1、2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析（一）例 1直线 3yx分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点， AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转90后得到 COD，抛物线 y ax2 bx c 经过 A、 C、 D 三点(1) 写出点 A、 B、 C、 D 的坐标；(2) 求经过 A、 C、 D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、 B、 Q 为顶点的三角形与 COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1解析（1） A(3，0)， B(0，1)， C(0，3)， D(1，0)（2）因为抛物线
2、y ax2 bx c 经过 A(3，0)、 C(0，3)、 D(1，0) 三点，所以930,.abc解得1,3.ab所以抛物线的解析式为 y x22 x3( x1) 24，顶点 G 的坐标为(1，4)（3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3 x1，直线 CD 的解析式为 y3 x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 AB CD因此 AB BG，即 ABQ90因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为( x，3 x1)，那么 2(3)10BxxRt COD 的两条直角边的比为 13，如果 Rt ABQ 与 Rt COD 相似，存在两种情况：当 A时，
3、3解得 x所以 1(3,0)， 2(,8)Q当 13BQ时， 01解得 所以 3(,)， 41(,) 图 2 图 3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 AB BG；二是 2()10BQxx我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GH y 轴， QN y 轴，垂足分别为 H、 N通过证明 AOB BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明 ABG90在 Rt BGH 中， 1sin0， 3cos10当 3BQA时， 在 Rt BQN 中， sin3NB， cos9NBQ当 Q 在 B 上方时， 1(,0)；当 Q 在 B 下方时， 2(3,8)当 3A时
4、， 同理得到 31,， 40例 2 Rt ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数 (0)kyx在第一象限内的图像与 BC边交于点 D（4， m），与 AB边交于点 E（2， n）， BDE的面积为2（1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tan A 2时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式；（3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下，如果 AEO 与 EFP 相似，求点 P 的坐标图 1解析（1）如图 1，因为点 D（4， m）、 E（2， n）在反比例函数 kyx的图像上，所以4,2.mkn整理，得 n2 m（2）如图 2，过点
5、 E 作 EH BC，垂足为 H在 Rt BEH 中，tan BEHtan A 1， EH2，所以 BH1因此 D(4， m)， E(2，2 m)， B(4，2 m1)已知 BDE 的面积为 2，所以 (2B解得 m1因此 D(4，1)，E(2，2)， B(4，3)因为点 D（4，1）在反比例函数 kyx的图像上，所以 k4因此反比例函数的解析式为 yx设直线 AB 的解析式为 y kx b，代入 B(4，3)、 E(2，2)，得 3,2.kb 解得12k， b因此直线 AB 的函数解析式为 12yx图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线 1yx与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D 的坐标为（4，1） ，所以 FD/ x 轴， EFP EAO因此 AEO 与 EFP 相似存在两种情况：如图 3，当 EAFOP时， 25解得 FP1此时点 P 的坐标为（1，1） 如图 4，当 时， 解得 FP5此时点 P 的坐标为（5，1） 考点伸展本题的题设部分有条件“Rt ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为 12yx，直线 AB 为 7yx第（3）题 FD 不再与 x 轴平行， AEO 与 EFP 也不可能相似
