1、 CBA第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点 1. 直角三角形中边与角的关系重点：熟练掌握直角三角形中边与角的关系难点：运用直角三角形中边与角的关系中，C=90（1）边的关系：（2）角的关系：（3）边与角的关系： sinAcosB ac， cosAsinB bc，tanA ab， tanB 。例 1如图，在 RtABC 中， Rt， 1BC， 2A，则下列结论正确的是（ ）A 3sin2 B 1tan2 C co D t3B解题思路：运用直角三角形的边角关系，选 D例 2在 A ABC中，已知C=90，sinB= 5，则 cosA的值是 ( )A 43 B C 3 D 4解题思路：运用直角三角
2、形的边角关系，例 1选 D，例 2选 C练习来源:学优中考网1在 RtABC 中，C=90，a = 1 , c = 4 , 则 sinA的值是 ( )A、 5 B、 C、 3 D、 4152.在 RtABC 中,C=90 0,则下列等式中不正确的是( )（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c= cosbB.答案：1. B 2.DBCA学优中考网 知识点 2.特殊角的三角函数值重点：熟记特殊角的三角函数值难点：熟练计算三角函数值特殊角 30，45，60的三角函数值列表如下：sincostancot3012来源 :学优中考网 345160 23例：计算：1. 0
3、033sincos458解题思路： 62 ， 2原式 32152练习1. 计算 2()tan45cos60。 。 ；2.计算： cos609答案 1.4 2.3知识点 3. 直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形难点：理解题意，灵活运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）和一个未来源:学优中考网 xyzkw知元素共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：已知条件来源:xyzkw.Com来源:xyzkw.Com来源:学优中考网来源:学优中考网 xyzkw解法来源:x
4、yzkw.Com来源:xyzkw.Com来源:xyzkw.Com已知斜边 和一个锐角 A 一边一角来源:学优中考网xyzkw 已知一条直角边和一个锐角 A 已知斜边 和一条直角边 利用 求 A 两边已知两条直角边 利用 ，求A 例 1如图，已知 AC=1，求 BD。解题思路：将未知线段设为 ，通过列方程来解直角三角形是常用的有效方法。设 BD=x，根据图形有 AC=CD=1BD+CD= AC 学优中考网 例 2如图，已知 中，B=45，C=30，BC=3+ ，求 AB的长。解题思路：解直角三角形中，需将已知角置于直角三角形中，故“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法，简单说就是“作高”。解：
5、作 ADBC 于 D AD=BD 设 BD=AD= 在 中， 即 练习1.在 中，C=90， ，AB=30，试求 的值。2. 如图，在 中， ， ，D 为 AC上一点，DC=8，求 AB的长。答案 1. 解： A+B=90，AB=30 A=60，B=30又 2. 解： 在DBC 中，C=90，BDC=45 BC=DC=8在 RtABC 中， 知识点 4. 解直角三角形与实际问题重点：掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角难点：灵活运用解直角三角形1.仰角和俯角：这两种角均为水平线与观测线所夹的角，当观测线在水平线上方时，夹角为“仰角”，当观测线在水平线下方时，夹角为“俯角”。2.坡度和坡角：如图所
6、示坡度坡角为坡面与水平面的夹角3. 方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线 OA为北偏东60，射线 OB为南偏西 30，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。 例 1 如图，在某建筑物 AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅 BC，小明站在点 F处，看条幅顶端 B，测的仰角为 30，再往条幅方向前行 20米到达点 E处，看到条幅顶端 B，测得仰角为 60，求宣传条幅 BC的长，（小明的身高不计，结果精确到 0.1米）解题思路：运用仰角的概念和解直角三角形的知识解： BFC=30，BEC=60，BCF=90 EBF=EBC=30学优中考网
7、BEEF=20 在 中，答：宣传条幅 BC的长是 17.3米。例 2一艘轮船自西向东航行，在 A处测得东偏北 21.3方向有一座小岛 C，继续向东航行 60海里到达 B处，测得小岛 C此时在轮船的东偏北 63.5方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛 C最近？（参考数据： ）解题思路：运用方向角的概念和解直角三角形的知识解：过 C作 AB的垂线，交直线 AB于点 D，得到 与 ，设 海里。在 中， 在 中， 海里， ，即解得，答：轮船继续向东航行 15海里，距离小岛 C最近。例 3 如图，水池的横断面为梯形 ABCD，迎水坡 BC的坡角 B为 30，背水坡 AD的坡度，坝底宽 DC=
