1、第二十八讲 三角形的全等及其应用在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理： (1)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( 简写成“SAS”)(2)角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( 简写成“ASA”)推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS ”)(3)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等 (简写成 “SSS”)关于直角三角形有：(4)斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等( 简写成“HL”)利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接
2、利用这些性质借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题例 1 如图 2-1 所示 1=2，ABC=DCB 求证： AB=DC分析 用全等三角形证明线段(或角) 相等，最常用的方法是探究所求证的线段 (或角)分别在一对可证的全等三角形之中本题的 AB，DC 分别属于两对三角形ABE 和CDE及ABC 和DBC 经分析可证明ABECDE证 由已知，1=2 ，ABC=DCB，而EBC=ABC-1，ECB=DCB-2 ，所以EBC=ECB 在ABC 及BCD 中，ABC=BCD，EBC=ECB ，BC=BC ，所以 ABCDCB(ASA)，所以 AB=C
3、D说明 线段 AB，CD 也属于两个(事实上) 全等的ABE 和DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等例 2 如图 2-2 所示 ABC 是等腰三角形，D，E 分别是腰 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD=CE，连接 DE 交底 BC 于 G求证：GD=GE分析 从图形看，GE，GD 分别属于两个显然不全等的三角形： GEC 和GBD此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形方法不止一种，下面证法是其中之一证 过 E 作 EFAB 且交 BC 延长线于 F在GBD 及GEF 中， BGD= EGF( 对顶角) ， B= F(两直线平行内错角相等) 又B
4、= ACB=ECF=F ，所以，ECF 是等腰三角形，从而 EC=EF又因为EC=BD，所以BD=EF 由，GBD GEF(AAS) ，所以 GD=GE说明 适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法：(1)过 D 作 DFAC，交 BC 于 F可用同样方法证明GFDGCE(图 2-3)(2)过 D 作 DFBC 于 F；过 E 作 EHBC 于 BC 延长线于 H，可证明GFDGEH(图 2-4)做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的例 3 如图 2-5 所示在等边三角形 ABC 中，AE=CD，
5、AD，BE 交于 P 点，BQAD于 Q求证：BP=2PQ 分析 首先看到 BP，PQ 在 RtBPQ 之中，只要证明BPQ=60 (或PBQ=30 )然而，BPQ 是ABP 的一个外角，所以 BPQ=PAB+ PBA但A= PAB+PAC=60，若能证明 PBA= PAC，问题即能解决，这两个角分别在ABE 与 CAD 中，可以证明这两个三角形全等证 在ABE 与CAD 中，EAB=DCA=60 ， AB=CA，AE=CD，所以ABECAD(SAS)，所以 ABE=CAD由于BPQ 是ABP 的外角，所以BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60 在 RtBQP 中，BPQ=60，PBQ=
6、30，所以 BP=2PQ(在 RtBPQ 中 30角的对边等于斜边的一半)说明 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件如本题在分析到欲证ABP=CAD 后，进而把注意力集中到ABE 与CAD 中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然ABP 与APE 都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等例 4 如图 2-6 所示 A=90，AB=AC，M 是 AC 边的中点，ADBM 交 BC 于D，交 BM 于 E求证：AMB=DMC分析 1 从图形观察AME
7、 与DMC 所在的两个三角形AME 与DMC 显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事由于C=45，A=90，若作 A 的平分线 AG，则在AGM 中，GAM=45= C 结合求证中的AMB= DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言AGM“应该”与CDM 全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可图形及条件启发我们可考虑去证明AGBCDA 证法 1 作BAC 的平分线 AG，交 BM 于 G在AGB 与CDA 中，因为AB=CA，
