1、第十三讲：反比例函数孙法光知识梳理知识点 l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 或 y=kx-1（k 为常数，xy）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。0k反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且 k 不为零；（2） 中分母 x 的指数为 1，如， 就不是反比例函数。2yx（3）自变量 x 的取值范围是 的一切实数.0（4）自变量 y 的取值范围是 的一切实数。y例 1、如果函数 为反比例函数，则 的值是 （ ）2(1)mxmA 、 B、 C 、 D、01解题思路：由反比例函数的定义可知
2、=-1，解得 m=1,但须考虑 0，则2m (1)m=-1解答：A练习当 n 取什么值时，y（n 2+2n）x 是反比例函数?答案：当 n-1 时，知识点 2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质学优中考网 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限xky或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 ，因
3、此不能把两个分支连接起来。0x（3）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势。反比例函数的性质的变形形式为 （常数）所以：xky)0(kxy（1）其图象的位置是：当 时，x、y 同号，图象在第一、三象限；0k当 时，x、y 异号，图象在第二、四象限。（2）若点(m,n)在反比例函数 的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比xky例函数的图象关于原点对称。（3）当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；0k当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；例 1 如图，函数 y
4、 与 y-kx+1（k0）在同一坐标系内的图像大致为（）k解题思路：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数 y-kx+1 与 y 轴的交点为（0，1），所以结论 B 和 C 都要可以排除.A 中直线 y-kx+1 经过第一、二、四象限，-k0，则 k0，而 k0 时，双曲线 y 两分支各在第一、三象限，所以结论 A 可kx以排除.故选 D.例 2 当 n 取什么值时，y（n 2+2n）x 是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y 随 x 的增大而增大或是减小?解题思路：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义 y= （k0）kx可知，要本题是反比例函数，必须且
5、只须 n2+2n0 且 n2+n-1=-1.解：y（n 2+2n）x 是反比例函数，则n2+2n0，n 2+n-1-1n0 且 n-2，n0 或 n-1.故当 n-1 时，y（n 2+2n）x 是反比例函数 y- .kxk-10，双曲线两支分别在二、四象限内，并且 y 随 x 的增大则增大. 练习 1 已知点 A（ 1xy， ） 、 B（ 2x， ） 是 反比例函数 k（ 0）图象上的两点，若 20，则有（ ）A 1y B 120y C 21y D 12y2 矩形面积为 4，它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）x学优中考网 答案：1.A 2.B知识点 3. 反比例函数解析式的确
6、定。重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式 中，xky只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入 中即可求出 k 的值，从而确定反比例函数的关系式。xy（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为： （ ） ；xky0根据已知条件，列出含 k 的方程；解出待定系数 k 的值；把 k 值代入函数关系式 中。xky例反比例函数的图象经过 A（1，-2） ，求反比例函数的关系式解题思路：设反比例函数的关系
7、式为 ，把点 A（1，-2）代入 可得 k=-2kyxkyx则所求反比例函数的关系式为 2练习已知点 是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式(3,)是_答案： yx知识点 4. 用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。例某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x 元与日销售量 y 之间有如下关系： x（元） 3 4 5 6y（元） 2
8、0 15 12 10（1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2） 猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过 10 元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。 （2）观察数据特点 xy=60,可知 y 与 x 之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）销售数量即：w=(x-2) y= (x-2) 60x则 y=60- 由于 x10 当 x=10 时 y 最大 12
9、练习某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力 p(千帕)是气球的体积V(米 2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积为 0.8 立方米时,气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸,学优中考网 为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？答案：（1） （2）120 （3）96pv2知识点 5.反比例函数综合例：如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 ，kyxymxb(13)A，两点(1)Bn，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当 取何值时，反比例函数
