 B 绕点 A 顺时针方向 90得到点 C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，OD=AD+OA=5，C 点坐标为（3，5） ；（2）设 P 点坐标为（a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，如图，点 P 在抛物线 y= x2上，41b= a2，41d 1= a2， AF=OF-OA=PH-OA=d
39、 1-1= a2-1，PF=a，4在 RtPAF 中，PA=d 2= 222)14(aPFA= a2+1，41d 2=d1+1； （3）由（1）得 AC=5， PAC 的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，则 C、P、H 三点共线时，PC+PH 最小， 此时 P 点的横坐标为 3，把 x=3 代入 y= x2，得到 y= ，4149即 P 点坐标为（3， ） ，此时 PC+PH=5，49PAC 的周长的最小值=5+6=11【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax 2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短本题第（3）
40、小题的关键是将PAC 的周长转化为 PC 与 PH 和的关系，从而求出三角形周长的最小值难度较大40.(2011 内蒙古呼和浩特,25,12 分)已知抛物线 的图象向上平移 m 个单位(214yx)得到的0m新抛物线过点(1,8).(1)求 m 的值,并将平移后的抛物线解析式写成 的形式；22()ahk(2)将平移后的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数 y 的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在 时对应的函32数值 y 的取值范围；(3)设一次函数 ,问是否存在正整数 使得
41、(2)中函数的函数值3(0)nxn时,对应的 x 的值为 ,若存在,求出 的值；若不存在,说明理由.3 1x【解题思路】第(1)小题得出平移后含 的解析式是关键,再用待定系数法、配方法,求解m问题；第(2)小题要理解好题意,构造出分段函数,用数形结合思想方法得出的取值范围；第(3)小题根据自变量的取值范围 ,得出相应的二次y 10x函数解析式,与一次函数联立列出二次方程,再次结合自变量的取值范围解出答案.10x【答案】解:(1)由题意可得 241ym又点(1,8)在图象上 8 x54321-1 O-2-3-4-5 12345-1-2-3-4-5y (1 分)2m (3 分)()1yx(2) 2
42、43(31) 46x 或 （ 分 ）（ （ 分 ）如图 (7 分)当 时, (9 分)32x01y(3)不存在 (10 分)理由:当 且对应的 时3y0x24xn , (11 分)10且 得n4不存在正整数 满足条件 (12 分)【点评】本题以抛物线为载体,结合图形的平移与对称,考查了初中数学的主干知识:函数、方程与不等式；考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力；考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)小题学生易用两端点的值代入求的取值范围,容易造成失分,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要求较高,
43、具有y很好的区分度.综合可得,本试题用存在性问题连接着一次函数与二次函数,连接着方程与不等式,试题呈现方式新颖,难度较大.41 （2011 广西桂林，26，12 分）已知二次函数 的图象如图.2134yx（1）求它的对称轴与 轴交点 D 的坐标；x（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴， 轴的交点分别为yA、 B、 C 三点，若 ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判断直线CM 与 D 的位置关系，并说明理由.x54321-1 O-2-3-4-512345-1-2-3-4-5y【解题思路】
44、 （1）用配方或公式可得对称轴，即得 D 点的坐标。（2）向上平移抛物线中的 a、b 不变，只有 c 变，所以只要求出 c 即可得。由题知三角形 ACB 为直角三角形，CO 为斜边上的高，用射影定理或相似三角形都易得CO2AOBO，再由一元二次方程根与系数的关系得 AOBO 即可求出 Ca（3）由（2）知三角形 ABC 是直角三角形，以斜边 AB 为直径作圆，此圆过直角顶点 C只要能证明 DC 垂直 CM，就可以得到 CM 与圆相切。而 CD、CMDM 的长都可以求出，再看是否满足勾股定理的逆定理就行了。或者用圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。【答案】解: （1）由 得 1 分21
45、34yx32bxa （，）2 分（2）如图 1, 设平移后的抛物线的解析式为3 分2134yxc则 C OC=(0,)令 即 20x得 OAOB-x 1x2=4c4 分Co 是 RtABC 斜边上的高OACOCB OCABOC 2OAOB5 分即 c2=4cc=0(舍去)，或 c=47 分抛物线的解析式为 8 分2134yx（3）方法一:如图 2, 由抛物线的解析式 可得2134yxA(-2 ，0)， B(8，0) ， C(，0) ， M 9 分5(,)过 C、 M 作直线，连结 CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H,则 3H 2256()41D222253(4)16CMH在 Rt COD 中, CD= =AD 点 C 在 D 上 10 分 2256()4111 分256()41 22M CDM 是直角三角形， CD CM直线 CM 与 D 相切 12 分方法二:如图 3, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)， B(8，0) ， C(，0) ， M 9 分25(3,)4作直线 CM,过 D 作 DE CM 于 E, 过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H,则 , 3M, 由勾股定理得254M1 DM OC MCH= EMD Rt CMH Rt DME 10 分 得 11 分EHC5DE由(2)知 D 的半径为 5 10AB