8、2.5m，坝高 CF=4.5m。求：（1）坝底 AB的长；（2）迎水坡 BC的长；（3）迎水坡 BC的坡度。解题思路：运用坡度和坡角的概念和解直角三角形的知识解：作 DEAB 于 E（1） CFAB 于 F 坡度 （2）由（1） CF=4.5，B=30 （3） 迎水坡 BC的坡度为练习：1如图，在ABC 中，A=90 0，D 是 AB上一点，ACD=37 0，BCD=26 030/，AC=60，求 AD，CD 及 AB的长。（以下数据供选用 537sin0， 547cos， 3tg，3470ctg）2某船向正东航行，在 A处望见灯塔 C在东北方向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西 300，又航
9、行了半小时到 D处，望见灯塔 C恰在西北方向，若船速为每小时 20海里。求学优中考网 A、D 两点间的距离。（结果不取近似值）答案：145、75、120； 230+10 3。最新考题:中考要求及命题趋势 1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2010年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题应试对策 1要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会
10、使用科学计算器进行三角函数的求值；2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题考查目标一、直角三角形的边角关系例 1（2009 泸州）如图，已知 RtABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点 C作CA1AB，垂足为 A1，再过 A1作A1C1BC，垂足为 C1，过 C1作 C1A2AB，垂足为 A2，再过 A2作 A2C2BC，垂足为C2，这样一直
11、做下去，得到了一组线段 CA1，A 1C1， 2，则 CA1= ，54A图图15图图4530FE PBA解题思路：由题意 13tant4BAC,则 CA1= 25 ， 54CA3例 2在ABC 中，C=90，AB=2，AC=1，则 sinB的值是（ ）A1B2C32D2解题思路：直角三角形的边角关系，选 A考查目标二、特殊角的三角函数的有关计算例 1（2009 荆门） 104cos30in6(2)928)=_解题思路：熟记特殊角的三角函数值解： 104cos30in6(2)98)213()2例 2（2009 黄石）计算：3 1 +(21) 0 3tan30tan45解：3 1 +(21) 0
12、tan30tan450考查目标三、三角函数的实际应用例 1（2009 中山）. 如图所示，A、B 两城市相距 100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段 AB），经测量，森林保护中心 P在 A城市的北偏东 30和 B城市的北偏西 45的方向上.已知森林保护区的范围在以 P点为圆心，50km 为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据： 41.2,73.1）解题思路：过点 P作 PQAB 于 Q，则有APQ=0，BPQ=45 学优中考网 DCBA2320设 PQ=x，则 PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x).在 RtAPQ 中，ta
13、nAPQ=tan30 = AQP,即 310x. 50(3)x又 6.450，计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。例 2（2009 南京）如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD=30m,某人在点 A出测得塔底 C的仰角为 20，塔顶 D的仰角为 23，求此人距 CD的水平距离 AB.（参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364，sin230.391，cos230.921，tan230.424）解题思路：在 RtABC 中，CAB=20，BC=ABtanCAB= ABtan20在 RtABD 中，DAB=23BD=ABtanDAB= ABtan23CD=BD-BC=A
14、Btan23- ABtan20=AB(tan23- tan20).AB= tan203tCD 364.0.=500（m）答：此人距 CD的水平距离 AB约为 500m过关测试一. 选择题：1.某天同时同地，小红同学测得 1m的测竿在地面上影长为 0.8m，小兰同学测得国旗旗杆在地面上的影长为 9.6m，则国旗旗杆的长为( ).(A) 10m (B) 12m (C) 13m (D) 15m2把一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来（ ）(A) 1/2倍 （B） 1 倍 (C) 2 倍 (D) 4 倍3. 在ABC 中，若 2cosA， 3tan，则这个三角形一定是（ ）
15、（A）锐角三角形 （B） 直角三角形 （C） 钝角三角形 （D）等腰三角形4. 在ABC 中，C=90， 5sin，则 sinB的值是（ ）（A） 32 （B） 5 （C） 4 （D） 5215. 如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i=23，顶宽是 3米，路基高是 4米，则路基的下底宽是（ ） （A） 7 米 （B）9 米 （C）12 米 （D） 15 米6 如图，两条宽度都为 1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. sin1 B. cos1 C. sin D. 1 7.已知A 为锐角，且 cosA 2，那么（ ）(A)0