10、的值大于一次函数的值x解题思路：(1)由 在 的图象上，则 k=3，反比例函数关系式为 ；(13)A， ky 3yx由 也在 的图象上，则 n=-3,所以 B（-3，-1） 。把Bn， x (1)A，B（-3，-1）代入 中，由待定系数法可求得 m 和 b.ymb（2）由图象可知：当 x=-3 或 1 时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。解答：（1） 在 的图象上，(13)A， kyx， 又 在 的图象上，kyx)Bn， 3，即3n(1， mb，解得： ， ，反比例函数的解析式为 ，m2b3yx一次函数的解析式为 ， yx（2）从图象上可知，当 或 时，301x反比例函数的值大于
11、一次函数的值例 2 反比例函数 的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点，xkyyxAOB图MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N，如果 SMON 2，求 k 的值 分析：设 M（x,y）又根据MON 的面积与点 M 的关系可得：SMON= 所以 k=4,又函数图象在第二、四象限，则 k=-4 122yk练习 1如图，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y 轴上，点 B 的坐标为B（203，5） ，D 是 AB 边上的一点，将 ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_2.两个反比例函数 y
12、= 和 y= 在第一象限内的图像如图 3 所示，点 P 在 y= 的图像上，kx1 kxPCx 轴于点 C，交 y= 的图像于点 A，PDy 轴于点 D，交 y= 的图像于点 B，当点1P 在 y= 的图像上运动时，以下结论：kxODB 与OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化；PA 与 PB 始终相等当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分） 答案：1. 21yx最新考题综观 2009 年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间
13、综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力学优中考网 的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念， “学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。 ”2010 年中考反比例函数复习策略：1 抓实双基，掌握常见题型；2 重视函数的开放性试题；考查目标一.反比例函数的基本题例 1(09 江苏省淮安市 )在函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ） 。12yxA、x0 B、x2 C、x2 D、x2解题思路：根据反比例函数 y= (k0)，自变量的取值范围,X-20,得 x2。k
14、x答案：D例 2(09 浙江台州)反比例函数 图象上一个点的坐标是 。6yx解题思路：按照要求写一对符合函数的有序实数。答案：略。点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。考查目标二. 反比例函数的图象例 1(08 湖北省十堰市)根据物理学家波义耳 1662 年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强 p(pa)与它的体积 v(m3)的乘积是一个常数 k，即 pv k(k 为常数， k 0)，下列图象能正确反映 p 与 v 之间函数关系的是（ ） 。解题思路： (k0)，如果不与实际相结合，图象
15、分布在一、三象限，但事实上，自kpy变量的取值范围应为 y0。答案：C。例 2 已知反比例函数 的图像上有两点 A( ， )，B( ， )，且 ，)0(kxy1xy2xy21x则 的值是 （ ）1yA 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定pvOpvOpvOpvOA B C DD解题思路：k0,反比例函数图象双曲线两个分支分别位于二、四象限，若 A、B 两点都在第二或四象限（ ） ，由性质可知： 0; 若 A 点在第二象限，B 点在第21x21y四象限（ ） ， 0，所以不能确定。21xy解答：D考查目标三、反比例函数图象的面积与 k 问题例 1、反比例函数 （ k0）在第一象限内的
16、图象如图 1 所示， P 为该图象上任一xy点， PQ x 轴，设 POQ 的面积为 S，则 S 与 k 之间的关系是（ ）A B C S=k D Sk4kS2解题思路：设 P（x,y）S POQ= ( k0) 则 1xy2解：选 B说明：由上述分析过程我们可以得出这样的结论：从同一反比例图象上一点 P 作 X 轴的垂线 PQ 所围 POQ 面积，为 2k例 2(08 山东潍坊)设 P 是函数 在第一象限的图像上任意一点，4px点 P 关于原点的对称点为 P，过 P 作 PA 平行于 y 轴，过 P作 PA平行于 x 轴，PA 与 PA 交于 A 点，则 的面积（ ）A等于 2 B等于 4 C
17、等于 8 D随 P 点的变化而变化解题思路：点 P 关于原点的对称点为 P，P 与 P的横坐标与纵坐标都互为相反数， AP=px，PA= py8421 pyxs答案：8。考查目标四.利用图象，比较大小例 1(08 泰安市)已知三点 1()Pxy， ， 2()xy， ， 3(12)P， 都在反比例函数kyx的图象上，若 10x， 2，则下列式子正确的是（ ）A 2y B 120C 1D y学优中考网 解题思路： P 3（1，-2）是一隐含条件，求出 k，则根据反比例函数 的图象分布，2yx可得出函数值的大小。答案：D考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例 1(四川省眉山
18、市)如图，A、B 是反比例函数 y 的图2x象上的两点。AC、BD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 C、D。AB的延长线交 x 轴于点 E。若 C、D 的坐标分别为（1，0） 、（4，0） ，则 BDE 的面积与 ACE 的面积的比值是（ ） A 21B 8 D 6解题思路：A、B 均在反比例函数图象上，又都知道横坐标，可求出点 A、B 的坐标分别为（1，2） 、 （4， ） ，求出过 A、B 的直线： 251xy，令 y=0，得 x=5；所以 E 点坐标12（5，0） ，所以 CE=4，DE=1，BDE 与ACE 相似，面积比等于相似比的平方。答：D。例 2 （09 扬州）如图，二次函数mxxy)14(2（ m0 B 0， 4 x22、 （1） y=-x+2 （2）4yx3、 4、 （1） （2）x-2 或 0x12yx15、 （1） n=-8 (2) D(4,0)6、 （1）没有关系（2）由题意 OC=OA=2 B（-2，2）函数关系式为 4yxP（m,n）在 的图象上 4yxnm P 点在 B 点的上方时（-2m0）2()2()2sm P 点在 B 点的下方时（ m-2）248()()4s学+优中考 ，网 学优中考网 学优中考，网 学优(中考，网
