1、2013 中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例 1已知 ABC 的两边 AB、 AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2( 2k3 )x k 23 k20 的两个实数根，第三边长为 5（1）当 k 为何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；（2）当 k 为何值时， ABC 是等腰三角形，并求 ABC 的周长解析：（1） AB、 AC 方程 x 2( 2k3 )x k 23 k20 的两个实数根 AB AC2 k3， ABAC k 23 k2 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC5 AB 2 AC 2 BC 2，( AB AC )2 ABAC25即(2 k3) 2
2、2( k 23 k2 )25 k 23 k100， k15， k,22当 k5 时，方程为 x 27 x120，解得 x13， x24（均不合题意，舍去）当 k2 时，方程为 x 27 x120，解得 x13， x24当 k2 时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形（2）若 ABC 是等腰三角形，则有 AB AC； AB BC； AC BC 三种情况( 2k3 )24( k 23 k2 )10 AB AC，故第种情况不成立当 AB BC 或 AC BC 时，5 是方程 x 2( 2k3 )x k 23 k20 的根5 25( 2k3 ) k 23 k20即 k 27 k120，解得 k1
3、3， k24当 k3 时，方程为 x 29 x200，解得 x14， x25此时 ABC 的三边长分别为 5、5、4，周长为 14当 k4 时，方程为 x 211 x300，解得 x15， x26此时 ABC 的三边长分别为 5、5、6，周长为 16例 2已知 ABC 的三边长为 a、 b、 c，关于 x 的方程 x 22( a b )x c 22 ab0 有两个相等的实数根，又 sinA、sin B 是关于 x 的方程( m5 )x 2( 2m5 )x m80 的两个实数根（1）求 m 的值；（2）若 ABC 的外接圆面积为 25，求 ABC 的内接正方形的边长解析：（1）关于 x 的方程
4、x 22( a b )x c 22 ab0 有两个相等的实数根4( a b )24( c 22 ab )0，即 a 2 b 2 c 2 ABC 是直角三角形sin A、sin B 是关于 x 的方程( m5 )x 2( 2m5 )x m80 的两个实数根sin Asin B ，sin AsinB 2m 5m 5 m 8m 5在 Rt ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Acos 2A1( sinAsin B )22sin AsinB1即( )22 12m 5m 5 m 8m 5 m 224 m800，解得 m14， m220当 m4 时，方程为 9x 23 x40，解得 x1 ， x
5、2 0在 Rt ABC 中，sin A0，sin B0 m4 不合题意，舍去当 m20 时，方程为 25x 235 x120，解得 x1 ， x2 ，符合题意35 45 m20（2） ABC 的外接圆面积为 25外接圆半径为 5， c10由（1）知，sin A 或 sinA 35 45 ABC 的两条直角边长分别为 6，8设 ABC 的内接正方形的边长为 t若正方形的两边在 ABC 的两直角边上，则 8 t8 t6解得 t 247若正方形的一条边在 ABC 的斜边上，易得斜边上的高为 ，则 245 t10解得 t 12037例 3已知关于 x 的方程 x 2( m n1) x m0（ n0）的
6、两个实数根为 、 ，且 （1）试用含有 、 的代数式表示 m 和 n；（2）求证： 1 ；（3）若点 P（ ， ）在 ABC 的三条边上运动，且 ABC 顶点的坐标分别为 A（1，2），B（ ，1）， C（1，1），问是否存在点 P，使 m n ？若存在，求出点 P 的坐标；若不12 54存在，请说明理由解析：（1）解： 、 为方程 x 2( m n1) x m0（ n0）的两个实数根( m n1) 24 m( m n1) 24 n0，且 m n1， mABCttA BCttt m ， n m1 1 2 分（2）证明：( 1 )( 1 )1( ) n0（ n0），又 1 4 分（3）解：要使
7、m n 成立，只需 m n1 54 94当点 P（ ， ）在 BC 边上运动时由 B（ ，1）， C（1，1），得 1， 112 12而 1 194 94 54在 BC 边上不存在满足条件的点 6 分当点 P（ ， ）在 AC 边上运动时由 A（1，2）， C（1，1），得 1，1 2此时 1 ，又1 294 94 54 54在 AC 边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ） 8 分54当点 P（ ， ）在 AB 边上运动时由 A（1，2）， B（ ，1），得 1，1 212 12由对应线段成比例得 ， 2 2 2 1由 解得 ， 34 32又 1，1 212 34 32在 AB 边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）34 32综上所述，当点点 P（ ， ）在 ABC 的三条边上运动时，存在点（1， ）54和点（ ， ），使 m n 成立 10 分34 32 54