8、BAG=ACD=45，ABG=90-AMB， MAD=90-EAB 由于，在 RtMAB 中， AEBM，所以AMB= EAB由，ABG=MAD，所以AGBADC(ASA)，于是 AG=CD在AMG 与CMD 中，还有AM=MC，GAM=DCM=45，所以 AMGCMD，从而 AMB=DMC 分析 2 如图 2-7 所示注意到在 RtABM 中，由 AEBM 得到MAE=MBA，若延长 AE，过 C 作 CFAC 交 AE 延长线于 F，可构成 RtABMRtACF，从而有AMB= F设法证明 DMC=F，则问题获解证法 2 引辅助线如分析 2 所述在 RtABM 与 Rt CAF 中，ABM
9、= CAF ，AB=AC，及BAM=ACF=90，所以RtABM RtCAF(ASA) ，所以AMB= F，AM=CF 在MCD 与FCD 中，FC=AM=MC(因为 M 是 AC 中点)由于ACF=90 ，ACB=45，所以FCD=MCD=45 ，CD=CD，所以 FCDMCD(SAS)，所以 F=DMC 由， AMB=DMC说明 这两个证法的思路较为复杂添加辅助线的结果造出两对全等三角形，第一对全等三角形产生一些对应相等的元素，为第二对全等三角形做了铺垫；第一对全等三角形将欲证的一个角“转移”到第二对全等三角形中，从而最后使问题获解对一些较复杂的问题采用迂回的办法，因势利导地创造全等三角形
10、，产生更多的相等条件，使欲证的角(或边) 转移位置，走出“死角”，最终使问题获解例 5 如图 2-8 所示正方形 ABCD 中，在边 CD 上任取一点 Q，连 AQ，过 D 作DPAQ，交 AQ 于 R，交 BC 于 P，正方形对角线交点为 O，连 OP，OQ 求证：OPOQ 分析 欲证 OPOQ，即证明COP+COQ=90 然而，COQ+ QOD=90，因此只需证明COP=DOQ 即可这归结为证明COPDOQ，又归结为证明CP=DQ，最后，再归结为证明ADQ DCP 的问题证 在正方形 ABCD 中，因为 AQDP，所以，在 RtADQ 与 RtRDQ 中有RDQ=QAD所以，在 RtADQ
11、 与 RtDCP 中有AD=DC，ADQ= DCP=90 ，QAD=PDC，所以ADQ DCP(ASA) ，DQ=CP又在DOQ 与COP 中，DO=CO，ODQ=OCP=45，所以DOQ COP(SAS)，DOQ=COP从而POQ=COP+COQ=DOQ+COQ=COD=90，即 OPOQ 说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成 45角，及 OA=OB=OC=OD 等均在推证全等三角形中被用到(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧例 6 如图 2-9 所示已知正方形 ABCD 中，M 为
12、 CD 的中点，E 为 MC 上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造 ”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段 (AE)上截取与线段中的某一段( 如 BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等我们用(1)法来证明证 延长 AB 到 F，使 BF=CE，则由正方形性质知AF=AB+BF=BC+CE下面我们利用全等三角形来证明 AE=AF为此，连接 EF 交边 BC 于 G由于对顶角BGF=CGE，所以RtBG
13、FRtCGE(AAS)，从而于是RtABGRtADM(SAS)，所以过 G 引 GHAE 于 H因为 AG 是EAF 的平分线，所以 GB=GH，从而 RtGBFRtGHE(HL)，所以F=HEG ，则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE=BC+CE说明 我们也可以按分析(2) 的方法来证明结论，为此可先作BAE 的平分线 AG 交边BC 于 G，再作 GHAE 于 H，通过证明ABGAHG 知 AB=AH=BC下面设法证明HE=CE 即可，请同学们自证 练 习 十1如图 2-10 所示AD ，EF，BC 相交于 O 点，且 AO=OD，BO=OC，EO=OF求证：AEB D
14、FC2如图 2-11 所示正三角形 ABC 中，P ，Q ，R 分别为 AB，AC，BC 的中点，M为 BC 上任意一点(不同于 R)，且PMS 为正三角形求证： RM=QS3如图 2-12 所示P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点，PFDC，PEBC 求证：APEF4如图 2-13 所示ABC 的高 AD 与 BE 相交于 H，且 BH=AC求证：BCH= ABC5如图 2-14 所示在正方形 ABCD 中，P，Q 分别为 BC，CD 边上的点，PAQ=45求证：PQ=PB+DQ6如图 2-15 所示过 ABC 的顶点 A 分别作两底角B 和C 的角平分线的垂线，ADBD 于 D， AECE 于 E求证：EDBC