16、A60（B）60A 90（C）0A30（D）30A908.已知角 是锐角，且 tg=1，则角 等于（ ）（A） 30 0 （B）45 0 （C） 60 0 （D）75 09.等腰三角形底角为 300，底边长为 32，则腰长是（ ）（A） 4 （B） （C） 2 （D） 23学优中考网 10.在 RtPMN 中，P=Rt，sinM=（ ）（A） PMN（B） （C） NP （D） M11.若太阳光线与地面成 370角，一棵树的影长为 10米，则树高 h的范围是（ ）（7.13） （A） 5h （B） 1h （C） 150h（D） 12.已知：如图，在ABC 中，AB=AC，C=30 0，ABAD
17、， AD=2cm。则 BC的长等于（ ）（A）8cm （B） 6cm （C）4cm （D）2cm二. 填空题：1在 RtABC 中,AB 是斜边,AB= 6,BC= 2,则 cos A=_ _.2. 小明放一线长 125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成 39角，他的风筝高为 。 3 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm和 6cm，则底边上的高为_cm，底角的余弦值为_。4酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价 30元，主楼梯宽 2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_元。5利用计算器求值（保留四位有效数字）： （1） 0127cos=_ _；（2） 18
18、4tan0_ _. (3) 0 356s3in= (4) 001845cos32t= 6如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度AC=20m，A=26 0，D 为底边 AC的中点，则中柱 BD= m，（精确到 0.01 m）（下列数据供选用： 426.0sin， 487.0tg）。三. 解答题1. 计算3tan230+cot245-2tan45+2cos60 2如图,一梯子 AB长 25m,顶端 A斜靠在墙 AC上,梯子底端离墙 7m,则梯子的顶端离地面多少米？如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动 8m,则梯子的底端下滑多少米？EC DBA3如图，有一位同学用一个有 30角的直角三角板估测他们学
19、校的旗杆 AB的高度他将 30角的直角边水平放在 1.3米高的支架 CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得 D、B 的距离为 15米（l）试求旗杆 AB的高度（精确到 0.l米）；（2）请你设计出一种更简便的估测方法4如图，在高楼前 D点测得楼顶的仰角为 30，向高楼前进 60米到 C点，又测得仰角为 5，则该高楼的高度大约是多少米？（精确到 0.01米）30 EDCBA4530BAD C学优中考网 5一艘轮船自西向东航行，在 A处测得东偏北 21.3方向有一座小岛 C，继续向东航行 60海里到达 B处，测得小岛 C此时在轮船的东偏北 63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海
20、里，距离小岛 C最近？（参考数据：sin21.3 925，tan21.3 25， sin63.5 910，tan63.52）6某船向正东航行，在 A处望见灯塔 C在东北方向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西300，又航行了半小时到 D处，望见灯塔 C恰在西北方向，若船速为每小时 20海里。求A、D 两点间的距离。（结果不取近似值）A BC北东参考答案一. 选择题：1. B 2. C 3. A 4. D 5. D6.A 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.B二. 填空题：1 36 2.125sin39 3. 4. 504，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分
21、别为 5.8米，2.6 米，则地毯的长度为 2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为 8.42=16.8平方米，则买地毯至少需要 16.830=504元。5.0.2554, 0.9759 , 1.471, 1.255 6.488三. 解答题：11224，53. 解：(1) AB=AE+BE=CEtan30 0+BE.13.1(米)答：旗杆 AB的高度约为 10.0米。(2) 用 45角的直角三角板估测，则 AB=AE+BE=AEtan45 0+BE=DB+BE481.96 5.解：过 C作 AB的垂线，交直线 AB于点 D，得到 RtACD 与 RtBCD设 BDx 海里，在 RtBCD 中，tanCBD CB，CDx tan63.5在 RtACD 中，ADABBD(60x)海里，tanA CDA，CD( 60x ) tan21.3 30 EDCBABCDA学优中考网 xtan63.5(60x)tan21.3，即 2605x解得，x15答：轮船继续向东航行 15海里，距离小岛 C最近6. 30+10 3学优中考，网
